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1、 大学物理刚体的定轴转动习题及答案 2 作者：日期：个人收集整理 勿做商业用途 3 第 4 章 刚体的定轴转动 习题及答案 1 刚体绕一定轴作匀变速转动,刚体上任一点是否有切向加速度?是否有法向加速度？切向和法向加速度的大小是否随时间变化?答：当刚体作匀变速转动时,角加速度不变。刚体上任一点都作匀变速圆周运动，因此该点速率在均匀变化，vl，所以一定有切向加速度tal，其大小不变。又因该点速度的方向变化，所以一定有法向加速度2nal,由于角速度变化，所以法向加速度的大小也在变化。2 刚体绕定轴转动的转动定律和质点系的动量矩定理是什么关系？答:刚体是一个特殊的质点系,它应遵守质点系的动量矩定理，当
2、刚体绕定轴 Z 转动时,动量矩定理的形式为zzdLMdt,zM表示刚体对轴的合外力矩,zL表示刚体对 Z 轴的动量矩。2zi iLmlI,其中2i iIml,代表刚体对定轴的转动惯量,所以 zzdLddMIIIdtdtdt。既 zMI。所以刚体定轴转动的转动定律是质点系的动量矩定理在刚体绕定轴转动时的具体表现形式,及质点系的动量矩定理用于刚体时在刚体转轴方向的分量表达式。3两个半径一样的轮子，质量一样,但一个轮子的质量聚集在边缘附近，另一个轮子的质量分布比拟均匀,试问：(1)如果它们的角动量一样,哪个轮子转得快?(2)如果它们的角速度一样，哪个轮子的角动量大？答：(1)由于LI，而转动惯量与质
3、量分布有关,半径、质量均一样的轮子，质量聚集在边缘附近的轮子的转动惯量大,故角速度小,转得慢，质量分布比拟均匀的轮子转得快；2)如果它们的角速度一样，那么质量聚集在边缘附近的轮子角动量大。4一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动，有一玩具车相对台面由静止启动,绕轴作圆周运动，问平台如何运动?如小汽车突然刹车,此过程角动量是否守恒？动量是否守恒？能量是否守恒?答：玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动时,平台将沿相反方向转动；小汽车突然刹车过程满足角动量守恒，而能量和动量均不守恒。一转速为1200r min的飞轮,因制动而均匀地减速，经0 秒后停顿转动，求:（1）飞轮的角加速度和从开场制动到停顿转动
4、,飞轮所转过的圈数；（2）开场制动后 5 秒时飞轮的角速度。解:1由题意飞轮的初角速度为 0240()nrad s 飞轮作均减速转动，其角加速度为 200404/10rad st 故从开场制动到停顿转动,飞轮转过的角位移为 2012002ttrad 因此,飞轮转过圈数为 个人收集整理 勿做商业用途 4/210圈。(开场制动后秒时飞轮的角速度为 0404520()trad s .如下图,一飞轮由一直径为2()d m,厚度为()a m的圆盘和两个直径为1()d m，长为()L m的共轴圆柱体组成,设飞轮的密度为3(/)kg m,求飞轮对轴的转动惯量。解：如下图，根据转动惯量的可加性，飞轮对轴的转动
5、惯量可视为圆盘与两圆柱体对同轴的转动惯量之和。由此可得 122212122222112244212112()()2222112()()()()22222211()()162IIIddmmddddLaLdadkg m.如下图，一半径为 r,质量为 m1的匀质圆盘作为定滑轮,绕有轻绳，绳上挂一质量为 m的重物,求重物下落的加速度。解：设绳中张力为 T 对于重物按牛顿第二定律有 22m gTm a 1)对于滑轮按转动定律有 212Trmr (2 由角量线量关系有 ar 联立以上三式解得 a L d1 d2 个人收集整理 勿做商业用途 5 8.如下图，两个匀质圆盘同轴地焊在一起,它们的半径分别为 r1
6、、r2,质量为1m和2m,可绕过盘心且与盘面垂直的光滑水平轴转动，两轮上绕有轻绳，各挂有质量为3m和4m的重物，求轮的角加速度。解:设连接3m的绳子中的张力为 T，连接4m的绳子中的张力为 T2。对重物3m按牛顿第二定律有 3133m gTm a 1)对重物4m按牛顿第二定律有 2444Tm gm a (2)对两个园盘，作为一个整体,按转动定律有 1 1221 12 21122TrT rm rm r ()由角量线量之间的关系有 31ar (4 42ar (5)联立以上五式解得 3 14 222221 12 23 14 21122m rm rmrm rm rm r 9.如下图,一半径为R,质量为
7、m的匀质圆盘，以角速度绕其中心轴转动。现将它平放在一水平板上,盘与板外表的摩擦因数为。1求圆盘所受的摩擦力矩;2问经过多少时间后,圆盘转动才能停顿？解:分析：圆盘各局部的摩擦力的力臂不同，为此，可将圆盘分割成许多同心圆环，对环的摩擦力矩积分即可得总力矩。另由于摩擦力矩是恒力矩,由角动量定理可求得圆盘停顿前所经历的时间。1)圆盘上半径为、宽度为d的同心圆环所受的摩擦力矩为 222(2)2/mdMrdr g rrmgdr RR 负号表示摩擦力矩为阻力矩。对上式沿径向积分得圆盘所受的总摩擦力矩大小为 220223RrmgdrMdMdrmgRR r dF dr 个人收集整理 勿做商业用途 6 2)由于
8、摩擦力矩是一恒力矩，圆盘的转动惯量212Imr，由角动量定理可得圆盘停顿的时间为 034IRtMg 飞轮的质量m60kg,半径R=.25m，绕其水平中心轴O转动,转速为90revmin-1现利用一制动的闸杆,在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F,可使飞轮减速闸杆的尺寸如题4-0图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数,4.0=飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算试求:(1)设F=0 N，问可使飞轮在多长时间内停顿转动?在这段时间里飞轮转了几转？2)如果在2s内飞轮转速减少一半,需加多大的力F?解:(1先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b).图中N、N是正压力,rF、rF是摩擦力，xF和yF是杆在A点转轴处所受
9、支承力,R是轮的重力，P是轮在O轴处所受支承力.杆处于静止状态,所以对A点的合力矩应为零,设闸瓦厚度不计，那么有 FlllNlNllF1211210)(对飞轮,按转动定律有IRFr/,式中负号表示与角速度方向相反.NFr NN FlllNFr121 又 ,212mRI FmRlllIRFr121)(2 以N100F等代入上式,得 2srad34010050.025.060)75.050.0(40.02 由此可算出自施加制动闸开场到飞轮停顿转动的时间为 s06.74060329000t 个人收集整理 勿做商业用途 7 这段时间内飞轮的角位移为 rad21.53)49(34021496029002
10、1220tt 可知在这段时间里,飞轮转了1.53转.(210srad602900,要求飞轮转速在2ts内减少一半,可知 2000srad21522tt 用上面式1)所示的关系，可求出所需的制动力为 NllmRlF1772)75.050.0(40.021550.025.060)(2211 11.如下图，主动轮 A 半径为 r1,转动惯量为1I，绕定轴1O转动;从动轮 B 半径为 r2,转动惯量为2I，绕定轴2O转动;两轮之间无相对滑动。假设知主动轮受到的驱动力矩为 M，求两个轮的角加速度1和2。解：设两轮之间摩擦力为 f 对主动轮按转动定律有：111MfrI 1)对从动轮按转动定律有 222fr
11、I 2)由于两个轮边沿速率一样，有 1122rr ()联立以上三式解得 221221 22 1MrI rI r 1 21221 22 1MrrI rI r 12.固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO转动.设大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为M和m.绕在两柱体上的细绳分别与物体1m和2m相连,1m和2m那么挂在圆柱体的两侧，如题4-2(a)图所示 设R0.0,r=0.10m，m=4 g，M10 g，1m=2m=2 个人收集整理 勿做商业用途 8 k,且开场时1m，2m离地均为h=2m求:(1柱体转动时的角加速度；(2)两侧细绳的张力.解:设1a,2a和 分 别 为1m,
12、2m和 柱 体 的 加 速 度 及 角 加 速 度 方 向 题4-12(b)图(1)1m,2m和柱体的运动方程如下：2222amgmT 1111amTgm IrTRT21 式中 RaraTTTT122211,而 222121mrMRI 由上式求得 22222222121srad13.68.910.0220.0210.042120.0102121.022.0grmRmIrmRm 2由式 8.208.9213.610.02222gmrmTN 由式 1.1713.6.2.028.92111RmgmTN 个人收集整理 勿做商业用途 9 13 一质量为m、半径为的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上,可绕
13、轴自由转动.另一质量为0m的子弹以速度0v射入轮缘(如题3图所示方向).1开场时轮是静止的,在质点打入后的角速度为何值?(2)用m,0m和 表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比.解:(1)射入的过程对O轴的角动量守恒 2000)(sinRmmvmR Rmmvm)(sin000(2 020200200020sin21)(sin)(210mmmvmRmmvmRmmEEkk 14.如下图，长为的轻杆,两端各固定质量分别为m和2的小球,杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动,转轴距两端分别为13l和23l轻杆原来静止在竖直位置今有一质量为的小球,以水平速度0与杆下端小球m作对心碰撞,碰后以02
14、1的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度 解:碰撞过程满足角动量守恒：00212323mv lmvlI 而 222212()2()333Imlmlml 所以 2023mv lml 由此得到：032vl 15.如下图,A和两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 JA=10 g m2 和 JB=2 m2开场时,A轮转速为600 rev/i，B轮静止C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计.A、B分别与C的左、右两个组件相连，当的左右组件啮合时,B轮得到加速而A轮减速，直到两轮的转速相等为止设轴光滑，求:1)两轮啮合后的转速n；)两轮各自所受的冲量矩 解:(1 两轮啮合过程满足角动量守恒:
15、()AAABIII 所以 AAABIII 因为 2n 2m m O 021v0vl32 l31 A B C A 个人收集整理 勿做商业用途 10 故 10 600200/min1020AAABI nnrII )两轮各自所受的冲量矩:末角速度:2200202/603nrad s A轮各所受的冲量矩:202060040010(2)4.19 10()3603AALIIN m s B轮各所受的冲量矩：202040020(0)4.19 10()33BBLIIN m s 16.有一半径为R的均匀球体，绕通过其一直径的光滑固定轴匀速转动，转动周期为0T.如它的半径由R自动收缩为R21,求球体收缩后的转动周期
16、(球体对于通过直径的轴的转动惯量为J2R2/5，式中m和R分别为球体的质量和半径)解：1 球体收缩过程满足角动量守恒:0022II 2000202225421()52mRIImR 所以 0202244TT 17 一质量均匀分布的圆盘,质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上圆盘与水平面之间的摩擦系数为),圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动开场时,圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,求 (1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度 2)经过多少时间后,圆盘停顿转动 解:(1)子弹击中圆盘过程满足角动量守恒：2201()2mRvmRMR 所以 002211()22mRvmvmRMRmM R (圆盘受到的摩擦力矩为 0223RMrdrgrMRg m R O 0v 个人收集整理 勿做商业用途 11 由转动定律得 MI 2200001()(0)12()()32223mvmRMRmM RImvtMMgMRg