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1、一元一次方程的解法及应用一元一次方程的解法及应用知识精要知识精要一、一元一次方程定义及解法：一、一元一次方程定义及解法：1、一元一次方程的有关概念：（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于 0，这样的方程叫做一元一次方程。（2）一元一次方程的标准形式是：。（3)一元一次方程的最简形式:。注意：注意：任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证如方程x2 2x 1 x26是一元一次方程如果不变形，直接判断就出会现错误。方程ax b与方程ax b(a 0)是不同的，方程ax b的解需要分类
2、讨论完成。2、等式的基本性质：（1）等式的两边同时加上（或减去）或，所得结果仍是等式。（2）等式的两边同时乘以或除以，所得结果仍是等式。3、解一元一次方程的基本步骤：（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的。注意：注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号。（2）去括号：一般地，先去，再去，最后去。注意：注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号。（3）移项：把含有的项都移到方程的一边，移到方程的另一边。注意：注意：移项要变号；不要丢项。（4）化为最简形式：把方程化成的形式。注意：注意：字母和其指数不变。b。a（5）系数化为 1：在方程的两边都除以未知数的系数a（a 0），得
3、到方程的解x 注意：注意：不要把分子、分母搞颠倒。二、一元一次方程的应用：二、一元一次方程的应用：1、列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系；（2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子；（3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系；（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值；（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。2、一元一次方程的应用中常碰到的几个问题:（1)和差倍分问题增长量原有量增长率现在量原有量增长量（2）数字问题一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c。十位数
4、可表示为10ba，百位数可表示为100c10ba。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。（3）市场经济问题商品利润商品售价商品成本价商品利润率商品利润商品成本价100%商品销售额商品销售价商品销售量商品的销售利润（销售价成本价）销售量商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8 折出售，即按原标价的80%出售。（4）行程问题路程速度时间时间路程速度速度路程时间相遇问题：快行距慢行距原距追及问题：快行距慢行距原距航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关
5、系。(5)工程问题工作量工作效率工作时间完成某项任务的各工作量的和总工作量1 (6)储蓄问题利润每个期数内的利息本金100%利息本金利率期数热身练习热身练习1、下列方程中，一元一次方程一共有(A ).9；x 2A1 个1111；x x(x 3)2；(1 x)(1 x)3352xC3 个D4 个B2 个2、给出下面四个方程及其变形：4x 8 0变形为x 2 0；x；7 5 3x变形为4x 22；4；x 3变形为2x 15x 2变形为x 25其中变形正确的是(D )AB3、代数式xCDx1的值等于 1 时，x的值是（B）.3A、3 B、1 C、3 D、13、下列方程以零为解的是(D ).A0.3x
6、-45.7x+1.BCx 7 043x 125x0.D1-3x-(4x+2)-3 0.56131131 B.C.D.106106144、已知代数式8x7与62x的值互为相反数，那么x的值等于（D）.A.5、根据下列条件，能列出方程的是（B）.A.一个数的 2 倍比小 3 B.a与 1 的差的 C.甲数的 3 倍与乙数的 D.a与b的和的1的和2356、一份数学试卷，只有25 个选择题，做对一题得4 分，做错一题倒扣1 分，某同学做了全部试卷，得了 70 分，他一共做对了（C）.A.17 道 B.18 道 C.19 道 D.20道7、某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135 元出售，
7、若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏本 25%，在这次买卖中，该商贩（C）.A.不赔不赚 B.赚 9 元 C.赔 18 元 D.赚 18 元8、哥哥有存款300 元，弟弟有存款120 元，若从下月起哥哥每月存款100 元，要想在5 个月后两人的存款数相等，那么弟弟每月应存款（C）A100 元 B160 元 C136 元 D125 元1 2是关于x的一元一次方程，那么m_1_.33x12x110、方程的标准形式为_5x5 0_.23111、当x _6_时，2x8的值等于的倒数.4xmx6 6的解一样，则m_-21_.12、方程 x4与方程2329、已知x5m413、某商品的进价是 500
8、元，标价为 750 元，商店要求以利润率不低于 5的售价打折出售，售货员最低可以打_七_折出售此商品.14、某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7 立方米，则按每立方米 1 元收费；若每月用水超过 7 立方米，则超过部分按每立方米 2 元收费.如果某居民户今年 5 月缴纳了 17 元水费，那么这户居民今年5 月的用水量为_12_立方米.15、解方程：（1）2x110 x11 x；（2）2(2x1)2(1 x)3(x3).412解：x 2解：x 1316、一艘船从 A 港到 B 港顺流行驶，用了 5 小时；从 B 港返回 A 港逆流而行，用了 7.5 小
9、时，已知水流的速度是 3 千米/时，求船在静水中的速度解：设静水中的船速度为x千米/小时。则可列方程(x3)5 (x3)7.5解得x 15答：略精解名题精解名题例 1、某七年级学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距 40 千米，摩托车的速度为45 千米小时，运货汽车的速度为35 千米小时，？”（涂黑部分表示补墨水覆盖的若干文字），请将这道作业题补充完整，并列方程解答参考：老师学生自己讨论.例 2、小赵和小王交流暑假中的活动，小赵说：“我参加科技夏令营，外出一个星期，这七天的日期数之和是 84，你知道我是几号出去的吗？”小王说：“我假期到舅舅家去住了七天，
10、日期数的和再加月份数也是 84，你能猜出我是几月几号回家的？”试试看，列出方程，解决小赵与小王的问题解：小赵是 9 号出去的，小王是 7 月 15 号回家的(提示：可设七天的中间一天日期数是x，则其余六天分别为 x3，x2，x1，x+1，x+2，x+3，由题意列方程，易求得中间天数，对小王的情形，由于七天的日期数之和是7 的倍数，因为84 是 7 的倍数，所以月份数也是7 的倍数，可知月份数是7，且在 8 号至 14 号在舅舅家故于 7 月 15 号回家例 3、铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6 千米/时，骑车人速度为10.8 千米/时，这时有一列火
11、车从他们背后开过来，火车通过行人用22 秒，通过骑车人用 26 秒，这列火车的车身总长是多少？分析：本题属于追及问题，行人的速度为3.6 千米/时=1 米/秒，骑车人的速度为10.8 千米/时=3 米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为 x 米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）22 或（x-3）26，由此不难列出方程。解：设这列火车的速度是x 米/秒，依题意列方程，得（x-1）22=（x-3）26。解得 x=14。所以火车的车身长为（14-1）22=286（米）。答：这列火车的车身总长为286 米。例 4、一辆汽车在上坡路
12、上行驶的速度是每小时 40 千米,在下坡路上行驶的速度是每小时 50 千米,在平路上行驶的速度是每小时 45 千米.某日这辆汽车从甲地开往乙地,先是用了然后用了1的时间走上坡路,311的时间走下坡路,最后用了的时间走平路.已知汽车从乙地按原路返回甲地时,比从甲33地开往乙地所用的时间多15 分钟,求甲、乙两地的距离.解：设汽车从甲到乙所用时间为3x 小时,依题意,得45x50 x40 x15,解得 x=5,3x 45405060故甲、乙两地的距离为40 x+50 x+45x=135x=675(千米).备选例题备选例题例 1、某公路干线上,分别有两个小站 A 和 B,A、B 两站相距 63 千米
13、,A 站有一辆汽车其最大时速为45千米/小时,B站有一辆汽车其最大时速为36千米/小时.如果两车同时同向分别以最大时速从两站开出.求经过多长时间后,两车相距 108 千米.解：设经过 x 小时后,两车相距 108 千米,依题意,得 45x-(36x+63)=108(沿 AB 方向)或(45x+63-36x=108+63)(沿 BA 方向).解得 x=19 或 x=5.答:若沿 AB 方向出发,19 小时后,两车相距 108 千米;若沿 BA 方向出发,5 小时后,两车相距 108千米.例、某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有 A、B 两种型号的车可供调用，已知 A 型车每辆可装20吨，B
14、 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆 A 型车的前提下至少还需调用B 型车多少辆?解：设还需要 B 型车 a 辆，由题意得 205+15a300 15a200 a40/3解得 a13又1/3.由于 a 是车的数量，应为正整数，所以x 的最小值为14.答：至少需要14台 B 型车.巩固练习巩固练习1 1、指出下列方程中的未知数是什么，方程的左边是什么，方程的右边是什么？并且判断它是否是一元一次方程？（1）3 2x1；（是）（2）x2y 7；（不是）2（3）x 5x1 5；（不是）（4）x y 2y；（不是）22（5）x3；（是）（6）3m5（7
15、）2m（是）4；7a1a1（是）1232a x 0有相同的解，则a的值等于 222、若方程 3x51 与方程13、已知x-1 1是方程a(x 1)(2 x a)的解，那么a 4、一次买 10 斤鸡蛋打八折比打九折少花2 元，则这 10 斤鸡蛋的原价是 20元5、某商品标价 1375 元，打 8 折（按标价的 80%）售出，仍可获利 10%，则该商品的造价是 1000元6、某人乘船由A 地顺流而下到 B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船3 小时，已知船在静水中的速度是每小时 8 千米，水流速度是每小时 2 千米，若 A、C 两地距离为 2 千米，则 A、B 两地之间的距离是 12.5 千米7、
16、某人从A 地出发，先上山，再下山到B 地共走 0.4 千米，再由B 地顺原路返回，已知上山速度为m千米/时，下山速度为n千米/时，那么从 A 地到 B 地再回到 A 地所用时间是时8、下列方程是一元一次方程的是（C）A0.4(mn)小mn223x 7xxB3x 435 x 322Cy2 2y y(y 2)3D3x 8y 1334(x-1)=3,下列变形中，较简捷的是（B）434A方程两边都乘以 4，得 3（x-1）=1233B去括号，得 x-=3434C两边同除以，得x-1=4439、解方程D整理，得4x 3 342140561510、(3a 8b)x25bx 7a 0是关于x的一元一次方程，
17、且该方程有惟一解，则x（C）A2140B C5615 D11、若a，b互为相反数（a 0），则axb 0的根是（A）.A.1 B.1 C.1或1 D.任意数12、甲、乙、丙三人共捐款611 元支援山区，甲比乙多25 元，比丙少 36 元，则丙捐款数为（C）A200 元B175 元C236 元D218 元13、为了从 500 只外形相同的鸡蛋中找到唯一的一只双黄蛋，检查员将这些鸡蛋按1500 的顺序排成一列，第一次先从中取出序号为单数的蛋，发现其中没有双黄蛋，他将剩下的蛋的原来位置上又按 1250 编号（即原来的 2 号变为 1 号，原来的 4 号变成 2 号，原来的 500 号变成 250 号
18、）。又从中取出新序号为单数的蛋进行检查，任没有发现双黄蛋，如此下去，检查到最后的一个是双黄蛋，问这只双黄蛋最初的序号是（C）A.48 B.250 C.256 D.50014、解方程（1）2（2）(x 2)(3 4x1)9(1 x)1 12x(x 1)(x 1)223115解：x 10解：x 15、某体育场的环形跑道长 400 米，甲、乙二人在跑道上练习，甲平均每分钟跑250 米，乙平均每分钟跑 290 米，现在两人同时从同地同向出发，经过多长时间两从才能再次相遇？解：设经过x分钟后相遇，290 x250 x 400解得x 10答：略16、如图，沿着边长为 90 米的正方形，按逆时针方向，甲从
19、A 出发，每分钟走 65 米，乙从 B 出发，每分钟走 72 米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。解：设追上甲时乙走了x 分。依题意，甲在乙前方390=270（米），故有72x65x+270。由于正方形边长为 90 米，共四条边，故由可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA 边上。答：当乙第一次追上甲时在正方形的DA 边上。自我检测自我检测1、在方程xy 3，3y 5 0，7a次方程的有（B）个32a1 7，x 0中，是一元
20、一 a，m23m 0,4x6A 2 B 3 C 4 D 52、方程 1-2x4x7 去分母得（C）36A1-2(2x-4)=-(x-7)B6-2(2x-4)=-x-7C6-2(2x-4)=-(x-7)D以上答案均不对3、方程a2x a2x3 0是一元一次方程，则a等于（A）2A2 B2 C2 D04、若关于x的方程m3xn15 0是一元一次方程，则m、n的取值是（B）Am 3,n 1 Bm 3,n 0Cm 0,n 0 Dm 3,n 15、x=1 是方程（D）的解.5x1x0.50.94x1.33x25x4 B 0830.623135C234(5x-1)-8-2=8 D4x+=6x+44A-6、
21、一件衣服标价 132 元，若以 9 折降价出售，仍可获利 10%，则这件衣服的进价是（D）.A.106 元 B.105元 C.118 元 D.108 元7、一条山路，某人从山下往山顶走3 小时还有 1 千米才到山顶，若从山顶走到山下只用150 分钟，已知下山速度是上山速度的15 倍，求山下到山顶的路程设上山速度为x 千米/分钟，则所列方程为(D )Ax1=5(15x)B3x+1=150(1.5x)C3x1=(15x)D180 x+1=150(1.5x)8、一项工程甲独做 10 天完成，乙的工作效率是甲的2 倍，两人合做了 m 天未完成，剩下的工作量由乙完成，还需的天数为(D)A1（1+1)2m
22、 B5 mCmD以上都不对9、若 2（3-a）x-4=5 是关于 x 的一元一次方程，则a3.10、关于 x 的方程 ax=3 的解是自然数，则整数a 的值为：11、已知方程(a 2)x12、当 m=a 11 .4 0是一元一次方程，则a -2；x 125x12x15m 的解为 0.时，方程32363b.213、已知 a0.则关于 x 的方程 3ab-(a+b)x=(a-b)x的解为14、假定每人的工作效率都相同，如果个人天做个玩具熊，那么个人做个玩具熊需要a2_天c15、甲、乙二人在长为 400 米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑9 米，乙每秒钟跑 7 米(1)当两人同时同地背向而行时，经过_25_秒钟两人首次相遇；(2)两人同时同地同向而行时，经过_200_秒钟两人首次相遇16、解下列方程2x 110 x 12x 12311（2）(x 1)-4=x+2;123243641解：x 解：x 106（1）17、甲、乙两人骑车分别从 A，B 两地相向而行，已知甲、乙两人的速度比是 23，甲比乙早出发15 分钟，再经过 1 小时 45 分钟遇见乙，此时甲比乙少走 6 千米，求甲、乙两人骑车的速度和A、B两地的距离？解：设甲的速度为x，则乙的速度为2x6 13x，则可列方程233x424833222解得x 所以 A、B 两地距离为x2x1千米5245答：略