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1、关于向量组的相关性现在学习的是第1页，共22页第三节第三节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 1.3.1 向量组的相关性向量组的相关性定义定义 1.6 （线性组合、线性表示）（线性组合、线性表示）为向量组为向量组A的一个的一个线性组合线性组合，b b 在该线性组合下的在该线性组合下的组合系数组合系数.称向量称向量也称也称b b 可由向量组可由向量组A 线线性表示性表示或或线性表出线性表出，现在学习的是第2页，共22页例例 设设a a1=(1,0,2,0),a a2=(3,-1,0,1),a a3=(0,1,-1,0),令令b b=(-2,3,0,-1)则则b b为向量组为向量组a a1,a
2、 a2,a a3 的一个的一个线性组合，线性组合，也可说也可说b b 可由可由a a1,a a2,a a3 线性表示。线性表示。现在学习的是第3页，共22页例例 设设n 维向量维向量a a 是向量是向量b b1与与b b2的线性组合，而的线性组合，而b b1与与b b2又又都是都是g g1,g g2,g g3的线性组合的线性组合,求证求证a a是是g g1,g g2,g g3的线性组合的线性组合现在学习的是第4页，共22页 如果向量组如果向量组S1中每一个向量均可由向量组中每一个向量均可由向量组S2线性表示，线性表示，则称向量组则称向量组S1可由向量组可由向量组S2线性表示，线性表示，如果同时
3、如果同时S2也可由也可由S1线性表示，线性表示，则称则称S1和和S2是是等价向量等价向量组组，或称它们是，或称它们是等价等价的。的。约定约定 (1)在一个向量组中所有向量的维数相同；在一个向量组中所有向量的维数相同；(2)向量组中允许有相同的向量；向量组中允许有相同的向量；(3)向量组中的向量可以是有限的，也可以是无向量组中的向量可以是有限的，也可以是无限的，但每一个线性组合中的向量个数是有限的。限的，但每一个线性组合中的向量个数是有限的。现在学习的是第5页，共22页如果存在不全为零的常数如果存在不全为零的常数k1,k2,km ,使得使得等式等式(1.14)才成立，则称这才成立，则称这 m 个
4、向量个向量线线性无关性无关线性相关线性相关，定义定义 1.7 （线性相关、线性无关）（线性相关、线性无关）k1a a1+k2a a2+kma am=0,(1.14)线性无关线性无关，即：如果只有当即：如果只有当 k1=k2=km=0 时，时，现在学习的是第6页，共22页向量组相关性的说明向量组相关性的说明性质性质1 包含零向量的向量组必线性相关包含零向量的向量组必线性相关性质性质2 包含两个相等向量的向量组必线性相关包含两个相等向量的向量组必线性相关现在学习的是第7页，共22页 一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无
5、关，则它的任何一个组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关部分组都线性无关性质性质3现在学习的是第8页，共22页定理定理1.13 当当m2时时,向量组向量组A:a a1,a a2,a am 线性相关的充要线性相关的充要条件是其中某一向量可表示为其余向量的线性组合条件是其中某一向量可表示为其余向量的线性组合现在学习的是第9页，共22页定理定理1.14 若向量组若向量组a a1,a a2,a am 线性无关线性无关,但添加一个向量但添加一个向量b b后向量组后向量组a a1,a a2,a am,b b 线性相关线性相关,则则b b是是a a1,a a2,a am的线的线性
6、组合性组合,且其线性表示是唯一的且其线性表示是唯一的.现在学习的是第10页，共22页习题习题1.3第第4题题(由性质由性质3)(由定理由定理1.14)现在学习的是第11页，共22页定理定理1.15 设设A为为n阶方阵阶方阵，则，则A的的n个列向量线性相关的充个列向量线性相关的充要条件是要条件是|A|=0现在学习的是第12页，共22页定理定理1.15 的另一种叙述的另一种叙述:n个个n维向量线性相关的充要条件维向量线性相关的充要条件是其构成的方阵行列式是其构成的方阵行列式|A|=0,即即 n 个个 n 维向量维向量a a1 1(a11,a12,a1n)a a2 2(a21,a22,a2n)a a
7、n(an1,an2,ann)线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是现在学习的是第13页，共22页 故由定理故由定理1 1知向量组知向量组a1 a2 a3线性相关线性相关练习 试讨论向量组试讨论向量组a1(1 1 1)a2(0 2 5)a3(2 4 7)线性相关性线性相关性解解 由向量组构成的行列式由向量组构成的行列式现在学习的是第14页，共22页定理定理1.16 n+r 个个n维向量必线性相关维向量必线性相关,这里这里r 0现在学习的是第15页，共22页定理定理1.17 设设 n 维向量组维向量组x x1,x x2,x xr 可由向量组可由向量组h h1,h h2,h hs 线性表出线性表出
8、,若若r s,则则 x x1,x x2,x xr 线性相关线性相关现在学习的是第16页，共22页向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组定义定义1.8(极大无关组极大无关组)设有向量组设有向量组S 如果在如果在S中能选中能选出出r 个向量个向量a a1 a a2 a ar 满足满足 (1)向量组向量组M a a1 a a2 a ar 线性无关线性无关 (2)往往M中再添任一中再添任一S中的其它向量中的其它向量,则这则这 r+1个向量构成的个向量构成的向量组线性相关向量组线性相关.那么那么M a a1 a a2 a ar 称为向量组称为向量组 A 的一个的一个极大线性无关组极大线性无关组（极
9、大无关组，极大组）（极大无关组，极大组）现在学习的是第17页，共22页 故由定理故由定理1.15知向量组知向量组a a1 a a2 a a3线性相关线性相关 例例 试求向量组试求向量组a a1(1 1 1)a a2(0 2 5)a a3(2 4 7)的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组解解 由向量组构成的行列式由向量组构成的行列式 又又显显然然向向量量组组a a1 a a2线线性性无无关关，因因此此a a1 a a2就就是是所所求求向向量组的一个极大线性无关组。量组的一个极大线性无关组。同同样样a a2 a a3也也是是向向量量组组的的一个极大线性无关组。一个极大线性无关组。现在学习的是第
10、18页，共22页性质性质1 向量组中任一向量都可由其极大无关组线性表示向量组中任一向量都可由其极大无关组线性表示 (由定理由定理1.14)向量组的极大线性无关组一般不是唯一的，但有向量组的极大线性无关组一般不是唯一的，但有性质性质2 在一个向量组中，不同极大线性无关组中所包在一个向量组中，不同极大线性无关组中所包含的向量的个数是相同的含的向量的个数是相同的 现在学习的是第19页，共22页定义定义1.9(向量组的秩向量组的秩)向量组向量组A的极大线性无关组所含的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组向量的个数称为向量组A的秩的秩 记作记作 rank(A)或或r(A)注注 (1)只含零向量的向量组没有最大无关组只含零向量的向量组没有最大无关组 规定规定它的秩为它的秩为0 (2)一个一个n 维向量组维向量组,无论有多少个向量无论有多少个向量 其秩不会其秩不会超过超过n.现在学习的是第20页，共22页现在学习的是第21页，共22页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第22页，共22页