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1、复变函数与积分变换-第三章第一页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换4.1 复数项级数与复变函数项级数1.复数序列概念收敛与发散定理4.1.1定理4.1.2第二页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换2.复数项级数概念收敛与发散形如 的表达式被称为复数项级数，其中wn是复数。121nnnwwww若 的前n项和 有极限（n）,则称该级数收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；否则称为发散。1nnwnjjnwS1第三页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换收敛的充分必要条件定理4.1.3绝对收敛与条件收敛
2、定义4.1.4设 ，则级数 收敛的充分必要条件是 和 都收敛，其中un和 vn皆为实数。),2,1(invuwnnn1nnw1nnu1nnv称级数 是绝对收敛的，如果 是收敛的1nnw1|nnw称级数 是条件收敛的，如果 是发散的，而 是收敛的1nnw1|nnw1nnw第四页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换举例考察级数 的敛散性1/11nnien考察级数 的敛散性1nnz考察级数 的敛散性12)1(nnnin第五页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换3.复变函数项级数概念收敛与发散形如 的表达式被称为复数项级数，其中wn(
3、z)是复变函数。121)()()()(nnnzwzwzwzw点收敛：域收敛：收敛称之10)(nnzw收敛，zB，称之1)(nnzw第六页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换收敛的充分必要条件一致收敛一致收敛定理定理4.1.6级数 收敛的充分必要条件是 和 都收敛，其中),2,1(),(i),()(nyxvyxuzwnnn)(1zwnn),(1yxunn),(1yxvnnnkknnzwzSzSzf1)()(|)()(|其中对于 ，称它在B内一致收敛于函数f(z)，如果0，N()，当nN()时，有)(1zwnnM判别法第七页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函
4、数与积分变换复变函数与积分变换性质连续性-4.1.7可积性-4.1.8解析性4.1.9级数 在B内一致收敛，且wn(z)连续，则该级数在B内连续)(1zwnn级数 在C上一致收敛，且wn(z)在C上连续，则)(1zwnn11)()(nCnCnndzzwdzzw级数 在B内一致收敛f(z)，且wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且)(1zwnn1)()()()(nknkzwzf第八页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换4.2幂级数1.幂级数概念形如 的级数被称为以z0为中心的幂级数，其中an是复变常数。10)(nnnzza定理4.2.1（阿贝尔定理）第九
5、页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换2.幂级数的收敛圆与收敛半径若存在正数R，使得当|z-z0|R时，级数 发散，则称R为级数 的收敛半径，其中|z-z0|R被称为收敛圆收敛圆。10)(nnnzza10)(nnnzza10)(nnnzza第十页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换收敛半径的求法：定理4.2.2；定理4.2.31limnnnaaRnnnaR1limDAlembert公式Cauchy(根式)公式举例求级数 的敛散半径及收敛圆1nnz求级数 的敛散半径及收敛圆122)1(nnz第十一页，讲稿共三十五页哦2022-9
6、-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换内闭一致收敛3.幂级数的性质在收敛圆内幂级数具有连续性、可积性可积性4.2.5和解析性4.2.4幂级数在收敛圆内内闭一致收敛4.幂级数的运算第十二页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换4.3 Taylor级数表示1.Taylor展开定理设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内任一点z，函数f(z)可写成（定理4.3.1）00)()(kkkzzazf)(!1)()(i210)(10zfkdzfakCkkR其中z0zCRCRRR第十三页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换举例
7、函数 f(z)=ez 在z=0点的Taylor级数展开函数 f(z)=sin z和f(z)=cos z 在z=0点的Taylor级数展开函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开第十四页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换例2把函数 展开成 的幂级数 解:函数 在 内处处解析,由公式(4.1.7)把上式两边逐项求导,即得所求的展开式211z211zz1z1,11112zzzzznn.1,14321111322znzzzzznn第十五页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变
8、换复变函数与积分变换 解析函数的一个等价命题函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内任一点的邻域内可展成幂级数（定理4.3.2）第十六页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换2.几个初等函数的幂级数展开式直接方法间接方法函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开待定系数法函数 f(z)=tan z 在z=0点的Taylor级数展开第十七页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与
9、积分变换4.4 Laurent级数 问题的提出已知结果：当 f(z)在圆|z-z0|R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。问题是：当 f(z)在圆|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双边幂级数就在环状域 R2|z-z0|R1 内收敛，所以 R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。第二十页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换00)(nnnzza正幂部分10)(nnnzza负幂部分R2R1z0R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|收敛环R2|z-z0|R101zz
10、第二十一页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换 双边幂级数的性质R2R1z0B定理设双边幂级数 的收敛环B为R2|z-z0|R1，则(1)在B内连续；(2)在B内解析，且于B内可逐项可导；(3)在B内可逐项积分。nnnzza)(0nnnzzazf)()(0第二十二页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换2.Laurent展开定理设函数 f(z)在环状域 R2|z-z0|R1 的内部单值解析，则对于环内任一点z，f(z)可展开成nnnzzazf)()(0Ckkdzfa10)()(i21其中zCR1CR2R2R1z0C第二十三页，讲
11、稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换Laurent级数中的z0点可能是奇点，也可能不是奇点说明)(!10)(zfnannLaurent级数展开的唯一性收敛范围的极限的确定第二十四页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换举例函数 f(z)=sin z/z 在0|z|内的Laurent级数展开函数 f(z)=1/(1-z2)分别在1|z|和 0|z-1|2内的Laurent级数展开11-11|z|21-10|z-1|2第二十五页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换例3把函数 展开成 的级数 解:因为所以
12、 zezzf13z!3!2132nzzzzenz.0,!51!41!31!2!31!211122332313zzzzzzzzzzezzfz第二十六页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换例4把函数 在收敛圆环域 内展开成罗伦级数.解:因为所以,.222212121121213322nnzzzzzz 211zzzf zzzzzf2111211,11132nzzzzz nzzzzzf321nnzzzz222212133222137248zz10 z01z第二十七页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换例5把函数 在收敛圆环域 内展开成
13、罗伦级数.解:因为所以,232311111.222222212nnzzzzzz 211zzzfnnzzzz22221213322 zzzzzzzzf211111211121121111111111zzzzzz 21111zzzzf842111121zzzzznn21 z12z第二十八页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换例5把函数 在收敛圆环域 内展开成罗伦级数.解:因为所以,21111111111zzzzzz24211211121zzzzzz 211zzzf 21111zzzzf zzzzzzzzzf21111111211121121241zzz 43275
14、1zzz z22z 第二十九页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换 通过例3、例4、例5可知同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗伦级数一般不同;由罗伦级数的唯一性可知,同一个函数在相同的收敛圆环域内的罗伦级数一定相同.第三十页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换第五节 孤立奇点的分类 概念若函数 f(z)在某点z0在不可导，而在z0的任意邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇点；若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。举例孤立奇点的例子2/111 ,1zezz非孤立奇点
15、的例子)/1sin(1z1 ,21,0,21,1第三十一页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换 孤立奇点的Laurent级数展开在区域 0|z-z0|R 内的单值解析函数 f(z)可展开成nnnzzazf)()(0其中正幂部分00)(nnnzza是该级数的解析部分10)(nnnzza是该级数的主要部分负幂部分这里a-1具有特殊的作用，被称为f(z)在点z=z0处的留数第三十二页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换 孤立奇点的分类可去奇点：主要部分不存在m阶极点：主要部分有m项本性奇点：主要部分有无穷多项第三十三页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换 孤立奇点的等价命题内有界在可去奇点|z-|0)(lim00zlzfzz)(lim )0()()(lim 0)z()(),()(1)(00000zfaazfzzzzzzzfmzzmzzm解析且阶极点不存在且不为无穷本性奇点)(lim0zfzz第三十四页，讲稿共三十五页哦2022-9-6复变函数与积分变换复变函数与积分变换举例zzzfsin)(22)1)(1(2)(zzzzf232)(sin)2)(1()(zzzzfzzf1exp)(求下列函数的孤立奇点，并指出类型第三十五页，讲稿共三十五页哦