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1、关于实变函数第1页，讲稿共15张，创作于星期日注：A可数当且仅当 A可以写成无穷序列的形式a1,a2,a3,1,2,3,4,5,6,a1,a2,a3,a4,a5,a6,例：1）Z=0，1，-1，2，-2，3，-3，与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为可数集的定义2）0,1中的有理数全体 =0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,第2页，讲稿共15张，创作于星期日假设这是一个无限集M我们可以取出其中一个点a1显然Ma1还是无限集在Ma1中可以取出一点a2显然Ma1，a2还是无限集我们可以取出一个可数子集a1,a2,a3,.任何无限集合均含有可数子集（即可数
2、集是无限集中具有最小势的的集合)可数集的性质（子集）第3页，讲稿共15张，创作于星期日可数集的子集或为有限集或为可数集推论 第4页，讲稿共15张，创作于星期日可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集A=a1,a2,a3,a4,a5,a6,当集合有公共元素时，不重复排。假设A，B，C两两不交，则AB=b1,b2,b3,bn，a1,a2,a3,可数个可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集C=c1,c2,c3,c4,c5,c6,B=b1,b2,b3,bnAC=c1,a1,c2,a2,c3,a3,第5页，讲稿共15张，创作于星期日当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列;当A
3、i有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；A1A2A3A4可数个可数集的并可数个可数集的并仍为可数集的证明仍为可数集的证明说明:与Hilbert旅馆问题比较;如何把无限集分解成无限个无限集合的并?第6页，讲稿共15张，创作于星期日首先0,1中的有理数全体=0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,是可数集，例例 全体有理数之集全体有理数之集Q Q是可数集是可数集 -2 -1 0 1 2 3 4所以Q是可数集（可数个可数集的并）说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点(对等意义下).第7页，讲稿共15张，创作于星期日有限个有限个可数集的可数集的
4、卡氏积是可数集是可数集设A，B是可数集，则AB也是可数集从而AB也是可数集（可数个可数集的并）利用数学归纳法即得有限个乘积的情形3 3 可数集的性质（卡氏积）可数集的性质（卡氏积）x固定，y在变第8页，讲稿共15张，创作于星期日例例 平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A A为可数集为可数集证明：平面上的圆由其圆心(x,y)和半径 r 唯一决定,从而 r(x,y)第9页，讲稿共15张，创作于星期日例例有限集与可数集的并仍为可数集可数集并可数集仍为可数集AAMMB第10页，讲稿共15张，创作于星期日对上例的说明对上例的说明特殊情形：0,1 (0,1
5、)R R-Q 1/2,1/3,1/5,0 ,1,1/3,1/4,第11页，讲稿共15张，创作于星期日整系数多项式方程的实根称为代数数；整系数多项式方程的实根称为代数数；不是代数数的实数成为超越数。不是代数数的实数成为超越数。由代数基本定理知由代数基本定理知任意整系数多项式任意整系数多项式至多有有限个实根，至多有有限个实根，从而结论成立从而结论成立.设设 P P 是整系数多项式全体所成之集是整系数多项式全体所成之集,P(n),P(n)是是n n次整系数多次整系数多项式全体项式全体例 代数数全体是可数集第12页，讲稿共15张，创作于星期日有关超越数的说明l1874年Cantor开始研究无限集的计数
6、问题;l1873年C.埃尔米特证明了e是超越数;l1882年Lindemann证明了是超越数;l1934年A.O.盖尔丰得证明了若不是0和1的代数数，是无理代数数,则是超越数(此问题为Hilbert于1900年提出的23个问题中的第7问题)。我们证明了代数数全体是可数集合，通过后面可知道超越数全体是不可数集，故超越数比代数数多得多第13页，讲稿共15张，创作于星期日假设这是集合A从中可以取出可数子集M很容易将M一分为二M1,M2，使得两个都是可数集AMM=a1,a2,a3,a4,a5,a6,M1=a1,a3,a5,M2=a2,a4,a6,取A*=(AM)M1=A-M2即可例例说明：由此我们可得任一无限集一定存在它的一个真子集与它有相同多的元素个数问:为什么不直接令A*=AM?第14页，讲稿共15张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看第15页，讲稿共15张，创作于星期日