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1、3.3.向量组的线性相关性线性相关与线性无关线性相关性与线性表示的关系线性相关性与线性方程组*1线性相关与线性无关*2线性相关与线性无关*3说明说明:例例 3.1.包含零向量的向量组一定线性相关包含零向量的向量组一定线性相关.线性相关性与线性表示的关系*4命题命题 3.4.若向量组存在部分组线性相关若向量组存在部分组线性相关,则该向量组线性相关则该向量组线性相关.proofproofproofproof线性相关性与线性方程组*5所以齐次线性方程组只有零解所以齐次线性方程组只有零解,线性相关性与线性方程组*6证明：证明：设设则有则有=0线性相关性与线性方程组*7上述齐次线性方程组方程的个数小于未
2、知量的个数上述齐次线性方程组方程的个数小于未知量的个数,因此必有非零解因此必有非零解.结论得到证明结论得到证明.线性相关性与线性方程组*8写成线性方程组的形式写成线性方程组的形式线性相关性与线性方程组*9(n个方程个方程,m个未知量个未知量,必有非零解必有非零解)该问题等价于该问题等价于:线性方程组线性方程组是否有解是否有解?例题 3.9*10判断下列向量组是否线性相关判断下列向量组是否线性相关.若相关若相关,找出其中找出其中一个向量一个向量,用其余的向量表示出来用其余的向量表示出来.解解:(1)考虑齐次线性方程组考虑齐次线性方程组应用初等行变换把它的系数矩阵化为行阶梯形矩阵应用初等行变换把它
3、的系数矩阵化为行阶梯形矩阵方程组的秩方程组的秩 r=3=m,因此因此,只有零解只有零解,即向量组线性无关即向量组线性无关.例题 3.9*11因此因此例题 3.9*12对于第对于第(2)小题小题,也可以直接考虑齐次线性方程组也可以直接考虑齐次线性方程组例题 3.10.*13证证:由假设知齐次线性方程组由假设知齐次线性方程组只有零解只有零解.从而方程组从而方程组也只有零解也只有零解,命题 3.1的证明*14证明证明:设设则则back命题3.3的证明*15证明证明:用反证法用反证法.则有则有back命题3.4的证明*16于是于是back如果一个向量组线性无关如果一个向量组线性无关,则它的任何一个部分组线性无关则它的任何一个部分组线性无关.命题 3.5的证明*17证明证明:因此因此back