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1、复变函数与积分变换第三章第1页，本讲稿共70页第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分3.1 3.1 复变函数的积分复变函数的积分3.2 Cauchy3.2 Cauchy积分定理积分定理3.3 Cauchy3.3 Cauchy积分公式积分公式第2页，本讲稿共70页主主 要要 内内 容容 本章介绍复变函数的积分概念，解析本章介绍复变函数的积分概念，解析函数积分的主要性质函数积分的主要性质.重点是重点是CauchyCauchy积分积分定理、定理、CauchyCauchy积分公式、积分公式、Cauchy(Cauchy(高阶高阶)导导数公式。数公式。第3页，本讲稿共70页3.1 复变函数积分的概念复
2、变函数积分的概念一一 复变函数积分的定义复变函数积分的定义二二 复变函数积分的性质复变函数积分的性质三三 复变函数积分的计算复变函数积分的计算第4页，本讲稿共70页复习复习核心思想是什么？核心思想是什么？第5页，本讲稿共70页微积分学的现实意义微积分学的现实意义第6页，本讲稿共70页abxyC定义定义 如图设如图设 C 为简单光滑的有向为简单光滑的有向(1)将曲线将曲线 C 任意划分任意划分：一、复积分的定义一、复积分的定义函数函数 在在 C 上有定义，上有定义，令令z zkz0zkznzk-1(2)在每个弧段在每个弧段 上上任取一点任取一点若若 存在存在(不依赖不依赖 C 的划分和的划分和
3、的选取的选取)，则称之为则称之为 沿曲线沿曲线 C 的的积分积分，记为，记为曲线，其方向是从曲线，其方向是从 a 到到 b，P40定义定义 3.1 第7页，本讲稿共70页abxyC一、复积分的定义一、复积分的定义表示沿曲线表示沿曲线 C 的的注注(1)znzk-1z0zkz zkC-负方向积分；负方向积分；表示沿表示沿闭曲线闭曲线 G G(2)(的逆时针方向的逆时针方向)积分；积分；第8页，本讲稿共70页第一类曲线积分第一类曲线积分二、复积分的性质二、复积分的性质(1)(4)(2)(3)其中，其中，其中，其中，L为曲线为曲线C的弧长。的弧长。P41 第9页，本讲稿共70页估计估计例例的模的一个
4、上界，其中的模的一个上界，其中 C 如图所示如图所示。xyCi1-1解解第10页，本讲稿共70页三、复积分的计算三、复积分的计算附附 格林格林(Green)公式公式 进一步可化为进一步可化为定积分定积分或者或者二重积分二重积分。方法一方法一 化为第二类曲线积分化为第二类曲线积分 P42 定理定理3.1 (推导推导?)?)第11页，本讲稿共70页定理定理3.1 设设C是分段光滑是分段光滑(或可求长或可求长)的有向的有向曲线，曲线，在在C上连续，则上连续，则 存在，并且存在，并且 第12页，本讲稿共70页从从形式上形式上可以看成可以看成第13页，本讲稿共70页三、复积分的计算三、复积分的计算方法二
5、方法二 直接化为定积分直接化为定积分 设曲线设曲线则则其中，其中，附附 其它方法其它方法(后面的章节介绍后面的章节介绍)利用原函数计算，即利用原函数计算，即 利用柯西积分公式、高阶导公式计算。利用柯西积分公式、高阶导公式计算。利用留数计算利用留数计算。P43 第14页，本讲稿共70页解解(1)曲线曲线 C1 的方程为的方程为曲线曲线 C2 的方程为的方程为xyC1C2C3i1C4计算计算例例其中其中 C 为为(如图如图)：(1)(2)(3)P43 例例2 修改修改 第15页，本讲稿共70页解解(2)曲线曲线 C3 的方程为的方程为xyC1C2C3i1C4计算计算例例其中其中 C 为为(如图如图
6、)：(1)(2)(3)P43例例2 修改修改 第16页，本讲稿共70页解解(3)曲线曲线 C4 的方程为的方程为xyC1C2C3i1C4计算计算例例其中其中 C 为为(如图如图)：(1)(2)(3)P43例例2 修改修改 第17页，本讲稿共70页解解(1)曲线曲线 C1 的方程为的方程为曲线曲线 C2 的方程为的方程为xyC1C2C3i1计算计算例例其中其中 C 为：为：(1)(2)第18页，本讲稿共70页解解(2)曲线曲线 C3 的方程为的方程为xyC1C2C3i1计算计算例例其中其中 C 为：为：(1)(2)第19页，本讲稿共70页都是从相同的起点到相同的终点都是从相同的起点到相同的终点,
7、沿着两条不沿着两条不注意注意1 从例题看到从例题看到,积分积分和和相同的路径进行时相同的路径进行时,积分值不同积分值不同,积分值相同积分值相同.是否可以讨论积分与积分是否可以讨论积分与积分路径的关系路径的关系?注意注意2 一般不能将函数一般不能将函数f(z)在以在以a a为起点为起点,以以b b为终点的曲线为终点的曲线C上的积分记成上的积分记成 因为因为积分值可能与积分路径有关积分值可能与积分路径有关,所以记所以记第20页，本讲稿共70页解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为例例 计算积分计算积分(n是整数是整数),其中其中C是圆周是圆周:的正向的正向.第21页，本讲稿共70页重要结论：
8、积分值与圆周的中心、半径无关重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.注注 此例的结果很重要！此例的结果很重要！第22页，本讲稿共70页3.2 柯西积分定理柯西积分定理一、柯西基本定理一、柯西基本定理二、闭路变形原理二、闭路变形原理三、复合闭路定理三、复合闭路定理四、路径无关性四、路径无关性五、原函数五、原函数第23页，本讲稿共70页(?)证明证明Green公式公式C-R方程方程D(?)Green公式公式C-R方程方程证明证明一、柯西基本定理一、柯西基本定理定理定理 设函数设函数 f(z)在单连通域在单连通域 D 内解析，内解析，G G 为为 D 内的任意一条简单闭曲线，内的任意一条简单闭曲线，
9、上述定理又称为上述定理又称为柯西柯西-古萨古萨(Cauchy-Goursat)基本定理基本定理。则有则有G GG P46定理定理 3.2 第24页，本讲稿共70页注注(1)定理中的曲线定理中的曲线 G G 可以不是可以不是简单简单闭曲线闭曲线。(2)定理中的条件还可以进一步减弱定理中的条件还可以进一步减弱。定理定理 设单连域设单连域 D 的边界为的边界为 C，函数，函数 f(z)在在 D 内解析，内解析，则有则有CD在在 上连续，上连续，D一、柯西基本定理一、柯西基本定理定理定理 设函数设函数 f(z)在单连通域在单连通域 D 内解析，内解析，G G 为为 D 内的任意一条简单闭曲线，内的任意
10、一条简单闭曲线，则有则有G GG第25页，本讲稿共70页二、闭路变形原理二、闭路变形原理 将柯西积分定理推广到二连域将柯西积分定理推广到二连域定理定理 设二连域设二连域 D 的边界为的边界为 (如图如图)，或或Dab证明证明 如图，作线段如图，作线段 a b，则二连域，则二连域 D 变为单连域，变为单连域，由由或或函数函数 在在 D 内解析，在内解析，在 D+C 上连续上连续，则则从而有从而有 P47定理定理 3.3 第26页，本讲稿共70页D 在区域内的在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值区域内作连续变形而改变
11、它的值，称此为称此为闭路变形原理闭路变形原理。二、闭路变形原理二、闭路变形原理 闭路变形原理闭路变形原理如图，设如图，设 在在 D 内解析，内解析，在边界在边界 上连续上连续，G G 为为 D 内的一条内的一条“闭曲线闭曲线”，则则第27页，本讲稿共70页DrCG G解解 如图以如图以 为圆心为圆心 r 为半径作圆，为半径作圆，则函数则函数 在在因此有因此有当当 时，时，当当 时。时。上解析，上解析，重要重要 第28页，本讲稿共70页三、复合闭路定理三、复合闭路定理 将柯西积分定理推广到多连域将柯西积分定理推广到多连域函数函数 在在 D 内解析，内解析，或或设多连域设多连域 D 的边界为的边界
12、为 (如如图图)，定理定理DC1C2C0C3Cn在在 D+C 上连续，上连续，则则证明证明(略略)P47定理定理3.4 第29页，本讲稿共70页解解 显然函数显然函数 例例 计算积分计算积分其中其中G G为包含圆周为包含圆周在内的任意分段光滑正向简单闭在内的任意分段光滑正向简单闭曲线曲线.在复平面有两个奇点在复平面有两个奇点0和和1,并且并且G G 包含了这两个奇点包含了这两个奇点.第30页，本讲稿共70页打洞打洞!根据根据 ,第31页，本讲稿共70页Cauchy定理重要公式Cauchy定理重要公式（挖（挖“奇点奇点”法）法）第32页，本讲稿共70页令令解解则则奇点为奇点为(1)当当 C 为为
13、 时，时，C(1)(2)其中其中 C 为：为：例例 计算计算C3210第33页，本讲稿共70页令令解解C1C2则则奇点为奇点为(2)当当 C 为为 时，时，令令 C1：C2：则则C(1)(2)其中其中 C 为：为：例例 计算计算C3210第34页，本讲稿共70页的简单曲线，的简单曲线，四、路径无关性四、路径无关性定理定理 设函数设函数 f(z)在单连通域在单连通域 D 内解析，内解析，C1,C2 为为 D 内的任意两条从内的任意两条从 到到证明证明由由 可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，则有则有 P49定理定理 3.5 第35页
14、，本讲稿共70页计算计算例例其中其中 C 为为如图所示的一个半圆如图所示的一个半圆。xyCi2G G解解 设设 G G 如图所示，如图所示，处处解析，处处解析，问问 是否可以直接计算？是否可以直接计算？因此有因此有即即由于由于 在复平面上在复平面上第36页，本讲稿共70页五、原函数五、原函数设在单连域设在单连域 D 内，函数内，函数 恒满足条件恒满足条件定义定义则则 称为称为 在在 D 内的内的一个一个原函数原函数。1.基本概念及性质基本概念及性质函数函数 的任何两个原函数相差一个常数。的任何两个原函数相差一个常数。性质性质设设 和和 是是 的两个原函数，则的两个原函数，则证明证明其中，其中，
15、c 为任意常数。为任意常数。函数函数 的原函数的原函数 称为称为 的的不定积分不定积分，定义定义记作记作 P50定义定义 3.2 补补 第37页，本讲稿共70页D五、原函数五、原函数2.由变上限积分构成的原函数由变上限积分构成的原函数定理定理 若若 在单连域在单连域 D 内处处解析，内处处解析，则则 在在 D 内解析，且内解析，且 令令 P49定理定理 3.6 3.Newton-Leibniz公式公式定理定理 若若 在单连域在单连域 D 内处处解析，内处处解析，为为 的原函数，的原函数，P50定理定理 3.7 第38页，本讲稿共70页复积分的换元积分公式复积分的换元积分公式复积分的分部积分公式
16、复积分的分部积分公式第39页，本讲稿共70页例例 求求解解例例 求求解解例例 求求解解第40页，本讲稿共70页练习练习解解使用“凑微分”解解利用分部积分法可得利用分部积分法可得练习练习第41页，本讲稿共70页3.3 Cauchy积分公式积分公式 3.3.1 3.3.1 问题的提出问题的提出3.3.2 3.3.2 Cauchy积分公式积分公式3.3.3 3.3.3 高阶导数公式高阶导数公式第42页，本讲稿共70页实际问题：实际问题：如果测得地球表面各点的温度，能否如果测得地球表面各点的温度，能否测得地心的温度？如何测？测得地心的温度？如何测？寻求：由寻求：由D边界上的函数值导出边界上的函数值导出
17、D内点的函内点的函数值的表达式数值的表达式.数学模型3.3.1 问题的提出问题的提出第43页，本讲稿共70页DC一、柯西积分公式一、柯西积分公式G Gd d定理定理 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，内解析，在在D+C 上连续，上连续，证明证明(思路思路)如图，以如图，以 为圆心，为圆心，d d 为半径作圆为半径作圆 G G，则，则左边左边右边右边|右边右边-左边左边|则则 P52定理定理 3.8 (跳过跳过?)?)第44页，本讲稿共70页在在D+C 上连续，上连续，则则一、柯西积分公式一、柯西积分公式定理定理如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，内解析，Dd dG GC证明证
18、明(思路思路)(当当 充分小时充分小时)|右边右边-左边左边|即只要即只要 d d 足够小，所证等式两边的差的模可以任意小，足够小，所证等式两边的差的模可以任意小，由于左边与右边均为常数，与由于左边与右边均为常数，与 d d 无关，故等式成立。无关，故等式成立。第45页，本讲稿共70页在边界在边界 C 上连续，上连续，则则一、柯西积分公式一、柯西积分公式定理定理如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，内解析，Dd dG GC意义意义将将 换成换成 ，积分变量，积分变量 换成换成 ，解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。换句话说，换句话
19、说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种解析函数可用其解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表达出来。特定的积分形式表达出来。则上式变为则上式变为第46页，本讲稿共70页是多连域。是多连域。一、柯西积分公式一、柯西积分公式注意注意 柯西积分公式柯西积分公式中的区域中的区域 D 可以可以应用应用 推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。比如对于二连域比如对于二连域 D,其边界为其边界为 ，DC1 反过来计算积分反过来计算积分则则 P53推论推论 3.3 第47页，本讲稿共70页在在 上解析上解析 其中其中 C 为：为：例例 计算计算(1)(2)C1C
20、2210(1)解解(柯西积分公式柯西积分公式)(2)(柯西积分定理柯西积分定理)(函数函数 在在 上解析上解析)第48页，本讲稿共70页C1C2令令解解则则令令 C1：C2：其中其中 C 如图所示。如图所示。例例 计算计算C201则则(复合闭路定理复合闭路定理)(柯西积分公式柯西积分公式)第49页，本讲稿共70页C203-3解解 试考虑积分路径为试考虑积分路径为 的情况的情况。第50页，本讲稿共70页二、平均值公式二、平均值公式如果函数如果函数 在在 内解析，内解析，定理定理(平均值公式平均值公式)在在 上连续，上连续，q qxRyC证明证明 由柯西积分公式有由柯西积分公式有则有则有 P53推
21、论推论3.2 (连续函数的平均值连续函数的平均值)第51页，本讲稿共70页3.3.3 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数一、高阶导数定理一、高阶导数定理二、柯西不等式二、柯西不等式三、刘维尔定理三、刘维尔定理第52页，本讲稿共70页一、高阶导数定理一、高阶导数定理分析分析则由则由柯西积分公式柯西积分公式有有又又如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，在内解析，在 上连续，上连续，第53页，本讲稿共70页一、高阶导数定理一、高阶导数定理定理定理 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，在内解析，在 上连续，上连续，则则 的各阶导数均在的各阶导数均在 D 上解析，上解析，证明证明(略略)
22、意义意义 解析函数的导数仍解析解析函数的导数仍解析。应用应用 推出一些理论结果。推出一些理论结果。反过来计算积分反过来计算积分且且 P55定理定理 3.9 (进入证明进入证明?)?)第54页，本讲稿共70页解解例例 计算计算解解第55页，本讲稿共70页(1)令令解解 例例 计算计算则则(复合闭路定理复合闭路定理)C2C1C2 i-i如图，作如图，作 C1,C2两个小圆，两个小圆，记为记为第56页，本讲稿共70页解解 例例计算计算C2C2-iC1 i(2)(高阶导数公式高阶导数公式)同样可求得同样可求得(3)第57页，本讲稿共70页二、柯西不等式二、柯西不等式定理定理 设函数设函数 在在 内解析
23、，且内解析，且 则则(柯西不等式柯西不等式)证明证明函数函数 在在 上解析，上解析，令令 即得即得 P57定理定理 3.10 第58页，本讲稿共70页三、刘维尔定理三、刘维尔定理定理定理 设函数设函数 在全平面上解析且有界，则在全平面上解析且有界，则 为一常数。为一常数。设设 为平面上任意一点，为平面上任意一点，证明证明函数函数 在在 上解析，且上解析，且根据根据柯西不等式柯西不等式有有令令 即得即得由由 的任意性，知在全平面上有的任意性，知在全平面上有则则 为一常数。为一常数。P57 定理定理3.11第59页，本讲稿共70页复变函数的积分复变函数的积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算
24、积分的性质积分的性质Cauchy积分定理积分定理原函数原函数的概念的概念复合复合闭路闭路定理定理Cauchy积分公式积分公式高阶导数公高阶导数公式式Newton-Leibniz公式公式本章内容总结本章内容总结第60页，本讲稿共70页1.Cauchy积分定理积分定理2.复合闭路定理复合闭路定理 3.Cauchy积分公式与高阶导数公式积分公式与高阶导数公式本章的重点本章的重点4.复变函数积分的计算复变函数积分的计算第61页，本讲稿共70页完了？谁完了？完了？谁完了？积分学，学完了积分学，学完了第62页，本讲稿共70页Class is over祝你下课！祝你下课！第63页，本讲稿共70页第三章第三章
25、 完完第64页，本讲稿共70页George Green(1793.7.14-1841.5.31)自学而成的英国数学家、物理学家自学而成的英国数学家、物理学家.出色地将出色地将数学方法应用到电磁理论和其他数学物理问题数学方法应用到电磁理论和其他数学物理问题.1928年出版了出版了小册子数学分析在电磁年出版了出版了小册子数学分析在电磁学中的应用学中的应用,其中有著名的其中有著名的Green公式公式.40岁进入剑桥大学学习岁进入剑桥大学学习,1839年聘为剑桥大学年聘为剑桥大学教授教授.他的工作培育了数学物理学者的剑桥学派他的工作培育了数学物理学者的剑桥学派,其其中包括中包括G.Stokes和和C.
26、Maxwell.第65页，本讲稿共70页Isaac Newton(1642.12.25-1727.3.20)伟大的英国物理学家和数学家伟大的英国物理学家和数学家.1661年年,进入剑桥大学三一学院学习进入剑桥大学三一学院学习.大学毕业后大学毕业后,在在1665和和1666年期间年期间,Newton 做了做了具有划时代意义的三项工作具有划时代意义的三项工作:微积分、万有引力微积分、万有引力和光的分析和光的分析.1687年发表自然哲学之数学原理年发表自然哲学之数学原理.1669年任剑桥大学教授年任剑桥大学教授,1703年当选为皇家学年当选为皇家学会会长会会长,1705年被英国女王授予爵士称号年被英
27、国女王授予爵士称号.他还担他还担任过造币厂厂长任过造币厂厂长.第66页，本讲稿共70页Nature and Natures laws lay hid in night,God said,“Let Newton be!”and all was light.Newton说说:“我不知道世人怎样看我我不知道世人怎样看我,我只觉得我只觉得自己好象是在海滨游戏的孩子自己好象是在海滨游戏的孩子,有时为找到一个光滑有时为找到一个光滑的石子或比较美丽的贝壳而高兴的石子或比较美丽的贝壳而高兴,而真理的海洋仍然而真理的海洋仍然在我的前面未被发现在我的前面未被发现.”我是站在巨人的肩上我是站在巨人的肩上.I.New
28、ton英国诗人英国诗人A.Pope赞美赞美Newton的的 :第67页，本讲稿共70页Gottfried Wilhelm Leibniz(1646.6.21-1716.11.14)德国数学家德国数学家.他还是外交家、哲他还是外交家、哲学家、法学家、历史学家、语言学学家、法学家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家家和先驱的地质学家,他在逻辑学、力学、光学、他在逻辑学、力学、光学、数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面做了重要的工作面做了重要的工作.1666年他撰写了一般推理方法的论文论组合年他撰写了一般推理方法的论文论组合的艺术的艺术,获得哲学博士
29、学位获得哲学博士学位,并被任命为教授并被任命为教授.在在第68页，本讲稿共70页1672年因外交事务出使法国年因外交事务出使法国,接触到一些数学家接触到一些数学家,开始深入地研究数学开始深入地研究数学,特别是特别是1673年开始研究微年开始研究微积分积分,从从1684年起发表微积分论文年起发表微积分论文.他是历史上他是历史上最大的符号学者之一最大的符号学者之一,所创设的微积分符号所创设的微积分符号,远远优于优于Newton的符号的符号,很多一直沿用至今很多一直沿用至今.Leibniz多才多艺多才多艺,他在他在1671年左右制造出一年左右制造出一种手摇计算机种手摇计算机,甚至研究过中国古代哲学甚至研究过中国古代哲学.Newton和和Leibniz是微积分的奠基者是微积分的奠基者,从那时从那时起起,数学乃至几乎所有科学领域开始了新纪元数学乃至几乎所有科学领域开始了新纪元.第69页，本讲稿共70页附：附：连续函数的平均值连续函数的平均值(以平均气温为例以平均气温为例)设某时间段内的温度函数为设某时间段内的温度函数为将将 n 等份，等分点为等份，等分点为记记即即tab平均气温平均气温平均气温平均气温(返回返回)第70页，本讲稿共70页