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1、复合函数及隐函数求导复合函数及隐函数求导现在学习的是第1页，共50页先复习一元函数复合函数求导法则先复习一元函数复合函数求导法则现在学习的是第2页，共50页一、多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导法则这个复合过程，这个复合过程，下面先对二元函数的复合函数进行讨论下面先对二元函数的复合函数进行讨论可以形象的用可以形象的用一条链一条链来描述：来描述：现在学习的是第3页，共50页定理定理1且且下述复合过程可以形象的用下述复合过程可以形象的用一条链一条链来描述：来描述：多元复合函数的求导法则简言之即：多元复合函数的求导法则简言之即：“分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘”现在学习的是第4页，共50
2、页解解现在学习的是第5页，共50页说明：说明：简单表示为简单表示为1.现在学习的是第6页，共50页解解现在学习的是第7页，共50页2.复合过程复合过程两者的区别两者的区别xf 为了区别将其改为为了区别将其改为可以形象的用可以形象的用一条链一条链来描述：来描述：现在学习的是第8页，共50页例例3解解现在学习的是第9页，共50页定理定理1可推广到中间变量和自变量多于两个的情形可推广到中间变量和自变量多于两个的情形3.复合过程复合过程形象的用形象的用一条链一条链来描述：来描述：现在学习的是第10页，共50页例2.解解:现在学习的是第11页，共50页例例4解解现在学习的是第12页，共50页复合过程复合
3、过程 形象的用形象的用一条链一条链来描述：来描述：现在学习的是第13页，共50页解解现在学习的是第14页，共50页复合过程复合过程形象的用形象的用一条链一条链来描述：来描述：现在学习的是第15页，共50页解解现在学习的是第16页，共50页例例 7解解现在学习的是第17页，共50页为简便起见,引入记号例例8 8 设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求解解:令则则现在学习的是第18页，共50页练练 习习 题题现在学习的是第19页，共50页现在学习的是第20页，共50页现在学习的是第21页，共50页练习题答案练习题答案现在学习的是第22页，共50页现在学习的是第23页，共50页现在学习
4、的是第24页，共50页二、隐函数求导法二、隐函数求导法证明证明现在学习的是第25页，共50页若若F(x,y)的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数也都连续,二阶导数二阶导数:则还有则还有现在学习的是第26页，共50页例例1解解现在学习的是第27页，共50页令令则则提示：提示：练习练习现在学习的是第28页，共50页证明证明现在学习的是第29页，共50页由对称性由对称性解解现在学习的是第30页，共50页练习练习解解现在学习的是第31页，共50页解解令令则则现在学习的是第32页，共50页例例4.设设解法解法1 利用隐函数求导利用隐函数求导再对再对 x 求导求导现在学习的是第33页，共50页解法解法2 2
5、利用公式利用公式设设则则两边对两边对 x 求偏导求偏导现在学习的是第34页，共50页三、多元复合函数的全微分三、多元复合函数的全微分设函数设函数的全微分为的全微分为可见无论可见无论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,则复合函数则复合函数都可微都可微,其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样,这性质叫做这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.现在学习的是第35页，共50页例例1.例例 1.1.利用全微分形式不变性解解:所以所以的全微分现在学习的是第36页，共50页隐函数的求导法隐函数的求导法 则则小小 结结现在学习的是第37页，共50页思考题思考题现在学习的是第38页，
6、共50页思考题解答思考题解答现在学习的是第39页，共50页练练 习习 题题现在学习的是第40页，共50页现在学习的是第41页，共50页现在学习的是第42页，共50页练习题答案练习题答案现在学习的是第43页，共50页现在学习的是第44页，共50页二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即现在学习的是第45页，共50页定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式:在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:导数；现在学习的是第46页，共50页定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P85)现在学习的是第47页，共50页有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组设方程组在点P 的某邻域内解的公式 故得系数行列式现在学习的是第48页，共50页同样可得现在学习的是第49页，共50页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第50页，共50页