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1、1专题 02方程（组）必考点 1一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中 x 是未知数，a、b 是已知数，a0）（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中 x 是未知数，a、b 是已知数，a0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为 1。【典例 1】（2019四川中考真题）关于x的一元一次方程224axm 的解为1x，则am的值为（）A 9B 8C5D 4【答案】C【解析】解：因为关于 x 的一元一次方程 2xa-2+m=4 的解为 x=1，可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以 a+m=3+2=5，故选：C【点睛】此
2、题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答必考点 2一元一次方程的应用【典例 2】（2019黑龙江中考模拟）一商店在某一时间以每件 120 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损 20%，在这次买卖中，这家商店（）A 不盈不亏B 盈利 20 元C亏损 10 元D 亏损 30 元【答案】C【解析】设两件衣服的进价分别为 x、y 元，根据题意得：120-x=20%x，y-120=20%y，解得：x=100，y=150，120+120-100-150=-10（元）2故选：C点睛：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键【举
3、一反三】1（2019浙江中考真题）已知九年级某班 30 位同学种树 72 棵，男生每人种 3 棵，女生每人种 2 棵，设男生 x 人，则（）A()23 7230 xx+-=B()32 7230 xx+-=C()23 3072xx+-=D()32 3072xx+-=【答案】D【解析】设男生 x 人，则女生有(30 x)人，由题意得：()32 3072xx+-=，故选 D.【点睛】本题考查列一元一次方程，解题的关键是读懂题意，得出一元一次方程.必考点 3二元一次方程组：一般形式：222111cybxacybxa（212121,ccbbaa不全为 0）解法：代入消远法和加减消元法【典例 3】（201
4、9四川中考真题）方程组10216xyxy 的解是_【答案】64xy【解析】解：10216xyxy ，得：6x，把6x代入得：610y，解得：4y，3方程组的解为：64xy，故答案为：64xy【点睛】考查了解二元一次方程组，正确掌握加减消元法是解题的关键必考点 4一元二次方程组的应用【典例 4】（2019四川中考真题）九章算术第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出 8 钱，会多 3 钱；每人出 7 钱，又差4 钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（）A 1,11B7,53C 7,61D6,
5、50【答案】B【解析】解设人数 x 人，物价 y 钱.8374xyxy 解得：753xy故选 B.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出等量关系式是解题的关键.【举一反三】2.（2019浙江中考真题）中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两问马、牛各价几何?”设马每匹 x 两，牛每头 y两，根据题意可列方程组为（）A 46383548xyxyB46483538yxyxC 46485338xyxyD46483538xyxy【答案】D【解析】设马每匹 x 两，牛每头 y 两，由题意得446483538x
6、yxy.故选 D.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可.必考点 5 分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。特殊方法：换元法。（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为 0 的就是原方程的根；使得最简公分母为 0 的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。【典例 5】（2019四川中考真题）分式方程5211xxx 的解为（）A1x B 1
7、xC2xD2x【答案】A【解析】根据分式方程的解法去分母得 x(x-5)+2(x-1)=x(x-1)化简得 2x=-2,解得 x=-1，故选 A.【点睛】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是熟知分式方程的求解.【举一反三】3.（2019四川中考真题）关于 x 的方程1242kxxx 的解为正数，则 k 的取值范围是（）A4k B 4k C4k 且4k D4k 且4k【答案】C【解析】5解：分式方程去分母得：(24)2kxx，解得：44kx，根据题意得：404k，且424k，解得：4k，且4k 故选：C【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.4.易错（2019吉林）若方
8、程24022xxxx有增根,则增根可能是（）A 0 或 2B 0 或-2C2D 0【答案】C【解析】分式方程24022xxxx，最简公分母 x（x-2），去分母得：4-x2=0，整理得：x2=4，解得：x=2，把 x=2 代入 x（x-2）=0，则 x=2 是原分式方程的增根，原分式方程的解为-2故选 C【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：根据最简公分母确定增根的值；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值必考点 6 分式方程的应用【典例 6】（2019江苏中考真题）小明 15 元买售价相同的软面笔记本，小丽用 24 元买售价相同的硬面笔记本(两人的
9、钱恰好用完)，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵 3 元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为()6A15243xxB 15243xxC 15243xxD 15243xx【答案】A【解析】找到等量关系为两人买的笔记本数量15243xx故选 A【点睛】本题考查分式方程的简单应用，本题关键在于找出等量关系【举一反三】5.（2019山东中考真题）世界文化遗产“三孔”景区已经完成 5G基站布设，“孔夫子家”自此有了 5G 网络5G网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输 500 兆数据，5G 网络比 4G 网络快 45 秒，求这两种
10、网络的峰值速率设 4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（）A5005004510 xxB 5005004510 xxC 500050045xxD 500500045xx【答案】A【解析】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是：5005004510 xx故选：A【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确等量关系得出等式是解题关键必考点 7一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：02cbxax（其中 x 是未知数，a、b、c 是已知数，a0）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：
11、先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。（4）一元二次方程的根的判别式：acb427当0 时方程有两个不相等的实数根；当=0 时方程有两个相等的实数根；当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程没有实数根.135.（2019 辽宁中考真题）若关于 x 的方程 kx2x340 有实数根，则实数 k 的取值范围是（）A k0Bk13且 k0Ck13D k13【答案】C【解析】关于 x 的方程 kx2x340 有实数根2234(1)4()04back 解得：k13故选 C【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与的关系是解题
12、关键.6.（2019 辽宁中考真题）等腰三角形一边长为 2，它的另外两条边的长度是关于 x 的一元二次方程 x26x+k0 的两个实数根，则 k 的值是（）A 8B9C8 或 9D 12【答案】B【解析】解：当等腰三角形的底边为 2 时，此时关于 x 的一元二次方程 x26xk0 的有两个相等实数根，364k0，k9，此时两腰长为 3，233，k9 满足题意，当等腰三角形的腰长为 2 时，此时 x2 是方程 x26xk0 的其中一根，代入得 412k0，k8，x26x8014求出另外一根为：x4，224，不能组成三角形，综上所述，k9，故选：B【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用
13、一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质7.（2019 广东中考真题）关于 x 的一元二次方程2(1)20 xkxk 有两个实数根12,x x，1212122(2)2xxxxx x 3，则 k 的值（）A 0 或 2B-2 或 2C-2D2【答案】D【解析】解：由韦达定理，得：12xxk1，122x xk,由1212122(2)23xxxxxx ，得：21212423xxx x ，即21212124423xxx xx x ，所以，2142(2)3kk ,化简，得：24k，解得：k2，因为关于 x 的一元二次方程2(1)20 xkxk 有两个实数根，所以，214(2)kk 227kk0，k2 不符
14、合，所以，k2故选：D.【点睛】15本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.8.（2019 黑龙江中考真题）方程2331xx的解为（）.A 311x；B 113x；C37x；D73x.【答案】C【解析】解：2331xx23(31)(31)(31)xxxxxx，293xx，37x；将检验37x是方程的根，方程的解为37x；故选：C【点睛】本题主要考查了分式方程及其解法，解分式方程的步骤为：去分母，化为整式方程；移项、合并同类项；系数化为 1；检验；结论，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.9.（2019 贵州铜仁伟才学校初二月考）已知：关于 x 的分式方程22324
15、2mxxxx无解，则 m 的值为（）A-4 或 6B-4 或 1C6 或 1D-4 或 6 或 1【答案】D【解析】解：两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)+mx=3(x-2)当 m=1 时，2(x+2)+mx=3(x-2)无解，分式方程无解；当 x=2 时，2(x+2)+mx=3(x-2)8+2m=0m=-416当 x=-2 时，2(x+2)+mx=3(x-2)0-2m=-12m=6故选 D.【点睛】此题主要考查了分式方程无解的判断，注意 m=1 的情况.10.（2019贵州中考真题）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价 8 折
16、销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是_元.【答案】2000，【解析】设这种商品的进价是 x 元，由题意得，(1+40%)x0.82240，解得：x2000，故答案为：2000.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、实际售价间的关系是解题的关键.11.（2019上海中考真题）九章算术中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛。”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5 大桶加 1 小桶共盛 3 斛米，1 大桶加 5 小桶共盛 2 斛米，依据该条件，1 大桶加 1 小桶共盛_斛米.（注：斛是古代一种容量单位）【答案】56【解析】设一个大桶
17、盛酒 x 斛，一个小桶盛酒 y 斛，根据题意得：53 52xyxy，解得：13 24724xy.17x+y=75+=2134246.故答案为：56【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程12.（2019 四川中考真题）设a、b是方程220190 xx 的两个实数根，则 11ab的值为_【答案】-2017【解析】a、b是方程220190 xx 的两个实数根，1a b ，2019ab ，111abab a b 2019 1 12017 故答案为：-2017【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于ba，两根之积等于ca”是解题的关键13.（2019 江苏中考真题）解方程
18、（1）2250 xx（2）1421xx【答案】（1）1216,16xx ;（2）3x【解析】(1)x2-2x=5，x2-2x+1=5+1，(x-1)2=6，x-1=6，1216,16xx ；(2)方程两边同时乘以(x-2)(x+1)，得x+1=4(x-2)，解得：x=3，检验：当 x=3 时，(x-2)(x+1)0，18所以 x=3 是原方程的解.【点睛】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，熟练掌握相关解法是解题的关键.解分式方程时注意要进行检验.14.（2019湖北中考真题）已知关于x的方程22210 xxk 有实数根(1)求k的取值范围；(2)设方程的两根分别是1x、2x，且211212
19、xxx xxx，试求 k的值【答案】(1)1k；(2)52k .【解析】(1)解：原方程有实数根，240bac，224 210k，1k.(2)1x，2x是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：122xx，1221x xk，又211212xxx xxx，22121212xxx xx x，221212122xxx xx x，2222 2121kk，解之，得：152k，252k 经检验，都符合原分式方程的根，1k，52k 【点睛】19本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出 k 的取值范围，此题难度不大16.（2019 辽宁中考真题）小李在景
20、区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为 6 元，当销售单价定为 8 元时，每天可以销售 200 件市场调查反映：销售单价每提高 1 元，日销量将会减少 10 件，物价部门规定：销售单价不能超过 12 元，设该纪念品的销售单价为 x（元），日销量为 y（件），日销售利润为 w（元）（1）求 y 与 x 的函数关系式（2）要使日销售利润为 720 元，销售单价应定为多少元？（3）求日销售利润 w（元）与销售单价 x（元）的函数关系式，当 x 为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润【答案】（1）10280yx；（2）10 元；（3）x 为 12 时，日销售利润最大，最大利润 960 元【解析】解：（
21、1）根据题意得，200 10810280yxx ，故 y 与 x 的函数关系式为10280yx；（2）根据题意得，610280720 xx，解得：110 x，224x（不合题意舍去），答：要使日销售利润为 720 元，销售单价应定为 10 元；（3）根据题意得，261028010171210wxxx，100，当17x 时，w随 x 的增大而增大，当12x 时，960w最大，答：当 x 为 12 时，日销售利润最大，最大利润 960 元【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键17.（20
22、19 辽宁中考真题）网络销售是一种重要的销售方式某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克 10 元公司在试销售期间，调查发现，每天销售量 y（kg）与销售单价 x（元）满足如图所示的函数关系（其中030 x）20（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式及自变量的取值范围（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到 3100 元，则销售单价 x 应定为多少元？（3）设每天销售该特产的利润为 W元，若1430 x，求：销售单价 x 为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）640(1014)20920(1430)xyxx；（
23、2）销售单价 x 应定为 15 元；（3）当28x 时，每天的销售利润最大，最大利润是 6480 元【解析】解：（1）由图象知，当1014x时，640y；当1430 x时，设y kxb，将(14,640)，(30,320)代入得1464030320k bk b ，解得20920kb，y 与 x 之间的函数关系式为20920yx；综上所述，640(1014)20920(1430)xyxx；（2）(1410)6402560，25603100，14x，(10)(20920)3100 xx，解得：141x（不合题意舍去），215x，答：销售单价 x 应定为 15 元；（3）当1430 x时，2(10)
24、(20920)20(28)6480Wxxx，200，1430 x，当28x 时，每天的销售利润最大，最大利润是 6480 元【点睛】21本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的实际应用，正确理解题意求出函数关系式、熟练掌握一元二次方程的解法和求二次函数的最值的方法是解题的关键.18.（2019江苏中考模拟）近期猪肉价格不断走高，引起市民与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.（1）从今年年初至 5 月 20 日，猪肉价格不断走高，5 月 20 日比年初价格上涨了 60%，某市民在今年 5 月20 日购买 2.5 千克猪肉至少要花 100 元
25、钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5 月 20 日猪肉价格为每千克 40 元，5 月 21 日，某市决定投入储备猪肉，并规定其销售价格在 5 月 20日每千克 40 元的基础上下调 a%出售，某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为 40 元的情况下，该天的两种猪肉总销量比 5 月 20 日增加了 a%，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比 5 月 20 日提高了1%10a,求 a 的值.【答案】（1）25 元；（2）a=20.【解析】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克 x 元；根据题意得：2.5（1+60%）x 100，解得：x 25答：今年年初猪肉的最低价格为每千克 25 元；（2）设 5 月 20 日两种猪肉总销量为 1；根据题意得：40（1a%）（1+a%）+40（1+a%）=40（1+a%），令 a%=y，原方程化为：40（1y）（1+y）+40（1+y）=40（1+y），整理得：，解得：y=0.2，或 y=0（舍去），则 a%=0.2，a=20答：a 的值为 20