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1、1专题 09圆必考点 1 圆的有关性质在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点 O 叫圆心，线段 OA 叫半径。由圆的意义可知：圆上各点到定点（圆心 O）的距离等于定长的点都在圆上。就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧
2、组成的圆形叫弓形。圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。能够重合的两个圆叫等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推理 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。推理 2：圆两条平行弦所夹的弧相等。圆周角定理：推理 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推理 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推理 3：如果三角
3、形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。由于以上的定理、推理，所以添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。2【典例 1】（2019山东中考真题）如图，AB为O的直径，,CD为O上两点，若40BCD，则ABD的大小为（）A 60B50C 40D 20【答案】B【解析】解：连接AD，AB为O的直径，90ADB 40BCD，40ABCD ，90 40 50ABD 故选：B【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.【举一反三】1.（2019黑龙江中考真题）如图，PA.PB分别与O相切于A.B两点，点C为O上一点，连接AC.BC，若50P
4、 ，则ACB的度数为（）.3A 60；B 75；C70；D65.【答案】D【解析】解：连接OA.OB，PA.PB分别与O相切于A.B两点，OA PA，OB PB，90OAP OBP ，180180 50 130AOBP ，11130 6522ACBAOB 故选：D【点睛】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.2 （2019山东中考真题）如图，AB是O的直径，C，D是O上的两点，且BC平分ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A OCBDB ADOCCCEFBEDDAF FD【答案】C【解析】AB是O的直径，BC平分A
5、BD，90ADB，OBCDBC，AD BD，OB OC，4OCBOBC，DBCOCB，OCBD，选项 A 成立；ADOC，选项 B 成立；AF FD，选项 D 成立；CEF和BED中，没有相等的边，CEF与BED不全等，选项 C 不成立，故选 C【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理3（2019吉林中考真题）如图，在O中，AB所对的圆周角050ACB，若P为AB上一点，055AOP，则POB的度数为（）A30B45C55D60【答案】B【解析】解：ACB=50，AOB=2ACB=100，AOP=55，PO
6、B=45，故选：B【点睛】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的 2倍5必考点 2直线和圆的位置关系1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。2、若圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则：直线和圆相交dr；直线和圆相切dr；直线和圆相离dr；直线和圆相交dr3、切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。4、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径推理 1：经过圆心且垂直干切线的直
7、线必经过切点。推理 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。【典例 2】（2019 浙江中考真题）如图，已知O 上三点 A，B，C，半径 OC=1，ABC=30，切线 PA 交OC 延长线于点 P，则 PA 的长为（）A2B3C2D 12【答案】B【解析】连接 OA，ABC=30，AOC=60，PA 是圆的切线，PAO=90，tanAOC=PAOA,PA=tan601=3.故选 B.6【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出AOC=60是解答本题的关键.【举一反三】1.（2019 河南中考模拟）如图，PA，PB 分别与O 相切于 A，B 两点，若C6
8、5，则P 的度数为()A65B130C50D100【答案】C【解析】PA、PB 是O 的切线，OAAP，OBBP，OAP=OBP=90，又AOB=2C=130，则P=360（90+90+130）=50故选 C考点：切线的性质2（2019 江苏中考真题）如图，AB为O的切线，切点为A，连接AOBO、，BO与O交于点C，延长BO与O交于点D，连接AD，若36ABOo，则ADC的度数为()A54oB36oC32oD27o【答案】D【解析】切线性质得到90BAOo903654AOBooo7ODOAQOADODA AOBOADODA Q27ADCADO o故选 D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形
9、的外角性质等，掌握基础定义是解题关键3 （2019广西中考真题）如图，在Rt ABC中，90 C，4AC，3BC，点 O是 AB的三等分点，半圆 O与 AC 相切，M，N分别是 BC 与半圆弧上的动点，则 MN 的最小值和最大值之和是（）A 5B6C 7D8【答案】B【解析】如图，设O与 AC 相切于点 D，连接 OD，作OP BC垂足为 P 交O于 F，此时垂线段 OP 最短，PF 最小值为OPOF，4AC，3BC，5AB90OPB，OP AC点 O是 AB的三等分点，210533OB ，23OP OBAC AB，83OP，O与 AC 相切于点 D，ODAC，ODBC，813OD OABC
10、AB，1OD，MN 最小值为85133OP OF ，如图，当 N在 AB 边上时，M与 B重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，MN 最大值1013133，5 13+=633,MN 长的最大值与最小值的和是 6故选 B【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.必考点 3 正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。定理：把圆分成 n（n3）等分：（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形。定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同
11、心圆。正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。正 n 边形的每个中心角等于n360正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的9中心。若 n 为偶数，则正 n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。【典例 3】（2019 浙江中考真题）如图，已知正五边形 ABCDE内接于O，连结BD，则ABD的度数是（）A 60 B 70 C72 D 1
12、44【答案】C【解析】五边形ABCDE为正五边形 155 2180108ABCC CDCB181(8326)010CBD 72ABD ABCCBD 故选：C【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）180是解题的关键【举一反三】1（2019 四川中考模拟）如图，正方形 ABCD内接于O，AB=22，则AB的长是（）10AB32C2D12【答案】A【解析】连接 OA、OB，正方形 ABCD 内接于O，AB=BC=DC=AD，ABBCCDDA，AOB=14360=90，在 RtAOB 中，由勾股定理得：2AO2=（22）2，解得：AO=
13、2，AB的长为902180=，故选 A【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出AOB 的度数和 OA 的长是解此题的关键2（2019 贵州中考真题）如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，连接 BD则CBD 的度数是（）A30B45C60D9011【答案】A【解析】在正六边形 ABCDEF中，BCD(6 2)1806 120，BC CD，CBD12（180120）30，故选：A【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键3（2019山东初三期中）已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A2B1C 3D 32【答
14、案】B【解析】因为圆内接正三角形的面积为3，所以圆的半径为2 33，所以该圆的内接正六边形的边心距2 33sin602 33321，故选：B【点睛】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距必考点 4 圆中的计算圆扇形，弓形的面积l、圆面积：2RS；2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。在半径为 R 的圆中，圆心角为 n的扇形面积S扇形的计算公式为：3602RnS扇形12注意：因为扇形的弧长180RnL。所以扇形的面积公式又可写为LRS21扇形（3）弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的
15、基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。3、圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面周长等于扇形弧长，计算侧面积就是计算扇形面价半径是母线长 R，圆锥侧面积为 S侧面=12LR【典例 4】（2019河北中考模拟）若一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A 120B180C 240D 300【答案】B【解析】设母线长为 R，底面半径为 r，底面周长=2r，底面面积=r2，侧面面积=rR，侧面积是底面积的 2 倍，2r2=rR，R=2r，设圆心角为 n，有180n R=
16、2r=R，n=180故选 B考点：圆锥的计算【举一反三】1（2019浙江中考真题）若扇形的圆心角为 90，半径为 6，则该扇形的弧长为（）A 32B2C 3D 613【答案】C【解析】解：该扇形的弧长9063180.故选 C【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式：180n Rl（弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R）2（2019 浙江中考真题）如图，ABC内接于圆O，65B ，70C ，若2 2BC，则弧BC的长为（）AB2C2D 2 2【答案】A【解析】连接 OB，OCA=180-ABC-ACB=180-65-70=45，BOC=90，BC=22，OB=OC=2，BC的长为90218
17、0=，故选 A【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识143 （2019西藏中考真题）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）A15 cmB 12 cmC 10 cmD 20cm【答案】A【解析】过O作OE AB于E，90120OA OBcm AOB，30AB，1452OEOAcm，弧CD的长120 4530180，设圆锥的底面圆的半径为r，则230r，解得15r 故选：A【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开
18、图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长1（2010山东中考真题）如图，AB是O的弦，半径OC AB于点D，且6cmAB，4cm.OD 则DC的长为（）.15A5cmB2.5cmC2cmD1cm【答案】D【解析】连接 OA，OCAB，AB=6 则 AD=3且 OA2=OD2+AD2，OA2=16+9，OA=OC=5cmDC=OC-OD=1 cm故选 D2（2019湖北中考真题）如图，点A，B，C均在O上，当40OBC 时，A的度数是（）A50 B55C60 D65【答案】A【解析】OBOC，40OCBOBC ，1804040 100BOC-，1502ABOC 1
19、6故选 A【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半3（2019陕西中考真题）如图，AB 是O 的直径，EF，EB 是O 的弦，且 EF=EB，EF 与 AB 交于点 C，连接 OF，若AOF=40，则F 的度数是（）A20B35C 40D 55【答案】B【解析】连接 FB，则FOB=180-AOF=180-40=140，FEB12FOB=70，FOBO，OFBOBF=(180-FOB)2=20，EFEB，EFBEBF=(180-FEB)2=55，EFOEBF-OFB=55-20=35，故选 B.【点睛】17本题考查了圆周角定理、等
20、腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.4（2019甘肃中考真题）如图，AB 是O 的直径，点 C、D 是圆上两点，且AOC126，则CDB（）A54B64C27D37【答案】C【解析】解：AOC126，BOC180AOC54，CDB12BOC27故选：C【点睛】此题考查了圆周角定理注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半5（2019湖北中考真题）如图，AB 为O的直径，BC 为O的切线，弦 ADOC，直线 CD 交的 BA 延长线于点 E，连接 BD下列结论：CD 是O的切线；CODB；EDAEBD；ED BCBO
21、BE其中正确结论的个数有（）A4 个B3 个C2 个D1 个【答案】A【解析】18解：连结DOAB为O的直径，BC为O的切线，CBO90，AD/OC，DAOCOB，ADOCOD又OA OD，DAOADO，CODCOB在COD和COB中，CO COCODCOBOD OB，COD COB SAS，CDOCBO90又点D在O上，CD是O的切线；故正确，COD COB，CD CB，OD OB，CO垂直平分DB，即CO DB，故正确；AB为O的直径，DC为O的切线，EDOADB90，EDAADOBDOADO90，ADEBDO，OD OB，ODBOBD，EDADBE，EE，19EDAEBD，故正确；EDO
22、EBC 90，EE，EOD ECB，ED ODBE BC，OD OB，EDBC BOBE，故正确；故选：A【点睛】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键6 （2019广东中考真题）平面内，O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作O 的切线条数为（）A0 条B 1 条C2 条D 无数条【答案】C【解析】解：因为点 P 到 O 的距离为 2，大于半径 1，所以点 P 在圆外，所以，过点 P 可作O 的切线有 2 条；故选 C.【点睛】本题考查了点与圆的关系、切线的定义，熟练掌握是
23、解题的关键.7 （2019湖南中考真题）如图，PA、PB为圆 O 的切线，切点分别为 A、B，PO 交 AB于点 C，PO 的延长线交圆 O 于点 D，下列结论不一定成立的是()20APAPBBBPDAPDCABPDDAB 平分 PD【答案】D【解析】PA，PB 是O 的切线，PAPB，所以 A 成立；BPDAPD，所以 B 成立；ABPD，所以 C 成立；PA，PB 是O 的切线，ABPD，且 ACBC，只有当 ADPB，BDPA 时，AB 平分 PD，所以 D 不一定成立，故选 D【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.8 （2019江苏初
24、三期末）如图，在ABC 中，AB=5，AC=3，BC=4，将ABC 绕 A 逆时针方向旋转 40 得到ADE，点 B 经过的路径为弧 BD，是图中阴影部分的面积为（）A143 6B259C338 3D33+【答案】B【解析】解：AB=5，AC=3，BC=4，ABC 为直角三角形，由题意得，AED 的面积=ABC 的面积，21由图形可知，阴影部分的面积=AED 的面积+扇形 ADB 的面积ABC 的面积，阴影部分的面积=扇形 ADB 的面积=2405253609，故选 B【点睛】考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形 ADB 的面积是解题的关键9
25、（2019江苏中考真题）如图，点 A、B、C 在O 上，BC6，BAC30，则O 的半径为_【答案】6【解析】解：连接 OB,OCBOC2BAC60，又 OBOC，BOC 是等边三角形OBBC6，故答案为 6【点睛】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质10（2018湖北中考真题）如图，点 A，B，C 在O 上，A=40 度，C=20 度，则B=_度22【答案】60【解析】如图，连接 OA，OA=OC，OAC=C=20，OAB=OAC+BAC=20+40=60，OA=OB，B=OAB=60，故答案为 60【点睛】本题考查了圆的性质的应用，熟练掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的
26、关键11（2019山东中考模拟）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上的一点，若 BC=6，AB=10，ODBC 于点D，则 OD 的长为_【答案】4【解析】解：ODBC，BD=CD=12BC=3，OB=12AB=5，在 RtOBD 中，OD=22OBBD=423故答案为4【点睛】本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键12（2019 四川中考真题）如图，ABC是O 的内接三角形，且 AB 是O 的直径，点 P 为O 上的动点，且60BPC，O 的半径为6，则点P 到 AC 距离的最大值是_【答案】63 3【解析】过 O 作OMAC于 M，延长MO 交O 于 P，则
27、此时，点P 到 AC 距离的最大，且点P 到 AC 距离的最大值PM，OMAC，60ABPC，O 的半径为6，6OPOA，3363 322OMOA，63 3PMOPOM，则点P 到 AC 距离的最大值是63 3，故答案为：63 3【点睛】24本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键13 （2015河南中考真题）如图，在扇形 AOB 中，AOB=90，点 C 为 OA 的中点，CEOA 交AB于点 E，以点 O 为圆心，OC 的长为半径作CD交 OB 于点 D，若 OA=2，则阴影部分的面积为.【答案】3212.【解析】连接 OE、AE，点 C 为
28、OA 的中点，CEO=30，EOC=60，AEO 为等边三角形，S扇形AOE=260223603，S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-SCOE）=22902901211336036032（）=323432=312 22514（2019 贵州中考真题）如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，A100，则DCE 的度数为_；【答案】100【解析】四边形 ABCD 为O 的内接四边形，DCE A100，故答案为 100【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，难度不大15（2019 江苏中考真题）如图，PA、PB 是O的切线，A、B 为切点，点 C、D 在O 上若P102，则AC_【答
29、案】219【解析】解：连接 AB，PA、PB 是O 的切线，PAPB，P102，PABPBA12（180102）39，DABC180，PADCPABDABC18039219，故答案为：21926【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键16 （2019四川中考真题）如图，在Rt AOB中，42OA OBO的半径为 2，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为_【答案】2 3【解析】连接OQPQ是O的切线，OQPQ；222PQOPOQ，当POAB时，线段 OP 最短，PQ 的长最短，在Rt AOB中，42OA OB，28ABOA，4OAOBOPAB，222 3PQOPOQ.27故答案为：2 3【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到POAB时，线段PQ最短是关键