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1、大学物理练习册刚体定轴转动转动惯量4-1 有一直棒长为 L，其中一半的质量为 m1（均匀分布），另一半的质量为 m2（均匀分布），如图 4-1 所示，求此棒对过端点 O，并垂直于纸面的轴的转动惯量。解：解：J x dm m2L/202m12x d x l2m22L2x d x(m1 7m2)L/2l12LL/2Om1图 4-1L/2m24-2 求半径为 R，质量为 m 的均匀球体相对于直径轴的转动惯量。如以与球体相切的线为轴，其转动惯量又为多少？解：解：将球看成由许多薄圆盘组成，圆盘半径r Rcos，厚度dh Rdcos对应的质量dm r2dh R3cos3d121r dm R5cos5d22
2、/21/288m22J 2r dm R5cos5dR5R5mR20021515435R327由平行轴定理，J J mR2mR2 mR2mR2554-3 两个质量为 m、半径为R 的匀质圆薄板和一根长为l=8R 的细杆相连，如图4-3 所示，求以下两种情况时，此系统对于过细杆中心并与杆垂直的轴AA的转动惯量。（1）忽略细杆质量；（2）细杆质量为M。薄圆盘对过球心轴的转动惯量为d J l1解：解：(1)由平行轴定理J 2mR2 m(R)251mR222AlRRA1642222(2)J J Ml 51mR mR 61.67mR图 4-3126力矩和转动定律4-4 如图 4-4 所示，一长为 l，质量
3、为 m 匀质细杆竖直放置，因受到扰动而倒下（设下端不滑动）。试求当细杆转到与竖直线成角时的角加速度和角速度。lmgsinM3g2解：解：sin12J2lml3ldd，dtd0dd，03g(1cos)l图 4-4另解：另解：机械能守恒，mgl13g(1cos)J2，(1cos)l224-5 如图 4-5 所示，有一质量为m，长为l 的均匀细杆，可绕水平轴O 无摩擦地转动，杆的一端固定一质量为 3 m 的小球 A，OAl/4。开始时杆在水平位置，试求细杆由静止释放后绕O 轴转动的角加速度。（不计小球大小）Allll21l1222解：解：M(3mm)gcosmgcos，J 3m()ml m()ml4
4、241243l/4O图 4-513大学物理练习册刚体定轴转动lmgcosM23gcos12J2lml34-6 一均匀圆盘，质量为m，半径为 R，可绕通过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，如图4-6 所示。圆盘与桌面间的动摩擦因数为，若用外力推动使其角速度达到0时，撤去外力，求（1）转动过程中，圆盘受到的摩擦力矩；（2）撤去外力后，圆盘还能转动多少时间？解：解：(1)在距中心r处取一宽度为dr的圆环，该圆环所受的摩擦力大小为d f g2rdr该摩擦力对中心轴的力矩为dM rd f g2r2dr所以M R02m2g2r2dr g2R3 mgR3R3图 4-62mgR03R0M4 3 g，t(2)
5、1J3R4gmR22角动量和角动量守恒定律4-7 水平桌面上放有一根长 l=1.0m，质量 m=3.0kg 的匀质细杆，可绕通过端点O 的垂直轴 OO转动，开始时杆静止。现有 100N 的力，以与杆成=30o的角打击杆的一端，打击时间t=0.02s，如图 4-7 所示。求（1）杆的角动量的变化；（2）杆转动时的角速度。解：解：(1)冲量矩为0.020Moodt 0.020lF sin30dt 11000.50.021kgm2/s由刚体定轴转动定律L J J0 J(2)M0toodt 1kgm/s2OOL13rad/sF12Jml3图 4-74-8 上题中细杆被一颗质量 m=20g 的子弹以30
6、的角射中中点，如图 4-8 所示。已知杆与桌面的动摩擦因数=0.20，子弹射入速度v=400m/s，并以 v/2 的速度射出。求：(1)细杆开始转动的角速度；（2）细杆转动时受到的摩擦力矩和角加速度各为多少？（3）细杆转过多大角度后停下来。解：解：(1)子弹射入前后系统对 O 点角动量守恒Olm11vlmvsin30 lmsin30 J222Olm11lmvlmvsin303mv30.02400483rad/s12J8ml811ml3(2)dm mv图 4-8mmdr，d f gdm，dM rd f rg dm grdrll1mgllM3g30.29.8m12 2.94rad/s2M grdr
7、 mgl，012J2l21l2ml314大学物理练习册刚体定轴转动dd(3)，dtd2320dd，222.941.53rad04-9 在半径为 R1、质量为m 的静止水平圆盘上，站一质量为m 的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心、半径为 R2（R2R1）的圆周，以相对于圆盘的速度为 v 匀速走动时，则圆盘将以多大的角速度旋转？解：解：设圆盘以角速度旋转，则人相对于地面的角速度为 vR2系统对圆盘中心轴的角动量守恒J J 0，R2v2R v1vmR12 mR22()0，222122R2R1 2R2R1 R222功和能4-10 如图 4-10 所示。滑轮的转动惯
8、量J0.5kg m2，半径 r30 cm，弹簧的劲度系数 k2.0 Nm，重物的质量 m=2.0 kg，开始时弹簧没有伸长。当此系统从静止开始启动，物体沿斜面滑下1.0m 时，求：（1）物体的速率多大？（2）物体滑下1.0m 过程中，作用在滑轮上的力矩所作的功。（不计斜面和转轴的摩擦）Jr解：解：(1)系统机械能守恒m1211vkx J2mv2 mgxsin30，k222r300v 2mgxsin30 kx2Jm 2r2219.80.5 2.0121.53m/s2 0.50.32图 4-1011111.532222(2)AJJ0J0.56.5J22220.324-11 长 l0.40 m 的均
9、匀木棒，质量 M1.0kg，可绕水平轴 O 在竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直悬垂。现有质量 m8g 的子弹，以 v200ms 的速率从 A 点射入棒中，假定 A 点与 O 点的距离为如图 4-11 所示。求：（1）棒开始运动时的角速度；（2）棒的最大偏转角。解：解：(1)子弹射入前后系统对 O 点的角动量守恒mv3l，431319l J，J Ml2 m(l)210.42 0.0080.42 0.054kgm2434316O33mvl0.0082000.4448.89rad/sJ0.054l1l3(2)设棒最大偏转角为，由机械能守恒，J2 Mg(1 cos)mgl(1cos)，42241J20.0548.8922(1 cos)1.0758l33Mg mgl19.80.4 0.0089.80.4242cos 0.075894.4 最大偏转角超过90153lA图 4-11