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1、 一元一次方程的定义及解法 文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）一元一次方程的定义及解法 方程定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1，这样的方程叫做一元一次方程，通常形式是 ax+b=0(a，b 为常数，且 a0）。方程简介 一元一次方程(linearequationinone）通过化简，只含有一个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。通常形式是 ax+b=0(a，b 为常数，且 a0）。一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为 1，且未知数的
2、系数不为 0。我们将 ax+b=0（其中 x 是未知数，a、b 是已知数，并且 a0）叫一元一次方程的标准形式。这里 a 是未知数的系数，b是常数，x 的次数必须是 1。即一元一次方程必须同时满足 4 个条件：（1）它是等式；（2）分母中不含有未知数；（3）未知数最高次项为 1；(4)含未知数的项的系数不为 0。“方程”一词来源于我国古算术书九章算术。在这本着作中，已经会列一元一次方程。法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。在 19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。详细内容 合并同类项 1.依据：乘法分配律 2.把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项；常数计算
3、后合并成一项 3.合并时次数不变，只是系数相加减。移项 1.含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。2.依据：等式的性质 3.把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。性质 性质 等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。等式的性质二:等式两边同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外），等式仍然成立。等式的性质三：等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立 解法步骤 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。一般解法：1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最
4、小公倍数（不含分母的项也要乘）；2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；(记住如括号外有减号的话一定要变号）3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号 4.合并同类项：把方程化成ax=b(a0)的形式；5.系数为成 1：在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解x=b/a.同解方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。方程的同解原理：方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。方程的两边同乘或同除同一个不为 0 的数所得的方程与原方程是同解方程。做一元一次方程应用题的重要方法：认真审题（审题）分析已知和未知
5、量找一个合适的等量关系设一个恰当的未知数列出合理的方程（列式）解出方程（解题）检验写出答案（作答）ax=b 解：当 a0，b=0 时，ax=0 x=0 当 a0 时，x=b/a。当 a=0，b=0 时，方程有无数个解(注意：这种情况不属于一元一次方程，而属于恒等方程）当 a=0，b0 时，方程无解例：（3x+1）/2-2=（3x-2）/10-（2x+3）/5 去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）得，5(3x+1)-102=(3x-2)-2(2x+3)去括号得，15x+5-20=3x-2-4x-6 移项得，15x-3x+4x=-2-6-5+20 合并同类项得，16x=7 系数化为 1 得，x
6、=7/16。字母公式 a=ba+c=b+ca-c=b-ca=bac=bca=bc(c0)=ac=bc 求根公式 由于一元一次方程是基本方程，故教科书上的解法只有上述的方法。但对于标准形式下的一元一次方程 aX+b=0 可得出求根公式 X=-(b/a)学习实践 在小学会学习较浅的一元一次方程，到了初中开始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用题。一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、种植面积问题、比赛比分问题、路程问题，相遇问题、逆流顺流问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式 教学设
7、计示例 教学目标 1使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤，并会列出一元一次方程解简单的应用题；2培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力；3使学生初步养成正确思考问题的良好习惯 重点和难点 一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题：在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题例 1 某数的 3 倍减 2 等于某数与 4 的和，求某数(首
8、先，用算术方法解，由学生回答，教师板书)解法 1：(4+2)(3-1)=3答：某数为 3(其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成)解法 2：设某数为 x，则有3x-2=x+4解之，得 x=3答：某数为 3纵观例 1 的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个
9、相等关系转化为方程的方法和步骤二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤例 2 某面粉仓库存放的面粉运出 15%后，还剩余 42500 千克，这个仓库原来有多少面粉？师生共同分析：1本题中给出的已知量和未知量各是什么？2已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？(原来重量 -运出重量=剩余重量)3若设原来面粉有 x 千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？上述分析过程可列表如下：解：设原来有 x 千克面粉，那么运出了 15%x 千克，由题意，得 x-15%x=42500，所以 x=50000答：原来有 50000 千克面粉此时，让学生讨论：本题的相等关系
10、除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程(2)例 2 的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿依据例 2 的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈。最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：(1)仔细审题，透彻理解题意即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如 x)表示题中的一个合理未知数(2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系(这是关键一步)；(3)根据相等关系，正确列出方程即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等；(4)求出所列方程的解；(5)检验后明确地、完整地写出答案这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义。（6）最好能用计算器再进行一次验算。