复合函数及隐函数求导.ppt

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1、复合函数及隐函数求导复合函数及隐函数求导现在学习的是第1页，共50页先复习一元函数复合函数求导法则先复习一元函数复合函数求导法则)(),(xuufy 设设的的导导数数为为则则复复合合函函数数)(xfy dxdydudy )()(xuf )()(),(xvvuufy 设设的的导导数数为为则则复复合合函函数数)(xfy dxdydudy )()()(xvuf dxdudvdudxdv现在学习的是第2页，共50页一、多元复合函数求导法则),(),(yxyxfz 这个复合过程，这个复合过程，zuvxy下面先对二元函数的复合函数进行讨论下面先对二元函数的复合函数进行讨论),(),(yxuvufz 通通过

2、过中中间间变变量量设设函函数数的的下下面面定定理理给给出出直直接接由由),(),(),(yxyxvuf .,的求导公式的求导公式求求yzxz .,),(的的复复合合函函数数成成为为及及yxyxv ,偏导数偏导数可以形象的用可以形象的用一条链一条链来描述：来描述：xy现在学习的是第3页，共50页定理定理1）处处有有偏偏导导数数，在在点点（设设yxyxvyxu,),(),( 有有连连续续偏偏导导数数，在在对对应应点点),(),(vuvufz 处处有有偏偏导导数数，在在点点),(),(),(yxyxyxfz 则则复复合合函函数数且且 xz yz下述复合过程可以形象的用下述复合过程可以形象的用一条链一

3、条链来描述：来描述：xuuz xvvz yuuz yvvz xxzuvxy多元复合函数的求导法则简言之即：多元复合函数的求导法则简言之即：“分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘” ” 现在学习的是第4页，共50页解解 xzuz xu vz xv yzuz yu vz yv ，求求xz yz ,lnvezu 设设例例1.22yxv ,xyu 222yxxexy veuln y.)ln(22yxyexy x2veu1 veuln xveu1 y222222yxyyxxexy )ln(zuvxy现在学习的是第5页，共50页说明：说明：uvxz，若若)(),(xvxu 的的函函数数，是是则则复复合合函

4、函数数xxxfz)(),( 简单表示为简单表示为的的导导数数称称为为全全导导数数，对对此此时时xz dxdz且且有有),(,vufz 对对中中在在定定理理11.uz vz dxdudxdvx现在学习的是第6页，共50页.)(sincosdxdyxyx的的导导数数求求例例 2解解xvxucos,sin 令令，则则vuy uyxvdxdyuy vy 1 vvuxcosuuvln )sin(x )ln(sin)(sincos)(sin1cos21cosxxxxxx dxdu dxdv x现在学习的是第7页，共50页),(1vufz 中，对中，对在定理在定理，若若xvyxu ),( 2.的的函函数数，

5、是是则则复复合合函函数数yxxyxfz,),( 复合过程复合过程zuxyxxz yuuz 两者的区别两者的区别xf 求求偏偏导导对对对对xxyxfz),( xf 为了区别将其改为为了区别将其改为求偏导求偏导对对对对xxufz),( xz uz yz可以形象的用可以形象的用一条链一条链来描述：来描述：xu x现在学习的是第8页，共50页例例3yzxzyxuuFyuyfz ,),(),( 22求求设设解解zuyxuz )(uF )(222yxFx uz yf )(uF )(2122yxFy yz xz yxu x2yu )(y2 1 y现在学习的是第9页，共50页zwvuyx定理定理1可推广到中间

6、变量和自变量多于两个的情形可推广到中间变量和自变量多于两个的情形3.具具有有连连续续偏偏导导数数，例例如如，设设),(wvufz 都都具具有有偏偏导导数数，而而),(),(),(yxwyxvyxu ),(),(),(yxyxyxfz 复复合合函函数数复合过程复合过程wz wz xzuz vz yz uz vz 形象的用形象的用一条链一条链来描述：来描述：xu xv xw yu yv yw xxyy现在学习的是第10页，共50页例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222z

7、yxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2现在学习的是第11页，共50页例例4,2222222tsytsxzyxu 设设,stz2 tusu ,求求zyxust解解tu su zu tzzu xu yu txxu tyyu 222zyxx s2 222zyxy s2 222zyxz t 2 2222zyxztysxs )(2222zyxzsytxt )(sx sy sz sstt现在学习的是第12页，共50页),(wvufz 对对,),(),(时时当当xwyxvyxu ),(),(xyxyx

8、fz 复复合合函函数数复合过程复合过程zvuyxxxf xzuz vz yz uz vz 形象的用形象的用一条链一条链来描述：来描述：xu xv yu yv yxx现在学习的是第13页，共50页，设设例例25xvexvufzu sin),(xz 求求yz 和和解解zvuyxxxf xzxuuz xvvz yz yuuz yvvz ,xyv , yxu 其其中中veucos veusin yxxyyxyeyx2 )cos()sin(veusin veucos x)cos()sin(xyxxyeyx x2 xxy现在学习的是第14页，共50页zwvux),(wvufz 对对时时，当当)(),(),

9、(xwxvxu )(),(),(xxxfz 复复合合函函数数复合过程复合过程dxdwwz dxdzdxduuz dxdvvz 形象的用形象的用一条链一条链来描述：来描述：xx现在学习的是第15页，共50页例例 6 6 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz. 解解tcos tcos .cos)sin(costttet tZuvtz dtdzuz vz tetetcos tetsin v tdtdu dtdv tsin utt现在学习的是第16页，共50页例例 7yzxzyxxyfz ,),(求求设设解解,xyu 令令),(vufz 则则zuvxyxvvz

10、vz yzvz xz 于是于是xuuz uz uz yyvvz yuuz x, yxv xy现在学习的是第17页，共50页为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例8 8 设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff现在学习的是第18页，共50页练练 习习 题题一、填空题一、填空题:

11、: 1 1、设、设xyyxzcoscos , ,则则 xz_； yz_. . 2 2、 设设22)23ln(yyxxz , ,则则 xz_； yz_._. 3 3、设、设32sinttez , ,则则 dtdz_._. 二二、设设uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . . 现在学习的是第19页，共50页三、设三、设)arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、设四、设),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数) ), ,求求yzxz ,. .五、设五、设)(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一阶连续

12、偏导有一阶连续偏导 数数),),求求.,zuyuxu 六、设六、设),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数),),求求 22222,yzyxzxz . .现在学习的是第20页，共50页七、设七、设,)(22yxfyz 其中为可导函数其中为可导函数, , 验证验证: :211yzyzyxzx . .八、设八、设 ,),(其中其中yyxxz 具有二阶导数具有二阶导数, ,求求 .,2222yzxz 现在学习的是第21页，共50页练习题答案练习题答案一一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,

13、)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .现在学习的是第22页，共50页三、三、xxexxedxdz221)1( . .四、四、.2,22121fxef yyzfyefxxzxyxy 五、五、.),(),1(fxyzuxzxfyuyzyfxu 六、六、,12222121122fyfyfxz ,1)1(22221222fyfyfyxyxz .222422322fyxfyxyz 现在

14、学习的是第23页，共50页八八、,)1(121122 xz 222111221122)( yz. .现在学习的是第24页，共50页形式隐函数形式隐函数 0),(. 1 yxF二、隐函数求导法二、隐函数求导法的的导导所所确确定定的的函函数数设设方方程程)(),(xfyyxF 0处处某某邻邻域域内内在在点点函函数数),(),(yxyxF，及及的的偏偏导导数数),(),(yxFyxFyx的的导导数数为为确确定定的的则则由由)(0),(xfyyxF dxdy, 0),( yxFy且且)(),(xfyyxF 确确定定函函数数因因为为00)(,( xfxFFxy证明证明),(yxFx),(yxFy 0 d

15、xdy),(),( yxFyxFdxdyyx 有连续有连续数存在，数存在，),(),(yxFyxFyx x现在学习的是第25页，共50页若若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数二阶导数 :)(yxFFxxyxxydd则还有则还有 dxdy则则),(),(yxFyxFyx 0 ),(yxF现在学习的是第26页，共50页),(sinxfyxyyx 确确定定函函数数设设方方程程xxyyyxF sin),(令令 dxdy则则

16、xyxxyycoscos 11xyxxyycos1cos1 例例1dxdy求求解解yxFF xyyxsin 0 xxyysin现在学习的是第27页，共50页已已知知xyyxarctanln22 ，求求 dxdy. 令令则则 ),(yxF,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx ,arctanlnxyyx 22提示：提示：练习练习现在学习的是第28页，共50页形形式式的的隐隐函函数数0),(. 2 zyxF确确定定的的函函数数为为因因为为0),( zyxF),(yxfz Fxyz0),(,( yxfyxF求求偏偏导导和和两两边边分分别别对对yxxF

17、的的某某邻邻域域内内有有连连续续在在点点设设函函数数),(),(zyxzyxF，偏偏导导数数),(),(),(zyxFzyxFzyxFzyx. 0),( zyxFz且且的的所所确确定定的的函函数数设设方方程程),(0),(yxfzzyxF 存在，存在，及及偏导数偏导数yzxz 证明证明,zxFFxz 则则0 zF zxFFxz zyFFyz 同理同理zyFFyz xz xy现在学习的是第29页，共50页，确确定定函函数数设设方方程程例例),(yxfzxyzez 2xyzezyxFz ),(令令zyFFyz zxFFxz 则则xyeyzz yyzz xyxyzyz 由对称性由对称性xxzz zy

18、zxFFyzFFxz ,则则0),( zyxF.yzxz 及及求求解解现在学习的是第30页，共50页yyxzzyzxzln 11),(yxfzyzzx 确确定定函函数数设设方方程程0,yz 求求.xz 练习练习解解 ),(zyxF令令zyFFyz 则则zxyz yyxzzzzxxlnln 1zxFFxz 则则现在学习的是第31页，共50页解解令令, zyxu ,xyzv 则则0),( vuFFuvxyz xFuF yF uF zF uF xz 故故vuvuxyFFyzFF yz vuvuxyFFxzFF ),(0),(3yxfzxyzzyxF 确确定定函函数数设设例例.yzxz 及及求求uFv

19、F vyzF uFvF vxzF uFvF vxyF zxFF zyFF xuxvyuyvzuzvxyz现在学习的是第32页，共50页例例4. 设设,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对再对 x 求导求导现在学习的是第33页，共50页解法解法2 2 利用公式利用公式设设zzyxzyxF4),(222则则,2xFxzxFFxz两边对两边对 x 求偏导求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242

20、zFz现在学习的是第34页，共50页三、多元复合函数的全微分三、多元复合函数的全微分设函数设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论可见无论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, , )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微都可微, 其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样, , 这性质叫做这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.现在学习的是第35页，共50页 )cos( )s

21、in(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 1.1.利用全微分形式不变性解解:) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyxxdyd)dd(yxxysinuzev的全微分现在学习的是第36页，共50页隐函数的求导法隐函数的求导法 则则0),() 1( yxF0),()2( zyxF小小 结结yxFFdxdy 则则zxFF

22、xz 则则zyFFyz 现在学习的是第37页，共50页思考题思考题已已知知)(zyzx ，其其中中 为为可可微微函函数数， 求求? yzyxzx 现在学习的是第38页，共50页思考题解答思考题解答记记)(),(zyzxzyxF ,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于于是是zyzyxzx .现在学习的是第39页，共50页练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyyxarctanln22 , ,则则 dxdy_._. 2 2、设、设zxyz , ,则则 xz_,_, yz_._.二、二、 设设,

23、32)32sin(2zyxzyx 证明：证明：. 1 yzxz现在学习的是第40页，共50页三三、 如如 果果 函函 数数),(zyxf对对 任任 何何t恒恒 满满 足足 关关 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,则则称称函函数数),(zyxf为为 k次次齐齐次次函函数数, ,试试证证: :k次次齐齐次次函函数数满满足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . .四四、设设.,3233yxzaxyzz 求求五五、求求由由下下列列方方程程组组所所确确定定的的函函数数的的导导数数或或偏偏导导数数: :1 1、 设设 203222222zyxyxz , ,求求.,dxdz

24、dxdy2 2、 设设 ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中gf ,具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数）现在学习的是第41页，共50页六、六、 设函数设函数)(xu由方程组由方程组 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所确定所确定, , 且且., 0, 0dxduzhyg求求 ( (hgf,均可微均可微) )七、七、 设设),(txfy 而而t是由方程是由方程0),( tyxF所确定的所确定的yx,的函数的函数, ,求求.dxdy八、八、 设设),(yxzz 由方程由方程),(xzyyxxF =0=0 所确定所确定, , 证明证明: :xyzyzyxz

25、x . .现在学习的是第42页，共50页练习题答案练习题答案一、一、1 1、yxyx ； 2 2、yyxzzzzxxlnln1 ； 3 3、yyxzzyzxzln11 . .四、四、3222242)()2(xyzyxxyzzzyxz . .五、五、1 1、13,)13(2)16( zxdxdzzyzxdxdy； 2 2、12211221)12)(1()12(gfgyvfxgfgyvfuxu , , 1221111)12)(1()1(gfgyvfxfufxgxv . .现在学习的是第43页，共50页六六、zyxzyyxxxhghgfggffdxdu zyxzyzxxzyxhghgfhgfhgf

26、. . 七七、tyttxxtfFFfFfFdxdy . . 现在学习的是第44页，共50页二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即现在学习的是第45页，共50页定理3.,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的

27、单值连续函数单值连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:,0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG导数；, ),(000yxuu ),(000yxvv 现在学习的是第46页，共50页vuvuGGFFvuGFJ),(),(定理证明略.仅推导偏导数公式如下：),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1(P85)xxGFyyGFxxGFyyGF现在

28、学习的是第47页，共50页0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组设方程组,0vuvuGGFFJ在点P 的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0解的公式 故得系数行列式xuvuvuGGFFvxvxGGFF现在学习的是第48页，共50页xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv现在学习的是第49页，共50页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第50页，共50页