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1、第 2 章 刚体定轴转动 一、选择题 1(B)，2(B)，3(A)，4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C)二、填空题(1).v 15.2 m/s，n2500 rev/min(2).(3).g/l g/(2l)(4).Nm(5).rad/s(6).0.25 kgm2(7).Ma21(8).mgl21参考解：MMdmglrrlgml21d/0(9).212mRJmrJ(10).lg/sin3 三、计算题 1.有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板
2、的转动惯量221mRJ，其中m为圆形平板的质量）解：在r处的宽度为 dr 的环带面积上摩擦力矩为 总摩擦力矩 mgRMMR32d0 故平板角加速度?=M/J 设停止前转数为n，则转角?=2?n 由 J/Mn4220 可得 gRMJn16/342020 2.如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动 假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为221MR，滑轮轴光滑 试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系 解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程 对物体：mgT ma 对滑轮：TR=J?运动学关系：aR?将、式联立得 amg/(m21M
3、)v00，vatmgt/(m21M)3.为求一半径R50 cm 的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量m18 kg 的重锤让重锤从高 2 m 处由静止落下，测得下落时间t116 s再用另一质量m2=4 kg 的重锤做同样测量，测得下落时间t225 s假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量 解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得 TRMfJa/R mgTma h221at 则将m1、t1代入上述方程组，得 a12h/21t m/s2 T1m1(ga1)N J(T1RMf)R/a1 将m2、t2代入、方程组，得 a22h/22t 1
4、0-3 m/s?T2m2(ga2)N J=(T2RMf)R/a2 由、两式，得 JR2(T1T2)/(a1a2)103 kgm2 4.一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为?0设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即Mk?(k为正的常数)，求圆盘的角速度从?0变为021时所需的时间 解：根据转动定律：?Jd?/dt=-k?tJkdd 两边积分：ttJk02/dd100 得 ln2=kt/J t(J ln2)/k 5.某人站在水平转台的中央，与转台一起以恒定的转速n1转动，他的两手各拿一个质量为m的砝码，砝码彼此相距l1(每一砝码离转轴21l1),当此人将砝码拉近到距离为l2时(每一砝码离
5、转轴为21l2)，整个系统转速变为n2求在此过程中人所作的功(假定人在收臂过程中自身对轴的转动惯量的变化可以忽略)解：(1)将转台、砝码、人看作一个系统，过程中人作的功W等于系统动能之增量：W?Ek212210222204)21(214)21(21nmlJnmlJ 这里的J0是没有砝码时系统的转动惯量 (2)过程中无外力矩作用，系统的动量矩守恒：2?(J02121ml)n1=2?(J02221ml)n2 1222212102nnnlnlmJ (3)将J0代入W式，得 2221212llnmnW 6.一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?)，
6、圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求 (1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度 (2)经过多少时间后，圆盘停止转动 (圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为221MR，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)解：(1)以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O的角动量守恒 mv0R(21MR2mR2)?(2)设?表示圆盘单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小 为 RfrrgrM0d2(2/3)?gR3(2/3)?MgR 设经过?t时间圆盘停止转动，则按角动量定理有 Mf?t0J?(21MR2mR2)
7、?-mv 0R MgmMgRRmMRmtf2v33/2vv000 7.一匀质细棒长为 2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞碰撞点位于棒中心的一侧L21处，如图所示求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动的角速度?(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为231ml，式中的m和l分别为棒的质量和长度)解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为 式中?为杆的线密度碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为 因碰撞前后角动量守恒，所以?=6v0/(7L)8.长为l的匀质细杆，可绕过杆的一端O点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置紧挨O点悬一单摆，
8、轻质摆线的长度也是l，摆球质量为m若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止求：(1)细杆的质量 (2)细杆摆起的最大角度?解：(1)设摆球与细杆碰撞时速度为v 0，碰后细杆角速度为?，系统角动量守恒 得：J?=mv0l 由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能 2202121Jmv 代入J231Ml，由上述两式可得 M3m (2)由机械能守恒式 mglm2021v及 cos121212MglJ 并利用(1)中所求得的关系可得 31arccos 四 研讨题 1.计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后
9、计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。参考解答：不能 因为刚体的转动惯量iimr2与各质量元和它们对转轴的距离有关 如一匀质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为221mR，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴的转动惯量为零 2.刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？参考解答：根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的
10、作用无关了。非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。3.乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？参考解答：分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力若乒乓球平动的初始速度vc的方向如图，则摩擦力 Fr的 方向一定向后摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度vc 逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度?逐渐变小 当质心平动的速度vc=0 而角速度?0 时，乒乓球将返回因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度vc和初始角速度?0的大小应满足一定的关系 解题：由质心运动定理:tmFcrddv 因mgFr,得 gcc0vv (1)由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律IM tmRRFrdd)32(2,得 gtR230 (2)由(1),(2)两式可得 Rccvv.023,令 0 0；cv 可得 Rc23.0v 这说明当vc=0 和?0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回