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1、 梯形 一挑选题 1（2021 兰州,6,3 分)下列命题中是 假命题的 是（)A平行四边形的 对边相等 B菱形的 四条边相等 C矩形的 对边平行且相等 D等腰梯形的 对边相等 考点分析:命题与定理；平行四边形的 性质；菱形的 性质；矩形的 性质；等腰梯形的 性质 分析:根据平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的 判定与性质分别判断得 到答案即可 解答:解:A 根据平行四边形的 性质得 到平行四边形的 对边相等,此命题是 真命题,不符合题意；B根据菱形的 性质得 到菱形的 四条边相等,此命题是 真命题,不符合题意；C根据矩形的 性质得 到矩形的 对边平行且相等,此命题是 真命题,不符合题意；D根据
2、等腰梯形的 上 下底边不相等,此命题是 假命题,符合题意 故选:D 点评:此题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、以及等腰梯形的 判定与性质等知识,熟练掌握相关定理是 解题关键 2 （2021 湖南张家界,6,3 分)顺次连接等腰梯形四边中点所得 的 四边形一定是（)A 矩形 B 正方形 C 菱形 D 直角梯形 考点 中点四边形 分析:分析:根据等腰梯形的 性质及中位线定理和菱形的 判定,可推出四边形为 菱形 解答:解:如图所示,已知:等腰梯形 ABCD 中,ADBC,AB=CD,E、F、G、H分别为 各边的 中点,求证:四边形 EFGH 是 菱形 证明:连接 AC、BD E、F 分别为 AB、
3、BC 的 中点,EF=AC 同理 FG=BD,GH=AC,EH=BD,又四边形 ABCD 是 等腰梯形,AC=BD,EF=FG=GH=HE,四边形 EFGH 是 菱形 故选 C 点评:此题主要考查了等腰梯形的 性质,三角形的 中位线定理和菱形的 判定 用到的 知识点:等腰梯形的 两底角相等；三角形的 中位线平行于第三边,并且等于第三边的 一半；四边相等的 四边形是 菱形 3.（2021宁波 3 分)如图所示,梯形 ABCD 中,ADBC,AB=,BC=4,连结 BD,BAD 的 平分线交 BD 于点 E,且 AECD,则 AD 的 长为（)A B C D 2 【答案解析】B 【试题解答】延长
4、AE 交 BC 于 F,AE 是 BAD 的 平分线,BAF=DAF,AECD,DAF=AFB,BAF=AFB,AB=BF,AB=,BC=4,CF=4=,ADBC,AECD,四边形 AFCD 是 平行四边形,AD=CF=【方法指导】本题考查了梯形的 性质,等腰三角形的 性质,平行四边形的 判定与性质,梯形的 问题,关键在 于准确作出辅助线 4（2021 上 海市,6,4 分)在 梯形 ABCD 中,ADBC,对角线 AC 和 BD 交于点 O,下列条件中,能判断梯形 ABCD 是 等腰梯形的 是（)（A)BDC=BCD；（B)ABC=DAB；（C)ADB=DAC；（D)AOB=BOC 5.（2
5、021 四川巴中,6,3 分)如图所示,在 梯形 ABCD 中,AD BC,点 E、F 分别为 AB、CD 的 中点且 EF=6,则 AD+BC 的 值是（)A 9 B 10.5 C 12 D 15 考点分析:梯形中位线定理 分析:根据梯形的 中位线等于两底和的 一半解答 解答:解:E 和 F 分别为 AB 和 CD 的 中点,EF 是 梯形 ABCD 的 中位线,EF=（AD+BC),EF=6,AD+BC=62=12 故选 C 点评:本题主要考查了梯形的 中位线定理,熟记梯形的 中位线平行于两底边并且等于两底边和的 一半是 解题的 关键 6（2021 湖北省十堰市,1,3 分)如图所示,梯形
6、 ABCD 中,AD BC,AB=DC=3,AD=5,C=60,则下底 BC 的 长为（)A 8 B 9 C 10 D 11 考点分析:等腰梯形的 性质；等边三角形的 判定与性质 分析:首先构造直角三角形,进而根据等腰梯形的 性质得 到 B=60,BF=EC,AD=EF=5,求出 BF 即可 解答:解:过点 A 作 AFBC 于点 F,过点 D 作 DEBC 于点 E,梯形 ABCD 中,AD BC,AB=DC=3,AD=5,C=60,B=60,BF=EC,AD=EF=5,cos60=,解得:BF=1.5,故 EC=1.5,BC=1.5+1.5+5=8 故选:A 点评:此题主要考查了等腰梯形的
7、 性质以及解直角三角形等知识,根据已知得 到 BF=EC的 长是 解题关键 7（2021 广东广州,10,4 分)如图 5,四边形ABCD是 梯形,ADBC,CA是 BCD的 平分线,且 ABAC,AB=4,AD=6,则 tanB=（)A.错误!未找到引用源。B.22 C.错误!未找到引用源。D.错误!未找到引用源。【答案解析】B.【试题解答】如答案图,CA是 BCD 的 平分线 1=2 ADBC 1=3 从而3=2 AD=6 CD=AD=6 作 DEAC 于 E 可知 AE=CE 1=2,BAC=DEC ABCEDC ACCEBCCD AE=CE,CD=6 BC=12 在 RtABC 中,由
8、勾股定理求得 AC=8错误!未找到引用源。所以,tanB=2错误!未找到引用源。,答案选 B。【方法指导】1.一道几何题中,同时有角平分线和平行线,要注意角间的 转化；2.对于等腰三角形,要注意运用“三线合一”的 性质将问题转化 8（2021 山东德州,7,3 分)下列命题中,真命题是 （2）对角线相等的 四边形是 等腰梯形 （3）对角线互相垂直且平分的 四边形是 正方形 （4）对角线互相垂直的 四边形是 菱形 （5）四个角相等的 边形是 矩形 【答案解析】D 【试题解答】A、对角线相等的 四边形是 等腰梯形,是 假命题,如:对角线相等的 四边形可以 是 矩形等；B、对角线互相垂直且平分的 四
9、边形是 正方形是 假命题,如:满足条件的 四边形 可以是 菱形,但菱形不是 正方形哦；D、四个角相等的 边形是 矩形是 假命题,如:满足条件的 四边形可以是 正方形,但要注意矩形与正方形是 一般与特殊关系.【方法指导】本题考查了命题真、假的 判断.实际可以记住我们已经学过的 相关定义、定理、数学基本领实等,它们都是 真命题.9.（2021 四川宜宾,12,3 分)在 直角梯形 ABCD 中,ADBC,ABC=90,AB=BC,E 为 AB 边上 的 一点,BCE=15,且 AE=AD,连接 DE 交对角线 AC 于 H,连接 BH下列结论:ACDACE；CDE 等边三角形；2BEEH；错误!未
10、找到引用源。其中结论正确的 是()A只有 B 只有 C 只有 D 【答案解析】A 【试题解答】根据AB=BC,ABC=90可得 ABC 为 等腰直角三角形所以BAC=ACB=45,由 ADBC 可得 DAC=BCA=45根据“边角边”可得 ACDACE,所以正确；由ACDACE 可得 EC=DC,ECH=DCH.因为 ACB=45,BCE=15,所以ECH=DCH=30 所以ECD=60,所以CDE 等边三角形；故正确.根据ECH=30,而BCE=15,所以延长 EB 至 F,使 EB=BF,连接 CF,如图所示,则BECBFC,所以ECM=30,然后过点 E 作 EMFC,垂足为 M,根据
11、AAS 易证EMCEHC,可得 EH=EM。因为 EMEF,而 EF=2EB,所2BEEH故不正确 由ACDACE 可得 ECH=DCH,根据三线合一定理,CHDE,E边上 的 中线,所以错误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。因为 AEH 为 等腰直角三角形,所以AH=EH 在 Rt CEH中,CH=错 误!未 找 到 引 用 源。所 以CHAHCHAHEHDESSEHCEDC32332故不正确 【方法指导】本题考查了三角形全等、平行线的 性质、等腰三角形三线合一定理、直角三角形、等边三角形、三角形的 面积,综合性较强,.要熟记全等三角形的 判定定理,并能灵活运用 在 复杂的 几何图形中
12、能通过作辅助线（如借助垂直、中点或角的 平分线、已知条件等或通过对称进行转换,把角转换成特殊角),构造全等条件来证明线段、角相等；另外遇到等腰三角形一定要想到“三线合一”定理,解题时要注意一些思想方法的 运用求面积时,要挑选合适的 底和高 二填空题 1.（2021 湖南长沙,18,3 分)如图所示,在 梯形 ABCD 中,ADBC,B=50,C=80,AECD 交 BC 于点 E,若 AD=2,BC=5,则 CD 的 长是 .答案:3 【详解】因为 AECD、ADBC,所以AEB=C=80、CD=AE、AD=EC；在 ABE中,根据三角形内角和可知BAE=1808050=50,即 AE=BE=
13、BCEC=52=3,所以 CD=3.2.（2021江苏南京,15,2分)如图所示,在 梯形ABCD中,AD/BC,AB=DC,AC与 BD 相交 于点 P。已知 A(2,3),B(1,1),D(4,3),则点 P 的 坐标为（,)。答案:3；7 3 解析:如图所示,由对称性可知 P 的 横坐标为 3,错误！不能通过编辑域代码创建对象。,即错误！不能通过编辑域代码创建对象。,所以,PE错误！不能通过编辑域代码创建对象。,错误！不能通过编辑域代码创建对象。1 7 3 故 P 的 坐标为（3,7 3)。3（2021 贵州省六盘水,15,4 分)如图所示,梯形 ABCD 中,AD BC,AD=4,AB
14、=5,BC=10,CD 的 垂直平分线交 BC 于 E,连接 DE,则四边形 ABED 的 周长等于 19 x y A B C D P O 考点分析:梯形；线段垂直平分线的 性质 分析:根据线段垂直平分线上 的 点到线段两端点的 距离相等可得 DE=CE,然后求出四边形 ABED 的 周长=AD+AB+BC,然后代入数据进行计算即可得 解 解答:解:CD 的 垂直平分线交 BC 于 E,DE=CE,四边形 ABED 的 周长=AD+AB+BE+DE=AD+AB+BC,AD=4,AB=5,BC=10,四边形 ABED 的 周长=4+5+10=19 故答案为:19 点评:本题考查了梯形,线段垂直平
15、分线上 的 点到线段两端点的 距离相等的 性质,熟记线段垂直平分线的 性质是 解题的 关键 4.（2021 山东临沂,18,3 分)如图所示,等腰梯形 ABCD 中,ADBC,DEBC,BDDC,垂足分别为 E,D,DE3,BD5则腰长 AB_ 【答案解析】:错误!未找到引用源。【试题解答】因为 DE3,BD5所以 BE=4,DE2=BEEC,EC=错误!未找到引用源。,在 A B C D E 三角形 DEC 中,根据勾股定理得 AB154。【方法指导】利用勾股定理和相似三角形的 性质。5.（2021 江苏扬州,14,3 分)如图所示,在 梯形 ABCD 中,ADBC,AB=AD=CD,BC=
16、12,ABC=60,则梯形 ABCD 的 周长为 【答案解析】30 【试题解答】过点 D 作 DEAB,交 BC 于点 E ADBC,AD=BE 设 AB=AD=CD=x,则 BE=x ABC=60,DCE 是 等边三角形 CE=xBC=12,2x=12解得 x=6 所以梯形 ABCD 的 周长=56=30 所以应填 30 【方法指导】考查梯形中常作辅助线的 方法以及梯形的 性质利用梯形中常作的 辅助线的 方法,求出梯形的 上 底和两腰,再求得 周长 【易错警示】不掌握等腰梯形的 性质,等腰三角形（等边三角形)的 性质,平行四边形的 判定和性质等知识,不能综合运用知识而出错 6.(2021 山
17、东烟台,15,3 分)如图所示,四边形 ABCD 是 等腰梯形,ABC=60若其四边满足长度的 众数为 5平均数为 错误!未找到引用源。,上、下底之比为 l:2 则BD=_.【答案解析】错误!未找到引用源。【试题解答】如图:根据等腰梯形的 性质以及众数的 定义,可以确定出 AB=CD=5,设 AD=x,则 BC=10,4255425xxx=5 在 等腰ABD 中,过点 A 作 AEBD,垂足为 E.ABC=60,ABD=ADB=DBC=30,在 ABE 中,AB=5,ABD=30,BE=错误!未找到引用源。BD=错误!未找到引用源。【方法指导】本题考查了等腰梯形的 性质、等腰三角形的 性质、等
18、腰三角形三线合一定理、众数、平均数、三角函数.梯形是 三角形与平行四边形以及三角函数知识的 结合点,所以有关梯形的 试题形式灵活,考查面广,本题巧妙的 把众数、平均数和梯形巧妙的 结合在 一起,解题时要透过现象抓住本质,分离出基本图形等腰ABD,然后再利用三角函数求解.三解答题 1（2021 广西钦州,20,6 分)如图所示,梯形 ABCD 中,AD BC,AB DE,DEC=C,求证:梯形 ABCD 是 等腰梯形 考点分析:等腰梯形的 判定 专题 证明题 分析:分析:由 AB DE,DEC=C,易证得 B=C,又由同一底上 两个角相等的 梯形是 等腰梯形,即可证得 结论 解答:证明:AB D
19、E,DEC=B,DEC=C,B=C,梯形 ABCD 是 等腰梯形 点评:此题考查了等腰梯形的 判定此题比较简单,注意掌握同一底上 两个角相等的 梯形是 等腰梯形定理的 应用,注意数形结合思想的 应用 2.2021 杭州 8 分)如图所示,在 等腰梯形 ABCD 中,AB DC,线段 AG,BG 分别交CD 于点 E,F,DE=CF 求证:GAB 是 等腰三角形 【思路分析】由在 等腰梯形 ABCD 中,ABDC,DE=CF,利用 SAS,易证得 ADEBCF,即可得 DAE=CBF,则可得 GAB=GBA,然后由等角对等边,证得:GAB 是 等腰三角形 【试题解答】证明:在 等腰梯形中 ABC
20、D 中,AD=BC,D=C,DAB=CBA,在 ADE 和 BCF 中,ADE BCF（SAS),DAE=CBF,GAB=GBA,GA=GB,即 GAB 为 等腰三角形 【方法指导】此题考查了等腰梯形的 性质、全等三角形的 判定与性质以及等腰三角形的 判定此题难度不大,注意掌握数形结合思想的 应用 3（2021 山东滨州,24,10 分)某高中学校为 高一新生设计的 学生板凳的 正面视图如图所示其中 BA=CD,BC=20cm,BC、EF 平行于地面 AD 且到地面 AD 的 距离分别为 40cm、8cm,为 使板凳两腿底端 A、D 之间的 距离为 50cm,那么横梁 EF 一年高位多长？(材
21、质及其厚度等暂忽略不计)【答案解析】:解:过点 C 作 CMAB,交 EF、AD 于 N、M,作 CPAD,交 EF、AD于 Q、P 由题意,得 四边形 ABCM 是 平行四边形,EN=AM=BC=20(cm)MD=ADAM=5020=30(cm)由题意知 CP=40cm,PQ=8cm,CQ=32cm EFAD,CNFCMD 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。=3240 解得 NF=24(cm)EF=EN+NF=20+24=44(cm)答:横梁 EF 应为 44cm 【试题解答】根据平行四边形的 性质,可得 EN=AM=BC,先求出 MD,CQ 的 长度,再由C
22、NFCMD,可得 到 NF,继而得 到 EF 的 长度 【方法指导】本题考查了相似三角形的 应用及等腰梯形的 性质,解答本题的 关键是 熟练掌握等腰梯形的 性质,这些是 需要我们熟练记忆的 内容 4、（2021 深圳,20,8 分)如图 4,在 等腰梯形错误!未找到引用源。中,已知错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,ABDC,错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。交于点错误!未找到引用源。,延长BC至错误!未找到引用源。,使得 错误!未找到引用源。,连接错误!未找到引用源。（1)求证:BDDE （2)若错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,16ABCDS梯形
23、,试求错误!未找到引用源。的 长。【答案解析】（1)证明:梯形错误!未找到引用源。为 等腰梯形,错误!未找到引用源。又 AD错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。四边形错误!未找到引用源。为 平行四边形 ACDE 错误!未找到引用源。（2)过点错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。BE于点错误!未找到引用源。OEADCBF 梯形错误!未找到引用源。为 等腰梯形 ABDACDSS 又四边形错误!未找到引用源。为 平行四边形 OEADCB图 4 错 误!未 找 到 引 用 源。,因 此,错 误!未 找 到 引 用 源。,故16ABCDBDESS梯形 又错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。
24、,错误!未找到引用源。DE,则错误!未找到引用源。,由（1)知错误!未找到引用源。,故而错误!未找到引用源。为 等腰直角三角形 21162BD,从而错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。从而 2224117ABDCDECF 【试题解答】（1)由等腰梯形的 性质有错误!未找到引用源。,又易证四边形 错误!未找到引用源。为 平行四边形,知错误!未找到引用源。,故BDDE （2)过点错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。于点F,由等腰梯形和平行四边 形的 性质有错误!未找到引用源。,故错误!未找到引用源。由（1)知错误!未找到引用源。,由（2)的 条
25、件知BD错误!未找到引用源。,因而错误!未找到引用源。为 等腰直角三角形,因而易求错误!未找到引用源。,进而可求CF及错误!未找到引用源。从而求出错误!未找到引用源。的 长 【方法指导】本题考查了等腰等梯的 性质、等腰三角形的 性质,平行四边形的 判定及性质,勾股定理及转化思想的 运用等知识点,其中,将梯形的 面积转化为 等腰三角形的 面积是 切题的 关键。5.（2021 福建福州,21,12 分)如图所示,等腰梯形 ABCD 中,ADBC,B45,P 是 BC 边上 一点,PAD 的 面积为 错误!未找到引用源。,设 ABx,ADy （1)求 y 与 x 的 函数关系式；（2)若APD45,
26、当 y1 时,求 PBPC 的 值；+（3)若APD90,求 y 的 最小值 【思路分析】（1)如图 1,过 A 作 AE 垂直于 BC,在 RtABE 中,由B45,ABx,利用锐角三角函数定义表示出 AE,PAD 的 面积以AD 为 底,AE为 高,利用三角形面积公式表示出,根据已知的 面积即可列出 y 与 x 的 函数关系式；（2)由图知APCAPDCPD,再利用外角性质得 到关系式,等量代换得 到BAPCPD,再由四边形 ABCD 为 等腰梯形,得 到一对底角相等及 ABCD,可得 到ABP与PDC相似,由相似得 比例,将CD换为 AB,由y的 值求出x的 值,即为 AB 的 值,即可
27、求出 PBPC 的 值；（3)取AD的 中点F,过P作PH垂直于AD,由直角三角形PF大于等于PH,当PFPH 时,PF 最小,此时 F 与 H 重合,由APD 为 直角三角形,利用直角三角形斜边上 的 中线等于斜边的 一半得 到 PF 等于 AD 的 一半,表示出 PF 即为 PH,三角形 APD 面积以 AD 为 底,PH 为 高,利用三角形面积公式表示出三角形 APD 面积,由已知的 面积求出 y 的 值,即为 最小值 解:（1)如图 1,过点 A 作 AEBC 于点 E,在 Rt ABE 中,B45,ABx A B C D A B C D P AEABsinB错误!未找到引用源。x S
28、 APD错误!未找到引用源。ADAE错误!未找到引用源。,12y错误!未找到引用源。x错误!未找到引用源。y错误!未找到引用源。（2)APCAPDCPDBBAP,又APDB45 BAPCPD 四边形 ABCD 是 等腰梯形,BC,ABDC ABPPCD ABPC错误!未找到引用源。PBPCABDC PBPCAB2 当 y1 时,x错误!未找到引用源。即 AB错误!未找到引用源。PBPC(2)22 （3)如图 2,取 AD 的 中点 F,连接 PF 过点 P 作 PHAD 于点 H PFPH 当 PFPH 时,PF 有最小值 又APD90,PF错误!未找到引用源。AD错误!未找到引用源。y PH错误!未找到引用源。y S APD12ADPH错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。y错误!未找到引用源。y12 y22 y0,y错误!未找到引用源。即 y 的 最小值为 错误!未找到引用源。【方法指导】此题考查了相似形综合题,涉及的 知识有:等腰梯形的 性质,相似三角形的 判