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1、高等数学练习测试题库及答案高等数学练习测试题库及答案一选择题一选择题1是（）x21A.偶函数B.奇函数C 单调函数D 无界函数x2.设 f(sin)=cosx+1,则 f(x)为（）21.函数 y=A2x22B22x2C1x2D 1x23下列数列为单调递增数列的有（）A0.9，0.99，0.999，0.9999B2543，2345n1 n,n为奇数2n1Cf(n),其中 f(n)=D.nn2，n为偶数1 n4.数列有界是数列收敛的（）A充分条件B.必要条件C.充要条件D 既非充分也非必要5下列命题正确的是（）A发散数列必无界B两无界数列之和必无界C两发散数列之和必发散D两收敛数列之和必收敛si
2、n(x21)（）6limx1x 1A.1B.0C.2D.1/2k7设lim(1)xe6则 k=()xxA.1B.2C.6D.1/68.当 x1 时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（）A.x2-1B.x3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点 x=x0处有定义是 f(x)在 x=x0处连续的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|2）有21111dxdx122 arcsinx20201 xn1 xn1 x21 x206111dx即，2,(n 2)201 xn63设f(x)，g(x)区间 a,a(a 0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足
3、条件1f(x)f(x)A(A为常数)。证明：f(x)g(x)dx Ag(x)dxa0aa证明：0aaf(x)g(x)dx f(x)g(x)dx f(x)g(x)dxa00af(x)g(x)dx令x u f(u)g(u)du f(x)g(x)dxaaa00af(x)g(x)dx f(x)g(x)dx f(x)g(x)dx f(x)f(x)g(x)dx Ag(x)dxa0000aaaa14设 n 为正整数，证明2cos xsin xdx n02nn20cosnxdx证明：令 t=2x,有20cos xsin xdx nn12n120(sin2x)nd2x 12n10sinntdt12nn,n1si
4、n tdt sin tdt022又，sin tdtt u sin(u)du 2sinnudu，220n0n所nn以，12cos xsin xdx 2sin tdt 2sin tdt)(002n102nnn120sinntdt 12n2sinnxdx又，2sin xdxx n2nt cos tdt 2cosnxdx200n因此，201cos xsin xdx n2n20cosnxdx16/195设(t)是正值连续函数，f(x)x t(t)dt,a x a(a 0),则曲线aay f(x)在 a,a上是凹的。证明：f(x)xxaxa(x t)(t)dt(t x)(t)dtxxaaxa x(t)dt
5、 t(t)dt t(t)dt x(t)dtaf(x)(t)dt(t)dt(t)dt(t)dtaxaaxaxxf(x)(x)(x)2(x)0故，曲线y f(x)在 a,a上是凹的。dxdxx6.证明：11 x2x1 x211dx证明：x1 x21令x1u1dudxxx(du)2221x111u1u1 x12u11117设f(x)是定义在全数轴上，且以T 为周期的连续函数，a 为任意常数，则aTaf(x)dx f(x)dx0T证明：aaTTf(x)dxaTT令xuTa0f(u T)du f(x T)dx0af(x)以T为周期af(xT)f(x)0f(x)dxf(x)dx 0f(x)dx 0f(x)
6、dx，于是得aTa在等式两端各加T0f(x)dx f(x)dx0Txux8若f(x)是连续函数，则f(t)dtdu(x u)f(u)du000证明：xx0uf(t)dtdu uuf(t)dtxxuf(u)du0000 x0 xf(t)dt uf(u)du017/19(x u)f(u)du0 x9设f(x)，g(x)在a,b上连续，证明至少存在一个(a,b)使得f()g(x)dx g()f(x)dxab证明：作辅助函数F(x)f(t)dtg(t)dt，由于f(x),g(x)在a,b上连续，所以axxbF(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，并有F(a)F(b)0由洛尔定理F()0,(a,b)
7、xb即f(t)dtg(t)dtxabxxbxf(x)g(t)dt f(t)dt g(x)xax f()g(x)dx g()f(x)dxa0亦即，f()g(x)dx g()f(x)dxabbb2f(x)dx(b a)f10设f(x)在a,b上连续，证明：aa(x)dx2xx证明：令F(x)f(t)dt(x a)f2(t)dtaa2F(x)f(t)f(x)dt 02ax故f(x)是a,b上的减函数，又F(a)0，F(b)F(a)0bb故f(x)dx (b a)f2(x)dxaa211设f(x)在a,b上可导，且f(x)M，f(a)0证明：baf(x)dx M(b a)22证明：由题设对xa,b,可知f(x)在a,b上满足拉氏微分中值定理，于是有18/19f(x)f(x)f(a)f()(x a),a,x又f(x)M，因而，f(x)M(x a)由定积分比较定理，有baf(x)dx M(x a)dx abM(b a)2219/19