《椭圆中的最值问题与定点、定值问题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆中的最值问题与定点、定值问题.pdf（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选 椭圆中的最值问题与定点、定值问题 解决与椭圆有关的最值问题的常用方法（1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；（3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中 x、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。一、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值 a+c（远日点）、最小值 a-c（近日点）。推导：设点),(00yxP为椭圆)0(12222babyax上的任意一点，左焦点为)0,(1
2、cF，20201)(|ycxPF，由 1220220byax得)1(22020axby，将其代入 20201)(|ycxPF并化简得axacPF01|。所以，当点),(00yxP为长轴的右端点)0,(2aA重合时，acaaacPFmax1|；当点),(00yxP为长轴的左端点)0,(1aA 重合时。caaaacPF)(|min1。当焦点为右焦点)0,(2cF时，可类似推出。1.（2015 浙江卷）如图，已知椭圆 1222 yx上两个 不同的点 A、B 关于直线21 mxy对称。（1）求实数 m 的取值范围；（2）求AOB面积的最大值（O 为坐标原点）。解：（1）由题意知0m，可设直线 AB 的
3、方程为bxmy1。B A O x y 精选 联立bxmyyx11222，消y去，得012)121(222bxmbxm。因为直线bxmy1与椭圆 1222 yx有两个不同的交点，所以042222mb。-设),(),(2211yxByxA，线段 AB 的中点),(MMyxM，则24221mmbxx，所以21 22222221mbmbxmymmbxxxMMM。将线段 AB 的中点)2,22(222mbmmmbM代入直线21 mxy，解得2222mmb。-由得3636mm或。(2)令)26,0()0,26(1mt，则2122124)()1(1|xxxxmAB=21232212242tttt，且 O 到
4、直线 AB 的距离为12122ttd。设AOB的面积为)(tS，所以2)21(221|21)(22tdABtS22，精选 当且仅当212t时，等号成立。故AOB面积的最大值为22。2.已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解(1)由 4x2y21，yxm 得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得52m52.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mxm210，所以x1x22m5，x1x215(m21)，所以|AB|x
5、1x22y1y22 2x1x222x1x224x1x2 154254222mm25108m2.所以当m0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为yx.反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或精选 函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.跟踪训练 2 如图，点 A 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的短轴位于 y 轴下方的端点，过点 A且斜率为 1 的直线交椭
6、圆于点 B，若 P 在 y 轴上，且 BPx 轴，ABAP9.(1)若点 P 的坐标为(0,1)，求椭圆 C 的标准方程；(2)若点 P 的坐标为(0，t)，求 t 的取值范围.解 直线 AB 的斜率为 1，BAP45，即BAP 是等腰直角三角形，|AB|2|AP|.ABAP9，|AB|AP|cos 45 2|AP|2cos 459，|AP|3.(1)P(0,1)，|OP|1，|OA|2，即 b2，且 B(3,1).B 在椭圆上，9a2141，得 a212，椭圆 C 的标准方程为x212y241.(2)由点 P 的坐标为(0，t)及点 A 位于 x 轴下方，得点 A 的坐标为(0，t3)，精选
7、 t3b，即 b3t.显然点 B 的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：9a2t23t21，解得 a233t232t.a2b20，33t232t(3t)20.332t1，即332t12t32t0，所求 t 的取值范围是 0t32.二、椭圆中的定点和定值问题 解决时应用数形结合、分类讨论、几何法等方法。解决此类问题的方法有两种：（1）进行一般计算、推理求出结果；（2）通过检查特殊位置，探索出“定点”“定值”，然后再进行一般性证明或计算。2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为 1。（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线mkxyl:与椭圆C相交
8、于 A、B 两点（A、B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。解：（1）根据题意可设椭圆方程)0(12222babyax，由已知得13caca，解得12ca 31222b，精选 所以椭圆的标准方程为13422yx。(2)设),(),(2211yxByxA，联立13422yxmkxy得0)3(48)43(222mmkxxk，则由题意得0)3)(43(16642222mkkm，即04322mk，且222122143)3(4438kmxxkmkxx，又)(2121mkxmkxyy=221212)(mxxmkxxk=22243)4(3kkm，设椭圆的右顶点为 D 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点)0,2(D 1BDADkk，即1222211xyxy，04)(2212121xxxxyy，04431643)3(443)4(3222222kmkkmkkm，化简整理得0416722kmkm，解得72,221kmkm,且均满足04322mk。当km21时。l的方程为)2(xky，直线过定点)0,2(D，与已知矛盾；当721km时，l的方程为)72(xky，直线过定点)0,72(。所以直线l过定点，定点的坐标为)0,72(。