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1、 第三节第三节 向量组的相关性向量组的相关性解线性方程组原方程组的有效方程个数为原方程组的有效方程个数为2个个一、方程组解与矩阵秩的关系解线性方程组解线性方程组原方程组的有效方程个数为原方程组的有效方程个数为3个个原方程组的增广矩阵的秩原方程组的增广矩阵的秩-原方程组有效方程个数原方程组有效方程个数二、向量的线性表示 定义：行矩阵(行向量)中，其中,n是维数，是第i个分量，也称n维行向量。定义：列矩阵(列向量)中，其中,m是维数，是第i个分量，也称m维列向量。注意注意1.行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的向量两个不同的向量；2.当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有
2、明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.3.行向量行向量，通常用，通常用 等表示等表示列向量列向量通常用等表示通常用等表示二、向量的线性组合三、向量组线性相关性三、向量组线性相关性观察方程组请问方程(1)(2)(3)之间有什么关系？方程(3)由方程(1)(2)相加得到，可认为是”多余的”，将它去掉不会影响方程的解。这样含有“多余方程”的方程组被称为“线性相关线性相关”。引入：将方程组抽象出向量，即向量组“线性相关”。更一般地，方程组 如果有一方程是其余方程的线性组合，也是“多余的”。这样的一组方程称为“线性相关”。将方程组抽象出向量，即向量组“线性相关”。若空间中有三个向量 如
3、果其中有一个是另外两个的线性组合，则向量组就线性相关。若 有解，则相关。若 有解，则相关。若 有解，则相关。如何定义向量组如何定义向量组如何定义向量组如何定义向量组“线性相关线性相关线性相关线性相关”？若向量多，好像很麻烦！若 有解，则相关。若 有解，则相关。若 有解，则相关。如何定义向量组如何定义向量组如何定义向量组如何定义向量组“线性相关线性相关线性相关线性相关”？可以只解一次的哦，请思考！请尝试给出请尝试给出请尝试给出请尝试给出“线性相关线性相关线性相关线性相关”的一般概念的一般概念的一般概念的一般概念二、向量组线性相关性的定义则称向量组则称向量组 是是线性相关线性相关的，否则称它的，否则称它线性无关线性无关请问：否则是什么情况？请问：否则是什么情况？则称向量组则称向量组 是是线性相关线性相关的，否则称它的，否则称它线性无关线性无关小结：判断向量组线性相关性较简单的方法：观察法。小结：无法用观察法向量组线性相关时，可以用待定系数法。说明：可以用观察法决定两个向量是否线性相关，只要看一个向量是否另一个向量的倍数即可。几何意义从几何意义上看，两个向量线性相关，当且仅当他们共线。一、线性相关无关的定义 二、判断线性相关性的方法总结：1、观察法2、待定系数法3、定理法例