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1、近世代数期末考试模拟试卷及答案 班别_ 姓名_ 成绩_ 要求：1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为1.5 小时。2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。6、不可以使用普通计算器等计算工具。一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）
2、。A、2 阶 B、3 阶 C、4 阶 D、6 阶 2、设 G 是群，G 有（）个元素，则不能肯定 G 是交换群。A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。A、偶数 B、奇数 C、4 的倍数 D、2 的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（2,3,4,6,12,|（整除关系）D、(P(A),)5、设 S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在 S3 中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3
3、中的所有元素 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则 aff1-。3、区间1，2上的运算,minbaba的单位元是-。4、可换群 G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=。5、环 Z8的零因子有-。6、一个子群 H 的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-。8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为 R 的-。9、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为-。三、解答
4、题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是 A 的子环，则 S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(，6)456)(234(S。1求和1；2确定置换和1的奇偶性。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M 为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题 参考答案 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分
5、，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、nm；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2种，等等，可得总共 8
6、 种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意 a,bS1S2 有 a-b,abS1S2：因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b,abS1 和 a-b,abS2，因而 a-b,abS1S2，所以 S1S2 是子环。S1+S2 不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1)56)(1243(，)16524(1；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明：假定是 R 的一个理想而不是零理想，那么 a0，由理想的定义11aa，因而 R 的任意元1bb 这就是说=R，证毕。2、证 必要性：将 b 代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以 b=a-1。