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1、复变函数及积分变换第三章 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望3.1 复变函数积分的概念1.复变函数积分的定义 设平面上光滑或分段光滑曲线C的两个端点为A和B.对曲线C而言，有两个可能方向：从点A到点B和从点B到点A.若规定其中一个方向(例如从点A到点B的方向)为正方向，则称C为 有向曲线.此时称点A为曲线C的起点，点B为曲线C的终点.若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点B到起点A的方向则称为曲线C的负方向，记作C.定义3.1 设C为一条光滑或分段光
2、滑的有向曲线，其中A为起点，B为终点.函数f(z)在曲线C上有定义.现沿着C按从点A到点B的方向在C上依次任取分点：A=z0,z1,zn-1,zn=B,将曲线C划分成 n个小弧段.在每个小弧段 (k=1,2,n)上任取一点k,并作和式f(z)称为被积函数，f(z)dz称为被积表达式.其中 .记为n个小弧段长度中的最大值.当趋向于零时，若不论对曲线C的分法及点k的取法如何，Sn极限存在，则称函数f(z)沿曲线C可积，并称这个极限值为函数f(z)沿曲线C的积分.记作 若C为闭曲线，则函数f(z)沿曲线C的积分记作 2.复变函数积分的性质性质3.1（方向性）若函数f(z)沿曲线C可积，则性质3.2（
3、线性）若函数f(z)和g(z)沿曲线C可积，则其中,为任意常数.性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f(z)沿曲线C可积，曲线C由曲线段,依次首尾相接而成，则 性质3.4（积分不等式）若函数f(z)沿曲线C可积，且对 ,满足 ,曲线C的长度为L,则 其中 ,为曲线C的弧微分.记sk为zk-1与zk之间的弧长 两端取极限 3.复变函数积分的基本计算方法定理3.1 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则f(z)沿C可积，且 证明：已知f(z)沿C连续，所以必有u、v都沿C连续，于是这两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在，且 参数方程法 设C为一光滑或为分段光滑曲线，其参数
4、方程为 参数t=a时对应曲线C的起点，t=b时对应曲线C的终点.设f(z)沿曲线C连续，则 例3.1 分别沿下列路径计算积分 和(1)C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段；(2)C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段.解：(1)C的参数方程为：z=(1+i)t,t从0到1.(2)这两直线段分别记为C1和C2,C1的参数方程为：y=0,x 从0到1;C2的参数方程为：x=1,y 从0到1.例3.2 计算积分 ,其中C为图3.2所示半圆环区域的正向边界.解：积分路径可分为四段：C1:z=t(-2 t -1);C2:z=从到0;C3:z=t(1 t 2);C4:z=从0到.例3.
5、3 计算积分 ,其中C为以z0为中心，r为半径的正向圆周，n为整数.解：曲线C的方程为：当n=0时 当n0时，3.2 柯西-古萨定理(Cauchy-Goursat)及其推广1.柯西-古萨定理 假设函数f(z)=u+iv在单连通域D内处处解析，f(z)在D内连续,u,v对x,y的偏导数在D内连续.设z=x+iy，C为D内任一条简单闭曲线.记G为C所围区域，由格林(Green)公式有由于f(z)=u+iv在D内解析，所以u、v在D内处处都满足柯西-黎曼方程,即 因此从而定理3.2（柯西-古萨定理）若函数f(z)是单连通域D内的解析函数，则f(z)沿D内任一条闭曲线C的积分为零，即 对于任意一条闭曲
6、线，它都可以看成是由有限多条简单闭曲线衔接而成的。推论3.1 设C为z平面上的一条闭曲线，它围成单连通域D,若函数f(z)在 上解析，则 推论3.2 设函数f(z)在单连通域D解析,则f(z)在D内积分与路径无关.即积分 不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线C,而只与z0、z1的位置有关.证明：设C1和C2为D内连接z0 与z1的任意两条曲线.显然C1和 连接成D内一条闭曲线C.由柯西-古萨定理 2.原函数 函数f(z)沿曲线C1和C2的积分又可以表示为 固定下限z0，让上限z1在区域D内变动，并令z1=z,则确定了一个关于上限z的单值函数 并称F(z)为定义在区域D内的积分上限函数或变上限函
7、数.定理3.3 若函数f(z)在单连通域D内解析，则函数F(z)必在D内解析，且有F(z)=f(z).证明：若D内任取一点z,以z为中心作一个含于D内的小圆B，在B内取点 积分与路径无关 f(z)是与积分变量无关的值 又f(z)在D内解析，显然f(z)在D内连续.所以对于任给的 ,必存在 ,使得当 (且落在圆B内)，即当 时，总有 也就是 即定义3.2 若在区域D内，(z)的导数等于f(z)，则称(z)为f(z)在D内的原函数.变上限函数 为f(z)的一个原函数.那么函数f(z)的全体原函数可以表示为 ,其中C为任意常数.定理3.4 若函数f(z)在单连通域D内处处解析，(z)为f(z)的一个
8、原函数，则 ,其中z0、z1为D内的点.证明：为f(z)的一个原函数.当z=z0时，根据柯西-古萨定理可知,例3.4 求积分 的值.解：因为sin2z在复平面上解析，所以积分与路径无关.例3.5 求积分 的值.解：因为(z-1)e-z在复平面上解析，所以积分与路径无关.上式右边第一个积分的计算可采用分部积分法，第二个积分可用凑微分法.例3.6 设D为直线和直线所围成的区域.求积分 的值.解：尽管 在复平面上存在两个奇点1和-2，但是单连通域D包含点3和i，又不含奇点1和-2，因此在区域D内解析.函数ln(z-1)和ln(z+2)在单连通域D内可以分解为单值的解析分支，ln(z-1)的各分支导数
9、都为 ,ln(z+2)的各个分支的导数都为 3.复合闭路定理 设有n+1条简单闭曲线C0、C1、C2、Cn,其中C1、C2、Cn互不相交也互不包含，并且都含于C0的内部.这n+1条曲线围成了一个多连通区域D,D的边界C称作复闭路，它的正向为C0取逆时针方向，其它曲线都取顺时针方向.因此复闭路记作定理3.5 若f(z)在复闭路 及其所围成的多连通区域内解析，则 ,也就是 做辅助线l1、l2和l3将C0、C1及C2连接起来，从而把多连通区域D划分为两个单连通区域D1及D2，并分别用1及2表示这两个区域的边界.由柯西-古萨定理 例3.7 计算 的值,C为包含圆周|z|=1在内的 任何正向简单闭曲线.
10、解：显然z=0和z=-1是函数 的两个奇点，由于C为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线，因此也包含了这两个奇点.在C的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C1和C2，其中C1的内部只包含奇点z=-1，C2的内部只包含奇点z=0.在由C、C2、C2所围成的复连通域内解析 3.3 柯西(Cauchy)积分公式及其推论1.柯西积分公式 定理3.6 若f(z)是区域D内的解析函数，C为D内的简单闭曲线，C所围内部全含于D内，z为C内部任一点，则 ,其中积分沿曲线C的正向.上式称为柯西积分公式.证明：取定C内部一点z.因为f(z)在D内解析，所以f(z)在点z连续.即对任给的0,必存在0,当时
11、,有 .令 ,则 在D内除去点z外处处解析.现以z为中心，r为半径作圆周 ,使圆B的内部及边界全含于C的内部.根据复合闭路定理有令 ，只需证明,而f(z)与无关.若函数f(z)在曲线C上恒为常数K,z0为C内部任一点，则根据柯西积分公式 即f(z)在曲线C的内部也恒为常数K.若C为圆周:,即 ,则 ,从而 解析函数在圆心z0处的值等于它在圆周上的平均值，这就是解析函数的平均值定理.若f(z)在简单闭曲线C所围成的区域内解析，且在C上连续，则柯西积分公式仍然成立.柯西积分公式可以改写成 例3.8 计算积分 的值.解：因为z2+1在|z|=2内解析 例3.9 计算积分 的值，其中C为:解：(1)被
12、积函数 在 的内部解析(2)被积函数 在 的内部解析(3)被积函数在|z|=3的内部有两个奇点.在C的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C1和C2，其中C1的内部只包含奇点z=1，C2的内部只包含奇点z=-1.例3.10 求积分 的值,其中C为:x2+y2=4x.解：x2+y2=4x可化为(x-2)2+y2=4，即|z-2|=2.被积函数在C的内部内有奇点/2和2，作以/2和2为中心位于C内的互不相交的小圆周C1和C2.2.高阶导数公式 定理3.7 定义在区域D的解析函数f(z)有各阶导数，且有其中C为区域D内围绕z的任何一条简单闭曲线，积分沿曲线C的正向.定理3.8 若f(z)为定义在区域
13、D内的解析函数，则在D内其各阶导数都存在并且解析.换句话说，解析函数的导数也是解析函数.定理3.9 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是(1)在D内连续；(2)在D内满足柯西-黎曼方程.例3.11 求积分 的值,其中C为:.解：被积函数在C的内部有一个奇点 例3.12 求积分 的值，其中C为:|z|=2.解：被积函数在C的内部有两个奇点z=0和z=1,作两条闭曲线C1和C2互不相交且互不包含，分别包围奇点z=0和z=1，且两曲线所围区域全含于C的内部.3.4 解析函数与调和函数的关系定义3.3 在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的二元实函数(x,y
14、)称为在D内的调和函数.定理3.10 任何在区域D内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，它的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是D内的调和函数.证明 由柯西-黎曼方程有 u(x,y)与v(x,y)具有任意阶连续偏导，所以 同理可证 即u(x,y)与v(x,y)都是调和函数.使u(x,y)+iv(x,y)在区域D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数.或者说，在区域D内满足柯西-黎曼方程ux=vy,vx=-uy的两个调和函数u和v中，v称为u的共轭调和函数.1.偏积分法利用柯西-黎曼方程先求得v对y的偏导vy=ux,此式关于y积分得 然后两边对x求偏导
15、,由vx=-uy,于是有 从而例3.13 已知u(x,y)=2(x-1)y,f(2)=-i,求其共轭调和函数，并写出f(z)的形式.解 由柯西-黎曼方程，有vy=ux=2y,此式两边关于y积分：由条件 f(2)=-i,得C=-1 2.线积分法利用柯西-黎曼方程有 该积分与积分路径无关，因此可选取简单路径(如折线)进行计算.其中(x0,y0)为区域D中的点.例3.13 已知u(x,y)=2(x-1)y,ux=2y,uy=2x-2.取(x0,y0)=(0,0),路径为从(0,0)到(x,0)的直线段再从(x,0)到(x,y)的直线段.3.不定积分法根据柯西-黎曼方程及解析函数的导数公式有将 表示成z的函数h(z),于是 例3.13 已知u(x,y)=2(x-1)y,ux=2y,uy=2x-2.由条件 f(2)=-i,得C=-i,故