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1、复合函数及隐函数求导复合函数及隐函数求导第一页，讲稿共五十页哦先复习一元函数复合函数求导法则先复习一元函数复合函数求导法则第二页，讲稿共五十页哦一、多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导法则这个复合过程，这个复合过程，下面先对二元函数的复合函数进行讨论下面先对二元函数的复合函数进行讨论可以形象的用可以形象的用一条链一条链来描述：来描述：第三页，讲稿共五十页哦定理定理1且且下述复合过程可以形象的用下述复合过程可以形象的用一条链一条链来描述：来描述：多元复合函数的求导法则简言之即：多元复合函数的求导法则简言之即：“分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘”第四页，讲稿共五十页哦解解第五页，讲稿共五十
2、页哦说明：说明：简单表示为简单表示为1.第六页，讲稿共五十页哦解解第七页，讲稿共五十页哦2.复合过程复合过程两者的区别两者的区别xf 为了区别将其改为为了区别将其改为可以形象的用可以形象的用一条链一条链来描述：来描述：第八页，讲稿共五十页哦例例3解解第九页，讲稿共五十页哦定理定理1可推广到中间变量和自变量多于两个的情形可推广到中间变量和自变量多于两个的情形3.复合过程复合过程形象的用形象的用一条链一条链来描述：来描述：第十页，讲稿共五十页哦例2.解解:第十一页，讲稿共五十页哦例例4解解第十二页，讲稿共五十页哦复合过程复合过程 形象的用形象的用一条链一条链来描述：来描述：第十三页，讲稿共五十页哦
3、解解第十四页，讲稿共五十页哦复合过程复合过程 形象的用形象的用一条链一条链来描述：来描述：第十五页，讲稿共五十页哦解解第十六页，讲稿共五十页哦例例 7解解第十七页，讲稿共五十页哦为简便起见,引入记号例例8 8 设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求解解:令则则第十八页，讲稿共五十页哦练练 习习 题题第十九页，讲稿共五十页哦第二十页，讲稿共五十页哦第二十一页，讲稿共五十页哦练习题答案练习题答案第二十二页，讲稿共五十页哦第二十三页，讲稿共五十页哦第二十四页，讲稿共五十页哦二、隐函数求导法二、隐函数求导法证明证明第二十五页，讲稿共五十页哦若若F(x,y)的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数
4、也都连续,二阶导数二阶导数:则还有则还有第二十六页，讲稿共五十页哦例例1解解第二十七页，讲稿共五十页哦令令则则提示：提示：练习练习第二十八页，讲稿共五十页哦证明证明第二十九页，讲稿共五十页哦由对称性由对称性解解第三十页，讲稿共五十页哦练习练习解解第三十一页，讲稿共五十页哦解解令令则则第三十二页，讲稿共五十页哦例例4.设设解法解法1 利用隐函数求导利用隐函数求导再对再对 x 求导求导第三十三页，讲稿共五十页哦解法解法2 2 利用公式利用公式设设则则两边对两边对 x 求偏导求偏导第三十四页，讲稿共五十页哦三、多元复合函数的全微分三、多元复合函数的全微分设函数设函数的全微分为的全微分为可见无论可见无
5、论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,则复合函数则复合函数都可微都可微,其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样,这性质叫做这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.第三十五页，讲稿共五十页哦例例1.例例 1.1.利用全微分形式不变性解解:所以所以的全微分第三十六页，讲稿共五十页哦隐函数的求导法隐函数的求导法 则则小小 结结第三十七页，讲稿共五十页哦思考题思考题第三十八页，讲稿共五十页哦思考题解答思考题解答第三十九页，讲稿共五十页哦练练 习习 题题第四十页，讲稿共五十页哦第四十一页，讲稿共五十页哦第四十二页，讲稿共五十页哦练习题答案练习题答案第四十三页，讲稿共五十页哦第
6、四十四页，讲稿共五十页哦二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即第四十五页，讲稿共五十页哦定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式:在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:导数；第四十六页，讲稿共五十页哦定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P85)第四十七页，讲稿共五十页哦有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组设方程组在点P 的某邻域内解的公式 故得系数行列式第四十八页，讲稿共五十页哦同样可得第四十九页，讲稿共五十页哦感感谢谢大大家家观观看看第五十页，讲稿共五十页哦