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1、第四节第四节一元复合函数一元复合函数求导法则求导法则内容内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分微分法则微分法则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理.若函数若函数处偏导连续处偏导连续,在点在点 t 可导可导,则复合函数则复合函数且有链式法则且有链式法则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (全导数公式全导数公式)推广推广:1)中间变量多于两个的情形中间变量多于两个
2、的情形.例如例如,设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.例如例如,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 又如又如,当它们都具有可微条件时当它们都具有可微条件时,有有注意注意:这里这里表示固定表示固定 y 对对 x 求导求导,表示固定表示固定 v 对对 x 求导求导口诀口诀:分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏叉路偏导导与与不同不同,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1.设设解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.解解:机
3、动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设设 求全导数求全导数解解:注意：注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 验证解的问题中经常遇到验证解的问题中经常遇到,下列例题有助于掌握下列例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见为简便起见,引入记号引入记号例例4.设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求解解:令令则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数设函
4、数的全微分为的全微分为可见无论可见无论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,则复合函数则复合函数都可微都可微,其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样,这性质叫做这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1.例例 6.利用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例1.解解:所以所以机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其
5、导数及其导数隐函数的求导方法 两边对两边对 x 求导求导回顾回顾 利用隐函数求导利用隐函数求导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数两边对两边对 x 求导求导在在的某邻域内的某邻域内则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若若F(x,y)的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数也都连续,二阶导数二阶导数:则还有则还有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1.方程方程解解:令令则则求求两边对两边对 x 求偏导求偏导同样可得同样可得则则解法解法1 利用公式利用公式设设
6、则则两边对两边对 x 求偏导求偏导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.设设解法解法2 利用隐函数求导利用隐函数求导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 再对再对 x 求导求导例例2.设设机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.设设解法解法3.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.思路：思路：解解令令则则整理得整理得整理得整理得整理得整理得解法解法2.利用公式利用公式第六节第六节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设则则解法解法3.利用全微分形式不变性同时求出各
7、偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.第六节第六节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由由d y,d z 的系数即可得的系数即可得有隐函数组有隐函数组则则两边对两边对 x 求导得求导得设方程组设方程组公式公式 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由由 F、G 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式称为称为F、G 的的雅可比雅可比(Jacobi)行列式行列式.雅可比雅可比 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结
8、束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4.设设解解:方程组两边对方程组两边对 x 求导，并移项得求导，并移项得求求练习练习:求求机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 答案答案:故有故有内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”例如例如,2.全微分形式不变性全微分形式不变性不论不论 u,v 是自变量还是因变量是自变量还是因变量,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3、隐函数隐函数(组组)求导方法求导方法方法方法1.利用复合
9、函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算;方法方法2.代公式代公式;方法方法3.利用微分形式不变性利用微分形式不变性 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题思考题1.已知已知求求解解:由由两边对两边对 x 求导求导,得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 分别由下列两式确定分别由下列两式确定:又函数又函数有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,3.设设解解:两个隐函数方程两边对两个隐函数方程两边对 x 求导求导,得得(2001考研考研)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解得解得因此因此练练 习习 题题练习题答案练习题答案