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1、 一 定义新运 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。我们学过的常用运算有：、等.如：235 236 都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个
2、唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“”，“”，“”，“”运算不相同.二 定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 模块一、直接运算型【例 1】若 A*B 表示（A3B）（AB），求 5*7 的值。【巩固】定义新运算为 a b（a1）b，求的值。6（3 4）【巩固】设a2baab，那么，56_，(5 2)3_.【巩固】P、Q表示数，*P Q表示P与Q的平均数，求 3*(6*8)【例 2】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“”为选择两数中较小数的运算。计算下式
3、：第四讲 定义新运算 （73）&5 5（3&7）【巩固】我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号 表示选择两数中较小数的运算，例如：5 3=3 5=3，计算：1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)(2.25)996的结果是多少？【例 3】A表示自然数 A 的约数的个数.例如,4 有 1,2,4 三个约数,可以表示成4=3.计算:(1822)7=.【巩固】x 为正数,表示不超过 x 的质数的个数,如=3,即不超过 5.1 的质数有 2,3,5 共 3 个.那么+的值是 .【巩固】定义运算“”如下:对于两个自然数 a 和 b,它们的最大公约数与最小公
4、倍数的和记为 a b.例如:4 6=(4,6)+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算,18 12=.【例 4】已知 a,b 是任意自然数,我们规定:ab=a+b-1,2abab,那么 4(68)(35).【例 5】（第五届“华杯赛”复赛）羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号 表示：羊 羊=羊；羊 狼=狼；狼 羊=狼；狼 狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号表示：羊羊=羊；羊狼=羊；狼羊=羊；狼狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与
5、狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼求下式的结果：羊(狼羊)羊(狼 狼)【例 6】（北京市“迎春杯”）对于任意的整数 x 与 y 定义新运算“”：6=2xyx yxy,求 2 9。【巩固】“*”表示一种运算符号，它的含义是：111xyxyxyA，已知 1122 12 121 13A，求1998 1999。模块二、反解未知数型【例 7】如果 a b 表示(2)ab,例如 3 4(32)44,那么,当 a 5=30 时,a=.【巩固】规定新运算:ab=3
6、a-2b.若 x(41)=7,则 x=.【例 8】如果 ab 表示32ab,例如 45=34-25=2,那么,当 x5 比 5x 大 5 时,x=【巩固】对于数 a、b、c、d，规定，2abcd，已知7，求 x 的值。【例 9】定义新运算为1aabb，求2(34)的值；若41.35x则 x 的值为多少？【例 10】对于任意的两个自然数a和b，规定新运算：(1)(2)(1)a ba aaab，其中a、b表示自然数.如果(3)23660 x，那么x等于几？【例 11】定义a b为a与b之间（包含a、b）所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7 14=(7+9+11+13)4=10，18 10=
7、(18+16+14+12+10)5=14 在算术(19 99)=80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？【例 12】（101 中学小升初试题）如有a#b新运算，a#b表示a、b中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#x）=5，则x可以是_（x小于 50）模块三、观察规律型【例 13】如果 12111 23222222 343333333333333 计算 （32）5。【巩固】规定:62=6+66=72 23=2+22+222=246,14=1+11+111+1111=1234.75=.【例 14】有一个数
8、学运算符号，使下列算式成立：248，5313，3511，9725，求73?【例 15】规定ab(2)(1)aaab,计算：（2 1）（11 10）_.【巩固】“”表示一种新的运算符号，已知：23234；7278：3534567，按此规则，如果 n868，那么，n _.模块四、综合型题目【例 16】64222 2 2 2 表示成 646f;2433 3 3 3 3 表示成2435g.试求下列的值:(1)128f ，(16)()fg，()(27)6fg;(4)如果 x,y 分别表示若干个 2 的数的乘积,试证明:()()()f x yf xf y.【例 17】对于任意两数 x,y,定义一种运算“”
9、，规定:xy=axbycxy,其中的,a b c表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道 12=3,23=4,xm=x(m0),则 m 的数值是 _。【巩固】x、y 表示两个数，规定新运算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，x y=kxy，其中 m、n、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）4=64，求（1 2）*3 的值.【例 18】两 个 不 等 的 自 然 数a和b,较 大 的 数 除 以 较 小 的 数,余 数 记 为ab,比 如52=1,725=4,68=2.(1)求 19912000,(519)19,(195)5;(2)已知 11x=2,而 x 小于 20,求 x
10、;(3)已知(19x)19=5,而 x 小于 50,求 x.abba【例 19】设 a,b 是两个非零的数,定义 ababba.(1)计算(23)4 与 2(34).(2)如果已知 a 是一个自然数,且 a3=2,试求出 a 的值.【巩固】定义运算“”如下:对于两个自然数 a 和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为 ab.比如:10 和 14,最小公倍数为 70,最大公约数为 2,则 1014=70-2=68.(1)求 1221,515;(2)说明,如果 c 整除 a 和 b,则 c 也整除 ab;如果 c 整除 a 和 ab,则 c 也整除 b;(3)已知 6x=27,求 x 的值.练习1 规定 ab=,则 2(53)之值为 .练习2 如果 14=1234,23=234,72=78,那么 45=.练习3 设 a,b 为自然数,定义 a babba22.(1)计算(4 3)+(8 5)的值;(2)计算(2 3)4;(3)计算(2 5)(3 4).练习4 两个整数 a 和 b,a 除以 b 的余数记为 ab.例如,135=3,513=5,124=0.根据这样定义的运算,(269)4=.