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1、复变函数与积分变换-第三章现在学习的是第1页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换4.1 复数项级数与复变函数项级数1.复数序列概念收敛与发散定理4.1.1定理4.1.2现在学习的是第2页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换2.复数项级数概念收敛与发散形如 的表达式被称为复数项级数，其中wn是复数。若 的前n项和 有极限（n）,则称该级数收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；否则称为发散。现在学习的是第3页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换收敛的充分必要条件定理4.1.3绝对收敛与条件收敛定义4.1.4设 ，则级数 收
2、敛的充分必要条件是 和 都收敛，其中un和 vn皆为实数。称级数 是绝对收敛的，如果 是收敛的称级数 是条件收敛的，如果 是发散的，而 是收敛的现在学习的是第4页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换举例考察级数 的敛散性考察级数 的敛散性考察级数 的敛散性现在学习的是第5页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换3.复变函数项级数概念收敛与发散形如 的表达式被称为复数项级数，其中wn(z)是复变函数。点收敛：域收敛：收敛称之收敛，zB，称之现在学习的是第6页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换收敛的充分必要条件一致收敛一
3、致收敛定理定理4.1.6级数 收敛的充分必要条件是 和 都收敛，其中对于 ，称它在B内一致收敛于函数f(z)，如果0，N()，当nN()时，有M判别法现在学习的是第7页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换性质连续性-4.1.7可积性-4.1.8解析性4.1.9级数 在B内一致收敛，且wn(z)连续，则该级数在B内连续级数 在C上一致收敛，且wn(z)在C上连续，则级数 在B内一致收敛f(z)，且wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且现在学习的是第8页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换4.2幂级数1.幂级数概念形如 的级数被称为以z0
4、为中心的幂级数，其中an是复变常数。定理4.2.1（阿贝尔定理）现在学习的是第9页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换2.幂级数的收敛圆与收敛半径若存在正数R，使得当|z-z0|R时，级数 发散，则称R为级数 的收敛半径，其中|z-z0|R被称为收敛圆收敛圆。现在学习的是第10页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换收敛半径的求法：定理4.2.2；定理4.2.3DAlembert公式Cauchy(根式)公式举例求级数 的敛散半径及收敛圆求级数 的敛散半径及收敛圆现在学习的是第11页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换内
5、闭一致收敛3.幂级数的性质在收敛圆内幂级数具有连续性、可积性可积性4.2.5和解析性4.2.4幂级数在收敛圆内内闭一致收敛4.幂级数的运算现在学习的是第12页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换4.3 Taylor级数表示1.Taylor展开定理设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内任一点z，函数f(z)可写成（定理4.3.1）z0zCRCRRR现在学习的是第13页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换举例函数 f(z)=ez 在z=0点的Taylor级数展开函数 f(z)=sin z和f(z)=cos z 在z=0点的Tay
6、lor级数展开函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开现在学习的是第14页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换例2把函数 展开成 的幂级数 解:函数 在 内处处解析,由公式(4.1.7)把上式两边逐项求导,即得所求的展开式现在学习的是第15页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换解析函数的一个等价命题函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内任一点的邻域内可展成幂级数（定理4.3.2）现在学习的是第16页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变
7、函数与积分变换2.几个初等函数的幂级数展开式直接方法间接方法函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开待定系数法函数 f(z)=tan z 在z=0点的Taylor级数展开现在学习的是第17页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换4.4 Laurent级数问题的提出已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当 f(z)在圆|z-z0|R2外收敛。如果R2R1
8、，那么双边幂级数就在环状域 R2|z-z0|R1 内收敛，所以 R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。现在学习的是第20页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换正幂部分负幂部分R2R1z0R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|收敛环R2|z-z0|R1现在学习的是第21页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换双边幂级数的性质R2R1z0B定理设双边幂级数 的收敛环B为R2|z-z0|R1，则(1)在B内连续；(2)在B内解析，且于B内可逐项可导；(3)在B内可逐项积分。现在学
9、习的是第22页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换2.Laurent展开定理设函数 f(z)在环状域 R2|z-z0|R1 的内部单值解析，则对于环内任一点z，f(z)可展开成zCR1CR2R2R1z0C现在学习的是第23页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换Laurent级数中的z0点可能是奇点，也可能不是奇点说明Laurent级数展开的唯一性收敛范围的极限的确定现在学习的是第24页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换举例函数 f(z)=sin z/z 在0|z|内的Laurent级数展开函数 f(z)=1/(1-
10、z2)分别在1|z|和 0|z-1|2内的Laurent级数展开11-11|z|21-10|z-1|2现在学习的是第25页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换例3把函数 展开成 的级数 解:因为所以现在学习的是第26页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换例4把函数 在收敛圆环域 内展开成罗伦级数.解:因为所以,现在学习的是第27页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换例5把函数 在收敛圆环域 内展开成罗伦级数.解:因为所以,现在学习的是第28页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换例5把函数 在
11、收敛圆环域 内展开成罗伦级数.解:因为所以,现在学习的是第29页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换通过例3、例4、例5可知同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗伦级数一般不同;由罗伦级数的唯一性可知,同一个函数在相同的收敛圆环域内的罗伦级数一定相同.现在学习的是第30页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换第五节 孤立奇点的分类概念若函数 f(z)在某点z0在不可导，而在z0的任意邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。举例孤立奇点的例子非孤立奇
12、点的例子现在学习的是第31页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换孤立奇点的Laurent级数展开在区域 0|z-z0|R 内的单值解析函数 f(z)可展开成其中正幂部分是该级数的解析部分是该级数的主要部分负幂部分这里a-1具有特殊的作用，被称为f(z)在点z=z0处的留数现在学习的是第32页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换孤立奇点的分类可去奇点：主要部分不存在m阶极点：主要部分有m项本性奇点：主要部分有无穷多项现在学习的是第33页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换孤立奇点的等价命题现在学习的是第34页，共35页2023/4/1复变函数与积分变换复变函数与积分变换举例求下列函数的孤立奇点，并指出类型现在学习的是第35页，共35页