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1、第三节第三节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 1.3.1 向量组的相关性向量组的相关性定义定义 1.6 （线性组合、线性表示）（线性组合、线性表示）,:21维维向向量量组组成成的的向向量量组组个个是是由由设设nmAm ,21个个数数是是mkkkm为向量组为向量组A的一个的一个线性组合线性组合， b b 在该线性组在该线性组合下的合下的组合系数组合系数. .称向量称向量mmkkk b b 2211也称也称b b 可由向量组可由向量组A 线线性表示性表示或或线性表出线性表出，称为称为mkkk,211212,mmk kk定理定理1.13 当当m2时时, ,向量组向量组A: 1, 2, m 线性
2、相关线性相关的充要条件是其中某一向量可表示为其余向量的线的充要条件是其中某一向量可表示为其余向量的线性组合性组合定理定理1.14 若向量组若向量组 1, 2, m 线性无关线性无关, ,但添加一但添加一个向量个向量b b后向量组后向量组 1, 2, m, b b 线性相关线性相关, 则则b b是是 1, 2, m的线性组合的线性组合, 且其线性表示是唯一的且其线性表示是唯一的.问问线线性性无无关关向向量量组组线线性性相相关关设设向向量量组组练练习习,432321 ?,)2(?,)1(3214321为为什什么么线线性性表表出出能能否否由由线线性性表表出出能能否否由由 线性无关线性无关线性无关线性
3、无关解解32432,)1( 线线性性相相关关而而线线性性无无关关32132, 线性表出能由321,线线性性无无关关矛矛盾盾与与线线性性表表出出能能由由则则432324, 习题习题1.3第第4题题(由性质由性质3)(由定理由定理1.14),)1(,)2(3213214线线性性表表出出能能由由而而由由线线性性表表出出能能由由若若 线性表出线性表出不能由不能由3214, 定理定理1.15 设设A为为n阶方阵阶方阵，则，则A的的n个列向量线性相关个列向量线性相关的充要条件是的充要条件是|A|=0定理定理1.15 的另一种叙述的另一种叙述: :n个个n维向量线性相关的充维向量线性相关的充要条件是其构成的
4、方阵行列式要条件是其构成的方阵行列式|A|=0,即即 n 个个 n 维向量维向量 1 1 a11, a12, a1n, , 2 2 a21, a22, a2n, , , , n an1, an2, ann 线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是 故由定理故由定理1 1知向量组知向量组a1, a2, a3线性相关线性相关练习 试讨论向量组试讨论向量组a1(1, 1, 1) , a2(0, 2, 5) , a3(2, 4, 7) , 线性相关性线性相关性解解 由向量组构成的行列式由向量组构成的行列式定理定理1.16 n + r 个个n维向量必线性相关维向量必线性相关, 这里这里r 0定理定理1.
5、17 设设 n 维向量组维向量组x x1,x x2,x xr 可由向量组可由向量组h h1,h h2,h hs 线性表出线性表出, 若若r s, 则则 x x1,x x2,x xr 线性相关线性相关向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组定义定义1.8 (极大无关组极大无关组) 设有向量组设有向量组S, , 如果在如果在S中能中能选出选出r 个向量个向量 1 , , 2 , , , , r , , 满足满足 (1)向量组向量组M 1, , 2, , , r 线性无关线性无关 (2)往往M中再添任一中再添任一S中的其它向量中的其它向量,则这则这 r +1个向量个向量构成的向量组线性相关构成的
6、向量组线性相关.那么那么M 1, , 2, , , r 称为向量组称为向量组 A 的一个的一个极大线性极大线性无关组无关组（极大无关组，极大组）（极大无关组，极大组） 故由定理故由定理1.15知向量组知向量组 1, , 2, , 3线性相关线性相关, , 例例 试求向量组试求向量组 1 (1, , 1, , 1) , , 2 (0, , 2, , 5) , , 3 (2, , 4, , 7) , , 的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组解解 由向量组构成的行列式由向量组构成的行列式 又又显然向量组显然向量组 1, , 2线性无关线性无关，因此，因此 1, , 2就是所就是所求向量组的一个极
7、大线性无关组。求向量组的一个极大线性无关组。 同样同样 2, , 3也是向也是向量组的一个极大线性无关组。量组的一个极大线性无关组。性质性质1 向量组中任一向量都可由其极大无关组线性向量组中任一向量都可由其极大无关组线性表示表示 (由定理由定理1.14) 向量组的极大线性无关组一般不是唯一的，但有向量组的极大线性无关组一般不是唯一的，但有性质性质2 在一个向量组中，不同极大线性无关组中所在一个向量组中，不同极大线性无关组中所包含的向量的个数是相同的包含的向量的个数是相同的 定义定义1.9 (向量组的秩向量组的秩) 向量组向量组A的极大线性无关的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组组所含向量的
8、个数称为向量组A的秩的秩, , 记作记作 rank(A)或或r(A)注注 (1)只含零向量的向量组没有最大无关组只含零向量的向量组没有最大无关组, , 规规定它的秩为定它的秩为0 (2) 一个一个n 维向量组维向量组,无论有多少个向量无论有多少个向量, , 其秩其秩不会超过不会超过n.?)2?()1(), 3 , 1(),3 , 2 , 1(),1 , 1 , 1(. 5321线性相关线性相关线性无关线性无关何值时何值时问当问当设设tt 0322211 kkk设设有有解解031321111321 kkkt即即有有线性无关线性无关只有零解只有零解时时即即当当,5, 0531321111OAXttt 线线性性相相关关时时当当,5 t