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1、高等数学 专业年级学号姓名 一、判断题.将或填入相应的括号内.（每题 2 分，共 20 分）（）1.收敛的数列必有界.（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.（）5.若)(xf在0 x点可导，则)(xf也在0 x点可导.（）6.若连续函数)(xfy 在0 x点不可导，则曲线)(xfy 在)(,(00 xfx点没有切线.（）7.若)(xf在ba,上可积，则)(xf在ba,上连续.（）8.若),(yxfz 在（00,yx）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(yxfz 在（00,yx）处可微.（）9.微分方程的含有任意常数的解是
2、该微分方程的通解.（）10.设偶函数)(xf在区间)1,1(内具有二阶导数，且1)0()0(ff,则)0(f为)(xf的一个极小值.二、填空题.（每题 2 分，共 20 分）1.设2)1(xxf，则)1(xf.2.若1212)(11xxxf，则0limx.3.设单调可微函数)(xf的反函数为)(xg,6)3(,2)1(,3)1(fff则)3(g.4.设yxxyu,则du.5.曲线326yyx在)2,2(点切线的斜率为.6.设)(xf为可导函数,)()1()(,1)1(2xfxfxFf,则)1(F.7.若),1(2)(02xxdttxf则)2(f.8.xxxf2)(在0,4上的最大值为.9.广义
3、积分dxex20.10.设 D 为圆形区域dxdyxyyxD5221,1.三、计算题（每题 5 分，共 40 分）1.计算)2(1)1(11(lim222nnnn.2.求1032)10()3()2)(1(xxxxy在（0，+）内的导数.3.求不定积分dxxx)1(1.4.计算定积分dxxx053sinsin.5.求函数22324),(yxyxxyxf的极值.6.设平面区域 D 是由xyxy,围成，计算dxdyyyDsin.7.计算由曲线xyxyxyxy3,2,1围成的平面图形在第一象限的面积.8.求微分方程yxyy2的通解.四、证明题（每题 10 分，共 20 分）1.证明：2tanarcsi
4、n1xarcxx)(x.2.设)(xf在闭区间,ba上连续，且,0)(xf 证明：方程0)(xF在区间),(ba内有且仅有一个实根.高等数学参考答案 一、判断题.将或填入相应的括号内（每题 2 分，共 20 分）1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.二、填空题.（每题 2 分，共 20 分）1.442 xx；2；4.dyyxxdxyy)/()/1(2；3；7.336；2；.三、计算题（每题 5 分，共 40 分）1.解：因为21(2)nn222111(1)(2)nnn21nn 且21lim0(2)nnn，21limnnn=0 由迫敛性定理知：)2(1)1(11(lim22
5、2nnnn=0 2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(lnxxxy 3.解：原式=xdx112=xdx2)(112=2cx arcsin 4.解：原式=dxxx023cossin=2023sincosxdxx223sincosxdxx=2023sinsinxxd223sinsinxxd=2025sin52x225sin52x=4/5 5.解：02832yxxfx022yxfy 故00yx或22yx 当00yx时8)0,0(xxf，2)0,0(yyf，2)0,0(xyf 02)2()8(2且 A=08 （0，0）为极大值点且0)0,0(f 当22yx时4)2,2(xxf，2)2,
6、2(yyf，2)2,2(xyf 02)2(42无法判断 6.解：D=yxyyyx2,10),(102sinsinyyDdxyydydxdyyy=dyxyyyy2sin10=dyyyy)sin(sin10=1010coscosyydy=1010coscos1cos1ydyyy=1sin1 7.解：令xyu，xyv；则21 u，31 v 8.解：令uy2，知xuu42)(由微分公式知：)4(222cdxxeeyudxdx 四.证明题（每题 10 分，共 20 分）1.解：设21arcsinarctan)(xxxxf 222222211111111)(xxxxxxxxf=0 令0 x0000)0(c
7、f即：原式成立。2.解：,)(baxF在上连续 且dttfaFab)(1)(0 故方程0)(xF在),(ba上至少有一个实根.又)(1)()(xfxfxF0)(xf 即)(xF在区间,ba上单调递增)(xF在区间),(ba上有且仅有一个实根.高等数学 专业学号姓名 一、判断题（对的打，错的打；每题2分，共10分）1.)(xf在点0 x处有定义是)(xf在点0 x处连续的必要条件.2.若)(xfy 在点0 x不可导，则曲线)(xfy 在)(,(00 xfx处一定没有切线.3.若)(xf在,ba上可积，)(xg在,ba上不可积，则)()(xgxf在,ba上必不可积.4.方程0 xyz和0222zy
8、x在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.5.设*y是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y是其所对应的齐次方程的通解，则*yyy为一阶线性微分方程的通解.二、填空题（每题2分，共20分）1.设,5)(,12)3(afxxf则a.2.设xxxf3arcsin)21ln()(，当)0(f时，)(xf在点0 x连续.3.设xtttxxf2)11(lim)(，则)(xf .4.已知)(xf在ax 处可导，且Aaf)(，则hhafhafh)3()2(lim0 .5.若2)(cos)(2xfdxdxxf，并且1)0(f，则)(xf .6.若)(),(xgxf在点b左连续，且)()(),()(xgxf
9、bgbf)(bxa，则)(xf与)(xg大小比较为)(xf ).(xg 7.若2sin xy，则)(2xddy ；dxdy .8.设xxtdtxf2ln)(，则)21(f .9.设yxez2，则)1,1(dz .10.累次积分dyyxfdxxRR)(202022化为极坐标下的累次积分为 .三、计算题（前6题每题5分，后两题每题6分，共42分）1.xxtxdtttdtt0sin010sin)1(lim;2.设1ln22xxeey，求y;3.dxxxx2sin1cossin;4.20224dxxx;5.设22yxxz,求 yxzyz2,.6.求由方程)ln()(2yxyxxy所确定的函数)(xyy
10、 的微分dy.7.设平面区域D是由xyxy,围成，计算dxdyyyDsin.8.求方程0)ln(lndyyxydxy在初始条件eyx1下的特解.四、（7分）已知bxaxxxf23)(在1x处有极值2，试确定系数a、b，并求出所有的极大值与极小值.五、应用题（每题7分，共14分）1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为)/(10hkm时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时,每航行km1所消耗的费用最小 2.过点)0,1(向曲线2xy作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.六、证明题（
11、7分）设函数)(xf在ax 0上的二阶导数存在，且0)0(f,0)(xf.证明xxfxg)()(在ax 0上单调增加.高等数学参考答案 一、判断题 1.；2.；3.；4.；5.二、填空题；2.32；3.xex2)1(4；4.A5；5.xsin1；6.；7.22cos2,cosxxx；8.2ln；9.dydx 2；10.200)2cos(Rrdrrfd.三、计算题 1.原式xxxxxxsincos)sin1(limsin10 2.2222222222)1(2)1(212111xxxxxxxxxeeeeeeeeey 3原式=dxxxxx2)cos(sincossin 4设txsin2则tdtdxc
12、os2 原式=202cos2cos2sin4tdttt 523222222)(22yxxyyxyxyxyz 6两边同时微分得：即)()ln()ln(2dydxdyyxdxyxdxdy 故dxyxyxdy)ln(3)ln(2（本题求出导数后，用dxydy解出结果也可）7102sinsinyyDdxyydydxdyyy 8原方程可化为yxyydydx1ln1 通解为1ln1ln1Cdyyeexdyyydyyy eyx1代入通解得1C 故所求特解为：01ln2)(ln2yxy 四、解：baxxxf23)(2 因为)(xf在1x处有极值2，所以1x必为驻点 故023)1(baf 又21)1(baf 解
13、得：3,0ba 于是xxxf3)(3)1(3)(2xxf 由0)(xf得1x，从而 06)1(f，在1x处有极小值2)1(f 06)1(f，在1x处有极大值2)1(f 五、1.解：设船速为)/(hkmx，依题意每航行km1的耗费为 又10 x时，6103k故得006.0k，所以有)96006.0(13xxy，),0(x 令0)8000(012.032xxy，得驻点20 x 由极值第一充分条件检验得20 x是极小值点.由于在),0(上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为)/(20hkm时，每航行km1的耗费最少，其值为2.7209620006.02mi
14、ny（元）2.解：（1）设切线与抛物线交点为),(00yx，则切线的斜率为100 xy，又因为22 xy上的切线斜率满足12 yy，在),(00yx上即有120 yy 所以112000 xyy，即1200 xy 又因为),(00yx满足2020 xy，解方程组 212020020 xyxy得1300yx 所以切线方程为)1(21xy 则所围成图形的面积为：（2）图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为：六、证：22)0()()()()()(xfxfxf xxxfxf xxxf 在,0 x上，对)(xf应用拉格朗日中值定理，则存在一点),0(x，使得 代入上式得2)()()(xfxf xxxf 由假设0
15、)(xf知)(xf 为增函数，又x，则)()(fxf,于是0)()(fxf,从而0)(xxf，故xxf)(在),0(a内单调增加.高等数学试卷 专业学号姓名 一、填空题（每小题 1 分，共 10 分）1函数221arcsin 11yxx的定义域为_。2函数xyxe上点（，）处的切线方程是_。3设()f x在0 x可导且0()fxA，则000(2)(3)limhf xhf xhh_。4设曲线过(0,1)，且其上任意点(,)x y的切线斜率为2x，则该曲线的方程是_。541xdxx_。1lim sinxxx_。7设(,)sinf x yxy，则(,)xfx y_。8累次积分222200()RRxd
16、xf xy dy化为极坐标下的累次积分为_。9微分方程322323()0d yd ydxx dx的阶数为_。10设级数1nna发散，则级数1000nna_。二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，（110 每小题 1 分，1117 每小题 2 分，共 24 分）1设函数1(),()1f xg xxx，则()f g x（）11x11x11x 20 x 时，1sin1xx是（）无穷大量无穷小量有界变量无界变量 3下列说法正确的是（）若()f x在0 xx连续，则()f x在0 xx可导 若()f x在0 xx不可导，则()f x在0 xx不连续 若()
17、f x在0 xx不可微，则()f x在0 xx极限不存在 若()f x在0 xx不连续，则()f x在0 xx不可导 4若在(,)a b内恒有()0,()0fxfx，则在(,)a b内曲线弧()yf x为（）.上升的凸弧下降的凸弧上升的凹弧下降的凹弧 5设()()F xG x，则（）()()F xG x为常数()()F xG x为常数()()0F xG x()()ddF x dxG x dxdxdx 611xdx（）7方程231xy在空间表示的图形是（）平行于xOy面的平面平行于Oz轴的平面 过Oz轴的平面直线 8设332(,)f x yxyx y，则(,)f tx ty（）(,)tf x y
18、2(,)t f x y3(,)t f x y21(,)f x yt9设0na，且1limnnnaa，则级数1nna（）在1p 时收敛，1p 时发散在1P 时收敛，1p 时发散 在1p 时收敛，1p 时发散在1p 时收敛，1p 时发散 10方程236yxyx y是（）一阶线性非齐次微分方程齐次微分方程 可分离变量的微分方程二阶微分方程 11下列函数中为偶函数的是（）xye31yx3cosyxxlnyx 12设()f x在(,)a b可导，12axxb，则至少有一点(,)a b使（）()()()()f bf afba21()()()()f bf afxx 21()()()()f xf xfba21
19、21()()()()f xf xfxx 13设()f x在0 xx的左右导数存在且相等是()f x在0 xx可导的（）充分必要的条件必要非充分的条件 必要且充分的条件既非必要又非充分的条件 14设22()cos()df xxf xdx，则(0)1f，则()f x（）cos x2cos x1 sin x1 sin x 15过点（，）且切线斜率为34x的曲线方程为（）44434x 16设幂级数0nnna x在0 x（00 x）收敛，则0nnna x在0 xx（）绝对收敛条件收敛发散收敛性与na有关 17设域由2,yx yx所围成，则sinDxdx（）110sinxxdxdyx；10sinyyxdy
20、dxx；10sinxxxdxdyx；10sinxxxdydxx.三、计算题（13 每小题 5 分，49 每小题 6 分，共 51 分）设1(3)xyx x求y.求243sin(916)lim34xxx.计算2(1)xdxe.设10(cos)arctan,(sin)arctanttxuudu yuudu，求dydx.求过点（，），（，）的直线方程.设sinxyzue，求.计算sin00sinxardrd.求微分方程21()1ydydxx的通解.将3()(1)(2)f xxx展成的幂级数.四、应用和证明题（共 15 分）（分）设一质量为的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（比例常数为0k）求速
21、度与时间的关系。（分）借助于函数的单调性证明：当x1时，123xx。高等数学参考答案 一、填空题（每小题 1 分，共 10 分）（，）2 21arctan2xc（）2200()df rrdr三阶发散 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，110 每小题 1 分，1117 每小题 2 分，共 24 分）12345678910 11121314151617 三、计算题（13 每小题 5 分，49 每小题 6 分，共 51 分）解：1lnln(1)lnln(3)2yxxx 解：原式24318 cos(916)lim3xxx 24418()cos(9()
22、16)333 解：原式2(1)(1)xxxee dxe(1)xdxe-2(1)(1)xxdee(1)1xxxeedxe11xe 1ln(1)1xxxece 解：因为(cos),(sin)dxt arctgtdt dyt arctgtdt 解：所求直线的方向数为，所求直线方程为112103xyz 解：sin(sin)xyzdued xyz 解：原积分sin230001sinsin2adrdrad 232202sin3ada 解：两边同除以2(1)y 得22(1)(1)dydxyx 两边积分得22(1)(1)dydxyx 亦即所求通解为1111cxy 解：分解，得()f x1112xx 001(1
23、)22nnnnnnxx（1x 且12x）1011(1)2nnnnx（1x）四、应用和证明题（共分）解：设速度为，则满足dummgkudt 解方程得1()ktumgcek 由t=0定出，得(1)ktmguek 证：令()f x123xx则()f x在区间，连续 而且当1x 时，211()0(1)fxxxx 因此()f x在，单调增加 从而当1x 时，()f x(1)f 即当1x 时，123xx 高等数学 专业学号姓名 一、判断正误（每题 2 分，共 20 分）1.两个无穷大量之和必定是无穷大量.2.初等函数在其定义域内必定为连续函数.3.xfy 在点0 x连续，则 xfy 在点0 x必定可导.4
24、.若x点为 xfy 的极值点，则必有 0 xf 0.5.初等函数在其定义域区间内必定存在原函数.6.方程122 yx表示一个圆.7.若yxfz,在点000,yxM可微，则yxfz,在点000,yxM连续.8.xexy22是二阶微分方程.9.xxtdtdxd11sinsinsin.10.若 xfy 为连续函数，则dttfxa必定可导.二、填空题（每题 4 分，共 20 分）1._sin1xdx.2._2sinlimxxx.3.设 1 xf，且 10 f，则 _dxxf.4.2xyz，则_dz.5._sin2baxdxd.三、计算题与证明题（共计 60 分）1.nnnn12lim1，（5 分）；1
25、11lim20 xxex，（5 分）。2.求函数xxxxysincoscossin的导数。（10 分）3.若在,上 00,0 fxf.证明：xxfxF在区间0,和,0上单调增加.（10 分）4.对物体长度进行了n次测量，得到n个数nxxx,21。现在要确定一个量x，使之与测得的数值之差的平方和最小.x应该是多少（10 分）5.计算dxxx2sin.（5 分）6.由曲线xyln与两直线0,1yxey所围成的平面图形的面积是多少.（5 分）7.求微分方程yxdxdyx满足条件02xy的特解。（5 分）8.计算二重积分,2dxdyxDD是由圆122 yx及422 yx围成的区域.（5分）高等数学参考
26、答案 一、判断正误（每题 2 分，共 20 分）1-5，.6-10.，.二、填空题（每题 4 分，共 20 分）cxxcos1tan.1；0.2；cx 221.3；xydydxy2.42；0.5.三、计算题与证明题。（共计 60 分）1.nnnn12lim1=1331131limnnnnn=13limnnne 111lim20 xxex=11lim0 xxxexxe=201limxxexx=xexx21lim0212lim0 xxe 2.令xxycos1sinxxysin2cos则xxeysinlncos1 同理xxxyx21sin2tancoslncos 3.xxfxF xxfxF=2xxf
27、xf x 令 xfxf xxg则 0 xf xxg 则当0 x 时()00g xg 为单调递增时，当xFxxF00 当0 x 时()00g xg 为单调递增时，当xFxxF00 故命题成立。4.令 22221nxxxxxxxf 则令 为驻点nxxxxfn100 5.dxxx2sin=dxxx22cos1=dxxxx2cos21=cxxxx2cos812sin41412 6.232111101010210yyeyyedyeyeS 7.方程变形为11yxy 而cdxeeydxxdxx111=xxc21 初始条件：102cyx 8、20,21,*rrD 高等数学 专业学号姓名 一、判断（每小题 2
28、分，共 20 分）(x)在点 x0处有定义是 f(x)在点 x0处连续的必要条件.()2.无穷小量与有界变量之积为无穷小量.()=f(x)在 x0处可导,则 y=|f(x)|在 x0处也可导.()4.初等函数在其定义域内必连续.()5.可导函数 f(x)的极值点一定是 f(x)的驻点.()6.对任意常数 k,有dxxkf)(=kdxxf)(.()7.若 f(x)在a,b上可积,则 f(x)在a,b上有界.()8.若 f(x,y)在区域 D 上连续且区域 D 关于 y 轴对称,则当 f(x,y)为关于 x 的奇函数时,Ddxdyyxf),(=0.()9.)(y2=-2x-ex的通解中含有两个独立
29、任意常数.()10.若 z=f(x,y)在 Po的两个偏导数都存在,则 z=f(x,y)在 P0连续.()二、填空（每空 2 分，共 20 分）1.xlimxsinx1+x1sinx+(xx2)x=.2.函数 f(x)=xx3在0,3上满足罗尔定理的条件,定理中的数值=.3.设 f(x)=00 xxaxex当 a=时,f(x)在 x=0 处连续.4.设 z=eyx22,则 dz|(0,0)=.5.函数 f(x)=ex-x-1 在内单调增加;在内单调减少.6.函数32yaxbxcxd满足条件时,这函数没有极值.dxdbax2sin=其中 a,b 为常数.8.f(x)=1 且(0)0f,则dxxf
30、)(=.9.若 I=102),(xxyxfdxdxdy 交换积分次序后得.三、计算（每小题 5 分,共 40 分）1.求0limx(21x-xtgx1)；2.dtttxe1ln+dtty)3(cos1=2,求 dy；3.求dxxx)1(1；4.求dxx143111；5.求dxxex02；6.设 z=ln(x2+y2)求xz,yxz2；7.计算 I=Dxdxdy.其中 D 是由圆 x2+y2=4 围成的区域；8.求微分方程-ydx+(x+y3)dy=0 的通解.四、应用题(每题 7 分,共 14 分)1.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌 20 米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各
31、为多少才能使这间小屋面积最大.2.求由y=x1,x=1,x=2与x轴所围成的图形的面积及该图绕x轴旋转一周的旋转体的体积.五、证明(本题 6 分)证明:当 x0 时,不等式 1+xx121成立.高等数学参考答案 一、判断正误（每题 2 分，共 20 分）1；2；3；4；5；6；7；8；9；10.二、填空题（每题 4 分，共 20 分）1.21 e；4.2dx；5.0)，+，,0（-；6.230bac；8.212xc；9.10(,)yydyf x y dx.三、计算题与证明题（共计 60 分）1.2011limtanxxxx20tanlimtanxxxxx30tanlimxxxx 2.方程两边同
32、时对x求导得：则ln(cos3)0 xxxeeyye 3.1(1)dxxx21dxx 4、令2112xtxtdxtdt 当34x 时12t；当1x 时0t 原式11221tdtt112200122111tdtdttt 5.0202)21(dxexdxxexx0202)21()21(dxeexxx 6.2222222)(1yxxyxyxxz 7.令sincosryrx，8.解：21yxydydx 原方程的通解为：)21(2cyyx 四、（每题 7 分，共 14 分）1.解：设长方形的长和宽分别为x和y，面积为s，则202yx即yx220 0420ys，得5y 当长10 xM；宽5yM 时，面积最大。五、（本题 6 分）令xxxf1211)(012121)(xxf 即xx1211