2023定义新运算含答案.pdf

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1、定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题新定义的运算符号，常见的如、等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。一 定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运

2、算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。我们学过的常用运算有：、等.如：235 236 都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“”，“”，“”，“”运算不相同.知识点拨知识点拨 教学目标教学目标 定义新运算定义新运算 2023定义新运算 二 定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型

3、3.观察规律型 4.其他类型综合 模块一、直接运算型【例【例 1】若若*A B表示表示()()3ABAB+，求，求5*7的值。的值。【巩巩固固】定义新运算为定义新运算为 ab（a1）b，求的值。，求的值。6（34）【巩巩固固】设设a2baab=，那么，那么，56=_，(52)3=_.【巩巩固固】P、Q表示数，表示数，*P Q表示表示2PQ+，求，求 3*(6*8)【巩巩固固】已知已知 a,b 是任意自然数是任意自然数,我们规定我们规定:ab=a+b-1,2abab=,那么那么 4(68)(35)=.【巩巩固固】MN表示表示()2,(20082010)2009MN+_=例题精讲例题精讲 【巩巩固

4、固】规定运算规定运算“”为：若为：若 ab，则，则 ab=ab；若；若 a=b，则，则 ab=ab1；若；若 ab，则，则 ab=ab。那。那么，（么，（23）（）（44）（）（75）=。【例【例 2】“”是一种新运算，规定：是一种新运算，规定：abacbd(其中其中 c，d 为常数为常数)，如，如 575c7d。如果。如果 125，238，那么，那么 61OOO 的计算结果是的计算结果是_。【巩巩固固】对于非零自然数对于非零自然数 a 和和 b，规定符号，规定符号的含义是：的含义是：abmab2ab（m 是一个确定的整数）。如是一个确定的整数）。如果果 1423，那么，那么 34 等于等于_

5、。【例【例 3】对于任意的整数对于任意的整数 x 与与 y 定义新运算定义新运算“”：6=2xyx yxy+,求求 29。【巩巩固固】“*”表示一种运算符号，它的含义是：表示一种运算符号，它的含义是：()()111xyxyxyA=+，已知，已知 ()()1122 12 121 13A=+=+，求，求1998 1999。【例【例 4】A表示自然数表示自然数 A 的约数的个数的约数的个数.例如例如 4 有有 1,2,4 三个约数三个约数,可以表示成可以表示成4=3.计算计算:(1822)7+=.【巩巩固固】x 为正数为正数,表示不超过表示不超过 x 的质数的个数的质数的个数,如如=3,即不超过即不

6、超过 5.1 的质数有的质数有 2,3,5 共共 3 个个.那么那么+的值是的值是 .【巩巩固固】定义运算定义运算“”如下如下:对于两个自然数对于两个自然数 a 和和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为它们的最大公约数与最小公倍数的和记为 ab.例例如如:46=(4,6)+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算根据上面定义的运算,1812=.【例【例 5】我们规定：符号我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号，符号表示选择两数表示选择两数中较小数的运算，例如：中较小数的运算，例如：53=35=3，计算：，计算：1523(0

7、.6)(0.625)23353411(0.3)(2.25)996+的结果是多少？的结果是多少？【巩巩固固】规定：符号规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，为选择两数中较大数的运算，“”为选择两数中较小数的运算。计算下式：为选择两数中较小数的运算。计算下式：（73）&5 5（3&7）【巩巩固固】我 们 规 定：我 们 规 定：AB 表 示表 示 A、B 中 较 大 的 数，中 较 大 的 数，AB 表 示表 示 A、B 中 较 小 的 数。则中 较 小 的 数。则()()108651120=13+15 【例【例 6】如果规定如果规定 ab=13a-b 8，那么，那么 1724 的最后结果是的

8、最后结果是_。【巩巩固固】若用若用 G（a）表示自然数）表示自然数 a 的约数的个数，如：自然数的约数的个数，如：自然数 6 的约数有的约数有 1、2、3、6，共，共 4 个，记作个，记作 G（6）=4，则，则 G(36)+G(42)=。【巩巩固固】如果如果&10abab=+,那么那么2&5=。【例【例 7】“华华”、“杯杯”、“赛赛”三个字的四角号码分别是三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和和“3088”，将，将“华杯赛华杯赛”的编码取为的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位

9、的数码改变为关于 9 的补码，的补码，例如：例如：0 变变 9，1 变变 8 等，那么等，那么“华杯赛华杯赛”新的编码是新的编码是_.【例【例 8】羊和狼在一起时，狼要吃掉羊羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号表示：羊表示：羊羊羊=羊；羊羊；羊狼狼=狼；狼狼；狼羊羊=狼；狼狼；狼狼狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规

10、定另所以我们规定另一种运算，用符号一种运算，用符号表示：羊表示：羊羊羊=羊；羊羊；羊狼狼=羊；狼羊；狼羊羊=羊；狼羊；狼狼狼=狼，这个运算的意思是：狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼求下式的结果：羊运算的结果或是羊，或是狼求下式

11、的结果：羊(狼狼羊羊)羊羊(狼狼狼狼)【例【例 9】一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗则同学们能看懂吗 规定：警规定：警察察小偷小偷=警察，警察，警察警察小偷小偷=小偷小偷 那么：（猎人那么：（猎人小兔）小兔）（山羊（山羊白菜）白菜）=模块二、反解未知数型【例【例 10】如果如果 ab 表示表示(2)ab,例如例如 34(32)44=,那么那么,当当 a5=30 时时,a=.【巩巩固固】规定新规定新运算运算:ab=3a-2b.若若 x(41)=7,则则 x=.【巩巩固固】如果如果 ab 表示表示32ab,例如

12、例如 45=34-25=2,那么那么,当当 x5 比比 5x 大大 5 时时,x=【巩巩固固】对于数对于数 a、b、c、d，规定，规定，2abcd，已知，已知7，求，求 x 的值。的值。【例【例 11】定义新运算为定义新运算为1aabb+=，求求2(34)的值；的值；若若41.35x=则则 x 的值为多少？的值为多少？【巩巩固固】对于任意的两个自然数对于任意的两个自然数a和和b，规定新运算，规定新运算：(1)(2)(1)a ba aaab=+，其中，其中a、b表示表示自然数自然数.如果如果(3)23660 x=，那么，那么x等于几？等于几？【例【例 12】定义定义a b为为a与与b之间（包含之

13、间（包含a、b）所有与）所有与a奇偶奇偶性相同的自然数的平均数，例如：性相同的自然数的平均数，例如：7 14=(7+9+11+13)4=10，18 10=(18+16+14+12+10)5=14 在算术在算术(19 99)=80的方格的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？【巩巩固固】如有如有a#b新运算，新运算，a#b表示表示a、b中较大的数除以较小数后的余数中较大的数除以较小数后的余数.例如；例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（如（21#（21#x）=5，则，则x可以是可以是_（x小于小于

14、50）【例【例 13】已知已知x、y满足满足 2009xy+=，20.09yy+=；其中；其中 x表示不大于表示不大于x的最大整数，的最大整数，x表示表示x 的的小数部分，即小数部分，即 xxx=，那么，那么x=。【例【例 14】规定：规定：AB 表示表示 A、B 中较大的数，中较大的数，AB 表示表示 A、B 中较小的数 若（中较小的数 若（A5B3）（B5+A3）96，且，且 A、B 均为大于均为大于 0 的自然数，的自然数，AB 的所有取值为的所有取值为 （8级）级）模块三、观察规律型【例【例 15】如果如果 12111 23222222 343333333333333 计算计算 （32

15、）5。【巩巩固固】规定规定:62=6+66=72 23=2+22+222=246,14=1+11+111+1111=1234.75=【例【例 16】有一个数学运算符号有一个数学运算符号，使下列算式成立：，使下列算式成立：248=，5313=，3511=，9725=，求，求73?=【巩巩固固】规定规定ab(2)(1)aaab=+,计算：（计算：（21）+（1110）=_.【例【例 17】一个数一个数 n 的数字中为奇数的那的数字中为奇数的那些数字的和记为些数字的和记为()S n，为偶数的那些数字的和记为，为偶数的那些数字的和记为()E n，例如，例如()134134S=+=，()1344E=()

16、()12(100)SSS+=；()(1)(2)100EEE+模块四、综合型题目【例【例 18】已知：已知：103=14，87=2，43141=，根据这几个算式找规律，如果，根据这几个算式找规律，如果 85x=1，那么，那么x=.【例【例 19】如果如果a、b、c是是 3 个整数，则它们满足加法交换律和结合律个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即，即 abba+=+；()()abcabc+=+。现在规定一种运算现在规定一种运算*，它对于整数，它对于整数 a、b、c、d 满足：满足：(,)*(,)(,)a bc da cb d a cb d=+。例：例：(4,3)*(7,5)(4 73 5,4

17、73 5)(43,13)=+=请你举例说明，请你举例说明，*运算是否满足交换律、结合律。运算是否满足交换律、结合律。【例【例 20】用用 a表 示表 示a的 小 数 部 分，的 小 数 部 分，a表 示 不 超 过表 示 不 超 过a的 最 大 整 数。例 如：的 最 大 整 数。例 如：0.30.3,0.30;4.50.5,4.54=记记2()21xf xx+=+，请计算，请计算()()11,;1,133ffff 的值。的值。【例【例 21】在计算机中，对于图中的数据在计算机中，对于图中的数据(或运算或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，

18、再读与它相连的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一个圆圈中的数据一个圆圈中的数据(或运算或运算)都是按都是按中中左左右右的顺序。如的顺序。如：图：图 A 表示：表示：2+3，B 表示表示 2+321。图。图C中表示的式子的运算结果是中表示的式子的运算结果是_。【例【例 22】64222=222 表示成表示成()646f=;2433 3 3 3 3=表示成表示成()2435g=.试求下列的值试求下列的值:(1)()128f=(2)(16)()fg=(3)()(27)6f

19、g+=;(4)如果如果 x,y 分别表示若干个分别表示若干个 2 的数的乘积的数的乘积,试证明试证明:()()()f x yf xf y=+.【例【例 23】对于任意有理数对于任意有理数 x,y,定义一种运算定义一种运算“”，规定，规定:xy=axbycxy+,其中的其中的,a b c表示已知数表示已知数,等式等式右边是通常的加、减、乘运算右边是通常的加、减、乘运算.又知道又知道 12=3,23=4,xm=x(m0),则则 m 的数值是的数值是 _。【巩巩固固】x、y 表示两个数，规定新运算表示两个数，规定新运算“*”及及“”如下：如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中，其中 m、n、k

20、 均为自然均为自然数，已知数，已知 1*2=5，（，（2*3）4=64，求（，求（12）*3 的值的值.【例【例 24】对于任意的两个自然数对于任意的两个自然数a和和b，规定新运算，规定新运算：ab(1)(2)(1)aaaab=+，其，其中中a、b表示自然数表示自然数.求求 1100 的值；的值；已知已知x10=75，求，求x为多少？为多少？如果（如果（x3）2=121，那么那么x等于几？等于几？【巩巩固固】两个不等的自然数两个不等的自然数 a 和和 b,较大的数除以较小的数较大的数除以较小的数,余数记为余数记为 ab,比如比如 52=1,725=4,68=2.（8级）级）(1)求求 1991

21、2000,(519)19,(195)5;(2)已知已知 11x=2,而而 x 小于小于 20,求求 x;(3)已知已知(19x)19=5,而而 x 小于小于 50,求求 x.【例【例 25】设设 a,b 是两个非零的数是两个非零的数,定义定义 ababba=+.(1)计算计算(23)4 与与 2(34).(2)如果已知如果已知 a 是一个自然数是一个自然数,且且 a3=2,试求出试求出 a 的值的值.【巩巩固固】定义运算定义运算“”如下如下:对于两对于两个自然数个自然数 a 和和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为它们的最大公约数与最小公倍数的差记为 ab.比如比如:10 和和 14,最

22、小公倍数为最小公倍数为 70,最大公约数为最大公约数为 2,则则 1014=70-2=68.(1)求求 1221,515;(2)说明说明,如果如果 c 整除整除 a 和和 b,则则 c 也整除也整除 ab;如果如果 c 整除整除 a 和和 ab,则则 c 也整除也整除 b;(3)已知已知 6x=27,求求 x 的值的值.【巩巩固固】“”表示一种新的运算符号，已知：表示一种新的运算符号，已知：23=234+；72=78+：35=34567+，按此规则，如果按此规则，如果 n8=68，那么，那么，n=_.【例【例 26】国际统一书号国际统一书号 ISBN 由由 10 个数字组成，前面个数字组成，前

23、面 9 个数字分成个数字分成 3 组，分别用来表示区域、出版社和组，分别用来表示区域、出版社和书名，最书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前 9 个数字按照一定的顺序算得。如：个数字按照一定的顺序算得。如：某书的书号是某书的书号是 ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是：，它的核检码的计算顺序是：7101908771675544332207；20711189；1192。这里的。这里的 2 就是该书号的核检码。就是该书号的核检码。依照上面的顺序，求书号依照上面的顺序，求书号 ISBN-7-303-07618-的核检码。的

24、核检码。【例【例 27】如图如图 2 一只甲虫从画有方格的木板上的一只甲虫从画有方格的木板上的 A 点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到 B，图，图 1中的路线对应下面的算式：中的路线对应下面的算式：121221216+=.请在图请在图 2 中用粗线画出对应于算式：中用粗线画出对应于算式：212221 1 1 +的路线的路线 定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题新定义的运算符号，常见的如、等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的解答这类题目的关键是理解

25、新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。我们学过的常用运算有：、等.如：235 236 都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法

26、则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“”，“”，“”，“”运算不相同.知识点拨知识点拨 教学目标教学目标 定义新运算定义新运算 二 定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 模块一、直接运算型【例【例 1】若若*A B表示表示()()3ABAB+，求，求5*7的值。的值。【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】A*B 是这样结果这样计算出来：先计算 A3B 的

27、结果，再计算 AB 的结果，最后两个结果求乘积。由 A*B（A3B）（AB）可知：5*7（537）（57）（521）12 2612 312【答案】312 【巩巩固固】定义新运算为定义新运算为 ab（a1）b，求的值。，求的值。6（34）【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由 ab（a1）b 得，34（31）4441；6（34）61（61）17【答案】7 【巩巩固固】设设a2baab=，那么，那么，56=_，(52)3=_.【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】565 52 613=52

28、5 52221=,1321 216435=【答案】435 【巩巩固固】P、Q表示数，表示数，*P Q表示表示2PQ+，求，求 3*(6*8)【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】68373*(6*8)3*()3*7522+=【答案】5 【巩巩固固】已知已知 a,b 是任意自然数是任意自然数,我们规定我们规定:ab=a+b-1,2abab=,那么那么 例题精讲例题精讲 4(68)(35)=.【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】原式4(681)(3 52)41313=+=41313 1425=+=425298=【答案】98 【巩巩固固】

29、MN表示表示()2,(20082010)2009MN+_=【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2010 年，第 8 届，走美杯，3 年级，初赛【解析】原式()()200820102*20092009*20092009200922009=+=+=【答案】2009 【巩巩固固】规定运算规定运算“”为：若为：若 ab，则，则 ab=ab；若；若 a=b，则，则 ab=ab1；若；若 ab，则，则 ab=ab。那。那么，（么，（23）（）（44）（）（75）=。【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2009 年，希望杯，第七届，四年级，

30、二试【解析】19【答案】19 【例【例 2】“”是一种新运算，规定：是一种新运算，规定：abacbd(其中其中 c，d 为常数为常数)，如，如 575c7d。如果。如果 125，238，那么，那么 61OOO 的计算结果是的计算结果是_。【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2006 年，希望杯，第四届，六年级，二试【解析】121c2d=5，232c3d=8，可得 c=1,d=2 610006c1000d=2006【答案】2006 【巩巩固固】对于非零自然数对于非零自然数 a 和和 b，规定符号，规定符号的的含义是：含义是：ab2mabab+（m 是一个确定的整

31、数）。如是一个确定的整数）。如果果 1423，那么，那么 34 等于等于_。【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2007 年，希望杯，第五届，六年级，二试【解析】根据 14=23，得到14232 1 42 2 3mm+=，解出 m=6。所以，6 3411342 3 412+=。【答案】1112 【例【例 3】对于任意的整数对于任意的整数 x 与与 y 定义新运算定义新运算“”：6=2xyx yxy+,求求 29。【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】北京市，迎春杯【解析】根据定义6=2xyx yxy+于是有62922 95229

32、5 =+【答案】255 【巩巩固固】“*”表示一种运算符号，它的含义是：表示一种运算符号，它的含义是：()()111xyxyxyA=+，已知，已知 ()()1122 12 121 13A=+=+，求，求1998 1999。【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】根据题意得()()()()()()12111,21 16,121 13221 16AAAA=+=+，所以()()1111200019981998 19991998 199919981 199911998 1999199920001998 19992000399811998 199920001998000+=+

33、=+=+=【答案】11998000 【例【例 4】A表示自然数表示自然数 A 的约数的个数的约数的个数.例如例如 4 有有 1,2,4 三个约数三个约数,可以表示成可以表示成4=3.计算计算:(1822)7+=.【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】因为21823=有(1 1)(21)6+=个约数,所以18=6,同样可知22=4,7=2.原式(64)25=+=.【答案】5 【巩巩固固】x 为正数为正数,表示不超过表示不超过 x 的质数的个数的质数的个数,如如=3,即不超过即不超过 5.1 的质数有的质数有 2,3,5 共共 3 个个.那么那么+的值是的值是 .【考

34、点】定义新运算之直接运算 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】为不超过 19 的质数,有 2,3,5,7,11,13,17,19 共 8 个.为不超过的质数,共 24 个,易知=0,所以，原式=+=11.【答案】11 【巩巩固固】定义运算定义运算“”如下如下:对于两个自然数对于两个自然数 a 和和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为它们的最大公约数与最小公倍数的和记为 ab.例例如如:46=(4,6)+4,6=2+12=14.根据上根据上面定义的运算面定义的运算,1812=.【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】1812=(18,12)+18,12=6+3

35、6=42.【答案】42 【例【例 5】我们规定：符号我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号，符号表示选择两数表示选择两数中较小数的运算，例如：中较小数的运算，例如：53=35=3，计算：，计算：1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)(2.25)996+的结果是多少？的结果是多少？【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】15232531(0.6)(0.625)123353824341119312(0.3)(2.25)9963412+=+【答案】12 【巩巩固固】规定：符号规定：符号“&

36、”为选择两数中较大数的运算，为选择两数中较大数的运算，“”为选择两数中较小数的运算。计算下式：为选择两数中较小数的运算。计算下式：（73）&5 5（3&7）【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。（76）&5 5（3&9）6&5 59 6530【答案】30 【巩巩固固】我 们 规 定：我 们 规 定：AB 表 示表 示 A、B 中 较 大 的 数，中 较 大 的 数，AB 表 示表 示 A、B 中 较 小 的 数。则中 较 小 的 数。则()()108651120=13+15 【考点】定义新

37、运算之直接运算 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2006 年，第 4 届，走美杯，3 年级，决赛【解析】根据题目要求计算如下：()()()()108651120=861315=228=56+13+15【答案】56 【例【例 6】如果规定如果规定 ab=13a-b 8，那么，那么 1724 的最后结果是的最后结果是_。【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2003 年，第 1 届，希望杯，4 年级，1 试【解析】1724=1317-248=221-3=218【答案】218 【巩巩固固】若用若用 G（a）表示自然数）表示自然数 a 的约数的个数，如：自然数的

38、约数的个数，如：自然数 6 的约数有的约数有 1、2、3、6，共，共 4 个，记作个，记作 G（6）=4，则，则 G(36)+G(42)=。【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2003 年，第 1 届，希望杯，4 年级，1 试【解析】36 的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42 的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所以有G 36G+=+=429817（）（）。【答案】17 【巩巩固固】如果如果&10abab=+,那么那么2&5=。【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2004 年，第 2 届，希望杯

39、，4 年级，1 试 【解析】2&5=2+510=2.5【答案】2.5 【例【例 7】“华华”、“杯杯”、“赛赛”三个字的四角号码分别是三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和和“3088”，将，将“华杯赛华杯赛”的编码取为的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于 9 的补码，的补码，例如：例如：0 变变 9，1 变变 8 等，那么等，那么“华杯赛华杯赛”新的编码是新的编码是_.【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2007 年，第十二届

40、，华杯赛，六年级，决赛【解析】偶数位自左至右依次为 4、0、1、9、0、8，它们关于 9 的补码自左至右依次为 5、9、8、0、9、1，所以“华杯赛”新的编码是：254948903981【答案】254948903981 【例【例 8】羊和狼在一起时，狼要吃掉羊羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号表示：羊表示：羊羊羊=羊；羊羊；羊狼狼=狼；狼狼；狼羊羊=狼；狼狼；狼狼狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了在一起还是狼，但是

41、狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另所以我们规定另一种运算，用符号一种运算，用符号表示：羊表示：羊羊羊=羊；羊羊；羊狼狼=羊；狼羊；狼羊羊=羊；狼羊；狼狼狼=狼，狼，这个运算的意思是：这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算到

42、右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼求下式的结果：羊运算的结果或是羊，或是狼求下式的结果：羊(狼狼羊羊)羊羊(狼狼狼狼)【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】第五届，华杯赛，复赛【解析】因为狼狼=狼，所以原式=羊(狼羊)羊狼无论前面结果如何，最后一步羊狼或者狼狼总等于狼，所以 原式=狼【答案】狼 【例【例 9】一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗 规定：警规定：警察察小偷小偷=警察，警察，警察警察小偷小偷=小偷小偷 那么：（猎人那么：（猎人小兔）小兔）（山羊（

43、山羊白菜）白菜）=【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2009 年，学而思杯，4 年级【解析】谁握着枪就留下谁，结果应该是 白菜【答案】白菜 模块二、反解未知数型【例【例 10】如果如果 ab 表示表示(2)ab,例如例如 34(32)44=,那么那么,当当 a5=30 时时,a=.【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】依题意,得(2)530a=,解得8a=.【答案】8 【巩巩固固】规定新运算规定新运算:ab=3a-2b.若若 x(41)=7,则则 x=.【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】因为

44、 41=342 110=,所以 x(41)=x10=3x-20.故 3x-20=7,解得 x=9.【答案】9 【巩巩固固】如果如果 ab 表示表示32ab,例如例如 45=34-25=2,那么那么,当当 x5 比比 5x 大大 5 时时,x=【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】根据题意 x5-5x=(3x-25)-(35-2x)=5x-25,由 5x-25=5,解得 x=6.【答案】6 【巩巩固固】对于数对于数 a、b、c、d，规定，规定，2abcd，已知，已知7，求，求 x 的值。的值。【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】根

45、据新定义的算式，列出关于 x 的等式，解出 x 即可。将 1、3、5、x 代入新定义的运算得：2135x1x，又根据已知7，故 1x7，x6。【答案】6 【例【例 11】定义新运算为定义新运算为1aabb+=，求求2(34)的值；的值；若若41.35x=则则 x 的值为多少？的值为多少？【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】因为313414+=，所以212(34)2131+=141.354xx+=，14 1.355.4,4.4xx+=，所以 x 的值为 4.4.【答案】3 4.4 【巩巩固固】对于任意的两个自然数对于任意的两个自然数a和和b，规定新运算，规定新运

46、算：(1)(2)(1)a ba aaab=+，其中，其中a、b表示表示自然数自然数.如果如果(3)23660 x=，那么，那么x等于几？等于几？【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4 星 【题型】计算 【解析】方法一：由题中所给定义可知，b为多少，则就有多少个乘数36606061=，即：6023660=，则360 x=；60345=，即 3360=,所以3x=方法二：可以先将（x3）看作一个整体y，那么就是y23660=，y2(1)36606061y y=+=,所以60y=，那么也就有 x360=，60345=，即 3360=，所以x3=【答案】3 【例【例 12】定义定义a b为为a与与

47、b之间（包含之间（包含a、b）所有与）所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7 14=(7+9+11+13)4=10，18 10=(18+16+14+12+10)5=14 在算术在算术(19 99)=80的方格的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4 星 【题型】计算 【解析】19 99=(19+99)2=59，所以方格中填的数一定大于 80如果填的是个奇数，那么只能是80259101=；如果填的是个偶数，那么这个数与 60 的平均数应该是

48、80，所以只能是80260100=因此所填的数可能是 100 和 101【答案】100和101 【巩巩固固】如有如有a#b新运算，新运算，a#b表示表示a、b中较大的数除以较小数后的余数中较大的数除以较小数后的余数.例如；例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（如（21#（21#x）=5，则，则x可以是可以是_（x小于小于 50）【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4 星 【题型】计算 【关键词】101 中学，入学测试【解析】这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.第一步先把（21#x）看成一个整体y.对于 21#y

49、=5，这个式子，一方面可把 21 作被除数，则y等 于（21-5）=16 的大于 5 的约数，有两个解 8 与 16；另一方面可把 21 作除数，这样满足要求的数为 26，47，即形如 21N+5 这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由y所 代表的式子（21#x）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须 比被除数与除数都要小才行，因此大于 21 的那些y的值都得舍去.现在只剩下 8，与 16.第二步求：（21#x）=8 与（21#x）=16.对于（21#x）=8 可分别解得，把 21 作被除数时：x=13，把 21 作除数时为：x=29，50，形如 21N+8

50、 的整数（N 是正整数）.对于（21#x）=16，把 21 作被除数无解，21 作除数时同理可得：x=37，58所有形如 21N+16 这样的整数.（N 是正整数）.所以符合条件的答案是 13,29,37【答案】13,29,37 【例【例 13】已知已知x、y满足满足 2009xy+=，20.09yy+=；其中；其中 x表示不大于表示不大于x的最大整数，的最大整数，x表示表示x 的的小数部分，即小数部分，即 xxx=，那么，那么x=。【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，学而思杯，6 年级，第 3 题【解析】根据题意，y是整数，所以2009 xy