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1、四边形-平行四边形专题培优训练 一选择题（共6 小题）1（2011孝感）如图，在ABC 中，BD、CE 是ABC 的中线，BD 与 CE 相交于点 O，点 F、G 分别是 BO、CO 的中点，连接 AO若 AO=6cm，BC=8cm，则四边形 DEFG 的周长是（）A 14cm B 18cm C 24cm D 28cm 2（2011黔西南州）如图，在平行四边形 ABCD 中，过对角线 BD 上一点 P，作 EFBC，HGAB，若四边形 AEPH 和四边形 CFPG 的面积分另为 S1和 S2，则 S1与 S2的大小关系为（）A S1=S2 B S1S2 C S1S2 D 不能确定 3已知四边形
2、 ABCD 中，ABCD，AB=CD，周长为 40cm，两邻边的比是 3：2，则较大边的长度是（）A 8cm B 10cm C 12cm D 14cm 4下列说法中错误的是（）A 平行四边形的对角线互相平分 B 有两对邻角互补的四边形为平行四边形 C 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 5如图，ABC 中，ABC=BAC，D 是 AB 的中点，ECAB，DEBC，AC 与 DE 交于点 O下列结论中，不一定成立的是（）A AC=DE B AB=AC C AD=EC D OA=OE 6如图 ABFD，GEAC，EFDG，GFBC，点 O 为 D
3、F 与 GE 的交点，图中共有平行四边形（）A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 二填空题（共 6 小题）7 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2AD，A=60，E，F 分别是 AB，CD 的中点，且 EF=1cm，那么对角线 BD=_ cm 8如图，在四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 的中点，E，F 分别是 AB，CD 的中点，AD=BC，PEF=18，则PFE的度数是 _ 度 9如图所示，ABCD 中，点 E 在边 AD 上，以 BE 为折痕，将ABE 向上翻折，点 A 正好落在 CD 上的点 F，若FDE的周长为 8，FCB 的周长为 22，则 FC 的长为 _
4、10（2011黔西南州）如图，小红作出了边长为 1 的第 1 个正三角形A1B1C1，算出了正A1B1C1的面积，然后分别取A1B1C1三边的中点 A2B2C2，作出了第二个正三角形A2B2C2，算出第 2 个正A2B2C2的面积，用同样的方法作出了第 3 个正A3B3C3，算出第 3 个正A3B3C3的面积，依此方法作下去，由此可得第 n 次作出的正AnBnCn的面积是 _ 11在梯形 ABCD 中，ABCD，M，N 分别为上底 CD，下底 AB 的中点，则 MN _（AD+BC）（填“”“”“=”）12（2011黑龙江）如图，四边形 ABCD 中，对角线 ACBD，且 AC=8，BD=4，
5、各边中点分别为 A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形 A1B1C1D1，再取各边中点 A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形 A2B2C2D2，依此类推，这样得到四边形 AnBnCnDn，则四边形 AnBnCnDn的面积为 _ 三解答题（共 16 小题）13如图所示D，E 分别在 AB，AC 上，BD=CE，BE，CD 的中点分别是 M，N，直线 MN 分别交 AB，AC 于 P，Q求证：AP=AQ 14如图：AD 是ABC 的高，M、N、E 分别是 AB、AC、BC 边上的中点（1）求证：ME=DN；（2）若 BC=AD=12，AC=13，求四边形 DEMN 的面积 15如图，已知
6、：四边形 ABCD 中，AD=BC，E、F 分别是 DC、AB 的中点，直线 EF 分别与 BC、AD 的延长线相交于 G、H求证：AHF=BGF 16（2011厦门）如图，在四边形 ABCD 中，BAC=ACD=90，B=D（1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形；（2）若 AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点 P 从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿 BCCDDA 运动至 A 点停止，则从运动开始经过多少时间，BEP 为等腰三角形 17已知：如图，D，E，F 分别是ABC 各边上的点，且 DEAC，DFAB延长 FD 至点 G，使 DG=FD，连接 AG 求证：ED 和 AG
7、互相平分 18如图 1，已知在ABC 中，AB=AC，点 P 为底边 BC 上（端点 B、C 除外）的任意一点，且 PEAC，PFAB（1）试问线段 PE、PF、AB 之间有什么数量关系，并说明理由；（2）如图 2，将“点 P 为底边 BC 上任意一点”改为“点 P 为底边 BC 延长线上任意一点”，其它条件不变，上述结论还成立吗如果不成立，你能得出什么结论请说明你的理由 19如图，ABC 中，AD 为中线，E 为边 BC 上一点，过 E 作 EFAB 交 AC 于 F，交 AD 于 M，EGAC 交 AB 于 G（1）如图 1，若 E 与 D 重合，写出图中所有与 FG 相等的线段，并选取一
8、条给出证明（2）如图纸，若 E 与 D 不重合，在（1）中与 FG 相等的线段中找出一条仍然与 FG 相等的线段，并给出证明（3）如图 3，若 E 在 BC 的延长线上，其它条件不变，作出图形（不写作法），FG=_ 20在ABC 中，AB=AC，点 P 为ABC 所在平面内的一点，过点 P 分别作 PEAC 交 AB 于点 E，PFAB 交 BC 于点 D，交 AC 于点 F（1）如图 1，若点 P 在 BC 边上，此时 PD=0，猜想并写出 PD、PE、PF 与 AB 满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）如图 2，当点 P 在ABC 内，猜想并写出 PD、PE、PF 与 AB 满足的数量
9、关系，然后证明你的猜想；（3）如图 3，当点 P 在ABC 外，猜想并写出 PD、PE、PF 与 AB 满足的数量关系（不用说明理由）21平行四边形 ABCD 中，AB=2cm，BC=12cm，B=45，点 P 在边 BC 上，由点 B 向点 C 运动，速度为每秒 2cm，点Q 在边 AD 上，由点 D 向点 A 运动，速度为每秒 1cm，连接 PQ，设运动时间为 t 秒（1）当 t 为何值时，四边形 ABPQ 为平行四边形；（2）设四边形 ABPQ 的面积为 ycm2，请用含有 t 的代数式表示 y 的值；（3）当 P 运动至何处时，四边形 ABPQ 的面积是ABCD 面积的四分之三 22如
10、图 a、b 在平行四边形 ABCD 中，BAD，ABC 的平分线 AF，BG 分别与线段 CD 两侧的延长线（或线段 CD）相交于点 F，G，AF 与 BG 相交于点 E（1）在图 a 中，求证：AFBG，DF=CG；（2）在图 b 中，仍有（1）中的 AFBG，DF=CG 成立请解答下面问题：若 AB=10，AD=6，BG=4，求 FG 和 AF 的长；是否能给平行四边形 ABCD 的边和角各添加一个条件，使得点 E 恰好落在 CD 边上且ABE 为等腰三角形若能，请写出所给条件；若不能，请说明理由 23如图（1），BD、CE 分别是ABC 的外角平分线，过点 A 作 AFBD，AGCE，垂
11、足分别为 F、G，连接 FG，延长AF、AG，与直线 BC 相交于 M、N（1）试说明：FG=（AB+BC+AC）；（2）如图（2），BD、CE 分别是ABC 的内角平分线；如图（3），BD 为ABC 的内角平分线，CE 为ABC 的外角平分线 则在图（2）、图（3）两种情况下，线段 FG 与ABC 三边又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由 24小杰遇到这样一个问题：如图 1，在ABCD 中，AEBC 于点 E，AFCD 于点 F，连接 EF，AEF 的三条高线交于点 H，如果 AC=4，EF=3，求 AH 的长 小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已
12、知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中 他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将AEH 平移至GCF 的位置（如图 2），可以解决这个问题 请你参考小杰同学的思路回答：（1）图 2 中 AH 的长等于 _ （2）如果 AC=a，EF=b，那么 AH 的长等于 _ 25已知在ABCD 中，AEBC 于 E，DF 平分ADC 交线段 AE 于 F（1）如图 1，若 AE=AD，ADC=60，请直接写出线段 CD 与 AF+BE 之间所满足等量关系；（2）如图 2，若 AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立，若成立，对你的结论加以证明，若不成立，请说明理由；（3）如图 3，若
13、AE：AD=a：b，试探究线段 CD、AF、BE 之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论 26（2011北京）在ABCD 中，BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F（1）在图 1 中证明 CE=CF；（2）若ABC=90，G 是 EF 的中点（如图 2），直接写出BDG 的度数；（3）若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连接 DB、DG（如图 3），求BDG 的度数 27（2011北京）如图，在ABC 中，ACB=90，D 是 BC 的中点，DEBC，CEAD，若 AC=2，CE=4，求四边形ACEB 的周长 28已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，A
14、D=24cm，BC=30cm，点 P 自点 A 向 D 以 1cm/s 的速度运动，到 D 点即停止点 Q 自点 C 向 B 以 2cm/s 的速度运动，到 B 点即停止，直线 PQ 截梯形为两个四边形问当 P，Q 同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形 参考答案与试题解析 一选择题（共 6 小题）1（2011孝感）如图，在ABC 中，BD、CE 是ABC 的中线，BD 与 CE 相交于点 O，点 F、G 分别是 BO、CO 的中点，连接 AO若 AO=6cm，BC=8cm，则四边形 DEFG 的周长是（）A 14cm B 18cm C 24cm D 28cm 考点：平行四边形的判定与性质
15、；三角形的重心；三角形中位线定理 专题：计算题 分析：主要考查平行四边形的判定以及三角形中位线的运用，由中位线定理，可得 EFAO，FGBC，且都等于边长 BC 的一半分析到此，此题便可解答 解答：解：BD，CE 是ABC 的中线，EDBC 且 ED=BC，F 是 BO 的中点，G 是 CO 的中点，FGBC 且 FG=BC，ED=FG=BC=4cm，同理 GD=EF=AO=3cm，四边形 EFDG 的周长为 3+4+3+4=14（cm）故选 A 点评：本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据 2（2011黔西南州）如图，在平行四
16、边形 ABCD 中，过对角线 BD 上一点 P，作 EFBC，HGAB，若四边形 AEPH 和四边形 CFPG 的面积分另为 S1和 S2，则 S1与 S2的大小关系为（）A S1=S2 B S1S2 C S1S2 D 不能确定 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 分析：根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形 GBEP、HPFD，证ABDCDB，得出ABD 和CDB 的面积相等；同理得出BEP 和PGB 的面积相等，HPD 和FDP 的面积相等，相减即可求出答案 解答：解：四边形 ABCD 是平行四边形，EFBC，HGAB，AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC
17、，四边形 GBEP、HPFD 是平行四边形，在ABD 和CDB 中，ABDCDB，即ABD 和CDB 的面积相等；同理BEP 和PGB 的面积相等，HPD 和FDP 的面积相等，四边形 AEPH 和四边形 CFPG 的面积相等，即 S1=S2 故选 A 点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出ABD 和CDB的面积相等，BEP 和PGB 的面积相等，HPD 和FDP 的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等 3已知四边形 ABCD 中，ABCD，AB=CD，周长为 40cm，两邻边的比是 3：2，则较大边的长度是（）A 8c
18、m B 10cm C 12cm D 14cm 考点：平行四边形的判定与性质；解一元一次方程 专题：计算题 分析：由 ABCD，AB=CD 得到平行四边形 ABCD，根据平行四边形的性质推出 AD=BC，设平行四边形 ABCD 的两邻边是 3x，2x，得到方程 2（3x+2x）=40，解方程求出 x，即可求出最大边 解答：解：ABCD，AB=CD，四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC，设平行四边形 ABCD 的两邻边是 3x，2x，平行四边形 ABCD 的周长是 40，2（3x+2x）=40，解得：x=4，较大边的长度是 34=12 故选 C 点评：本题主要考查了平行四边形的性质，解一元一
19、次方程等知识点，解此题的关键是根据题意列出方程 4下列说法中错误的是（）A 平行四边形的对角线互相平分 B 有两对邻角互补的四边形为平行四边形 C 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 考点：平行四边形的判定与性质；平行线的性质 专题：推理填空题 分析：根据平行四边形的性质即可判断 A；根据图形和已知不能推出另一组对边也平行，即可判断 B；根据平行四边形的判定判断即可；根据平行线性质和已知推出 ADBC，根据平行四边形的判定判断即可 解答：解：A、根据平行四边形性质得出平行四边形的对角线互相平分，故本选项错误；B、A+D=180，同时B+C=1
20、80，只能推出 ABCD，不一定是平行四边形，故本选项正确；C、AC 于 BD 交于 O，OA=OC，OB=OD，四边形 ABCD 是平行四边形，故本选项错误；D、ABCD，B+C=180，B=D，C+D=180，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形，故本选项错误；故选 B 点评：本题考查了对平行线的性质和平行四边形的性质和判定的应用，能理解性质并应用性质进行说理是解此题的关键，题目较好，但是一道比较容易出错的题目 5如图，ABC 中，ABC=BAC，D 是 AB 的中点，ECAB，DEBC，AC 与 DE 交于点 O下列结论中，不一定成立的是（）A AC=DE B AB=AC C AD=
21、EC D OA=OE 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 分析：由已知可得四边形 BDEC 是平行四边形，则 BD=CE，B=E，又因为ABC=BAC，D 是 AB 的中点可证AODEOC，还可证明 BC=AC，OA=OD，OE=OC，AC=DE，AD=EC，OA=OE 解答：解：ECAB，DEBC，四边形 BDEC 是平行四边形，BD=CE，B=E，又ABC=BAC，CEO=DAO，又 D 是 AB 的中点，AD=BD，AD=CE，AODEOC，AD=CE，OA=OE，BC=DE，BC=AC，AC=DE 而 AB=AC 无法证得 故选 B 点评：此题综合性比较强，考查了平行
22、四边形的性质和判定，还综合利用了全等三角形的判定，等角对等边 6如图 ABFD，GEAC，EFDG，GFBC，点 O 为 DF 与 GE 的交点，图中共有平行四边形（）A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 考点：平行四边形的判定 分析：此题意在考查平行四边形的判定，根据题中给出的条件，依据两条对边分别平行的四边形为平行四边形，则不难求解 解答：解：因为 ABFD，GEAC，EFDG，GFBC，所以 GFBD，GFEC，EFDG，AGOF 均为平行四边形，所以，共有四个平行四边形 故选 B 点评：本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定定理是解题的关键 二填空题（
23、共 6 小题）7如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2AD，A=60，E，F 分别是 AB，CD 的中点，且 EF=1cm，那么对角线 BD=cm 考点：平行四边形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理 分析：过 D 作 DMAB 于 M，得出平行四边形 AEFD，求出 AD=EF=1cm，求出ADM，求出 AM，DM，求出 AB，求出 BM，根据勾股定理求出 BD 即可 解答：解：过 D 作 DMAB 于 M，则DMA=90，A=60，ADM=30，AD=2AM，四边形 ABCD 是平行四边形，DC=AB，DCAB，F 为 DC 中点，E 为 AB 中点，DF=AE，DFAE
24、，四边形 AEFD 是平行四边形，AD=EF=1cm，AM=cm，AB=2AD，AB=2cm，BM=2cm cm=cm，在 RtADM 中，由勾股定理得：DM=cm，在 RtBDM 中，由勾股定理得：BD=（cm），故答案为：点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，含 30 度角的直角三角形等知识点，关键是构造直角三角形，题目比较好，但是有一定的难度 8如图，在四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 的中点，E，F 分别是 AB，CD 的中点，AD=BC，PEF=18，则PFE的度数是 18 度 考点：三角形中位线定理 分析：根据中位线定理和已知，易证明EPF 是等腰三角形 解答：
25、解：在四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 的中点，E，F 分别是 AB，CD 的中点，FP，PE 分别是CDB 与DAB 的中位线，PF=BC，PE=AD，AD=BC，PF=PE，故EPF 是等腰三角形 PEF=18，PEF=PFE=18 故答案为 18 点评：本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识 9如图所示，ABCD 中，点 E 在边 AD 上，以 BE 为折痕，将ABE 向上翻折，点 A 正好落在 CD 上的点 F，若FDE的周长为 8，FCB 的周长为 22，则 FC 的长为 7 考点：翻折变换（折叠问题）分析：由平行四边形可得对边
26、相等，由折叠，可得 AE=EF，AB=BF，结合两个三角形的周长，通过列方程可求得 FC的长，本题可解 解答：解：设 DF=x，FC=y，ABCD，AD=BC，CD=AB，BE 为折痕，AE=EF，AB=BF，FDE 的周长为 8，FCB 的周长为 22，BC=AD=8x，AB=CD=x+y，y+x+y+8x=22，解得 y=7 故答案为 7 点评：本题考查了平行四边形的性质及图形的翻折问题；解决翻折问题的关键是找着相等的边，利用等量关系列出方程求得答案 10（2011黔西南州）如图，小红作出了边长为 1 的第 1 个正三角形A1B1C1，算出了正A1B1C1的面积，然后分别取A1B1C1三边
27、的中点 A2B2C2，作出了第二个正三角形A2B2C2，算出第 2 个正A2B2C2的面积，用同样的方法作出了第 3 个正A3B3C3，算出第 3 个正A3B3C3的面积，依此方法作下去，由此可得第 n 次作出的正AnBnCn的面积是 考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质 专题：计算题；规律型 分析：过 A1作 A1DB1C1于 D，求出高 A1D，求出A1B1C1的面积，根据三角形的中位线求出 B2C2=B1C1，A2B2=A1B1，A2C2=A1C1，推出A2B2C2A1B1C1，得出=同理A3B3C3A2B2C2，推出=得出规律=，代入求出即可 解答：解：过
28、A1作 A1DB1C1于 D，等边三角形 A1B1C1，B1D=，由勾股定理得：A1D=，A1B1C1的面积是 1=，C2、B2、A2分别是 A1B1、A1C1、B1C1的中点，B2C2=B1C1，A2B2=A1B1，A2C2=A1C1，即=，A2B2C2A1B1C1，且面积比是 1：4，=同理A3B3C3A2B2C2，且面积比是 1：4，=故答案为：点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形，三角形的中位线的应用，解此题的关键是根据求出结果得出规律=，题目比较典型，但有一定的难度 11 在梯形 ABCD 中，ABCD，M，N 分别为上底 CD，下底 AB 的中点，则 MN （AD+B
29、C）（填“”“”“=”）考点：三角形中位线定理；三角形三边关系；梯形 分析：由中点，联想到构建中位线，利用三角形的两边之和大于第三边即可得出结论 解答：解：如图，连接 BD，作 BD 的中点，连接 ME、NE，则可以知道 ME、NE 分别为中位线，ME=BC、NE=AD，ME+NE=（AD+BC），MNME+NE，MN（AD+BC）故答案为：点评：本题考查了梯形的性质比较线段的长度可以通过构造三角形，利用三角形的性质求解 12（2011黑龙江）如图，四边形 ABCD 中，对角线 ACBD，且 AC=8，BD=4，各边中点分别为 A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形 A1B1C1D1，再取
30、各边中点 A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形 A2B2C2D2，依此类推，这样得到四边形 AnBnCnDn，则四边形 AnBnCnDn的面积为（或或，只要答案正确即可）考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质 专题：规律型 分析：根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16；根据三角形的中位线定理，得A1B1AC，A1B1=AC，则BA1B1BAC，得BA1B1和BAC 的面积比是相似比的平方，即，因此四边形 A1B1C1D1的面积是四边形 ABCD 的面积的，即 a2；推而广之，则 AC=8，BD=4，四边形 AnBnCnDn的面积=解答：解：四边形 A
31、1B1C1D1的四个顶点 A1、B1、C1、D1分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，A1B1AC，A1B1=AC BA1B1BAC BA1B1和BAC 的面积比是相似比的平方，即 又四边形 ABCD 的对角线 AC=8，BD=4，ACBD，四边形 ABCD 的面积是 16 推而广之，则 AC=8，BD=4，四边形 AnBnCnDn的面积=故答案为（或或，只要答案正确即可）点评：此题综合运用了三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质注意：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半 三解答题（共 16 小题）13如图所示D，E 分别在 AB，AC 上，BD=CE，BE，CD 的中点分别
32、是 M，N，直线 MN 分别交 AB，AC 于 P，Q求证：AP=AQ 考点：三角形中位线定理 专题：证明题 分析：根据中位线定理证明 MH=NH，进而证明HMN=HNM，HMN=PQA，所以APQ 为等腰三角形，即 AP=AQ 解答：证明：找到 BC 的中点 H，连接 MH，NH如图：M，H 为 BE，BC 的中点，MHEC，且 MH=EC N，H 为 CD，BC 的中点，NHBD，且 NH=BD BD=CE，MH=NHHMN=HNM；MHEC，HMN=PQA，同理HNM=QPA APQ 为等腰三角形，AP=AQ 点评：考查中位线定理在三角形中的应用，考查平行线对角相等，考查等腰三角形的判定
33、 14如图：AD 是ABC 的高，M、N、E 分别是 AB、AC、BC 边上的中点（1）求证：ME=DN；（2）若 BC=AD=12，AC=13，求四边形 DEMN 的面积 考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线 分析：（1）根据中位线的性质得到四边形 MNED 是梯形又因为 ADBC，所以 MN=BC 即 ME=DN，那么推出四边形EMND 为等腰梯形（2）利用四边形 MECN 为平行四边形，可以得到 EC=MN=6，利用勾股定理可以求得 DC=5，即可得到 ED=65=1，然后利用梯形的面积计算梯形的面积即可 解答：解：（1）证明：M、E、N 分别是 AB、BC、AC 的中点 根据
34、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，得 ND=AC，根据三角形中位线定理，得 NM=BC MNBC，EMAC，四边形 MECN 为平行四边形，EM=NC 又DEEC，EDMN 四边形 MEDN 是梯形（3 分）又ADBC，DG=AC EM=DN （2）AD=12，AC=13，CD=5，四边形 MECN 为平行四边形，EC=MN=6，ED=65=1，四边形 DEMN 的面积=21 点评：此题主要考查了学生对等腰梯形的判定及中位线的性质的掌握情况 15如图，已知：四边形 ABCD 中，AD=BC，E、F 分别是 DC、AB 的中点，直线 EF 分别与 BC、AD 的延长线相交于 G、H求证：AHF
35、=BGF 考点：三角形中位线定理；平移的性质 专题：常规题型 分析：根据中位线定理证明 MFBC，且 MF=BC，根据 AD=BC 证明 EM=MF，MEF=MFE，根据平行线同位角相等，证明MEF=AHF，MFE=BGF可以求证AHF=BGF 解答：证明：连接 AC，作 EMAD 交 AC 于 M，连接 MF如下图：E 是 CD 的中点，且 EMAD，EM=AD，M 是 AC 的中点，又因为 F 是 AB 的中点 MFBC，且 MF=BC AD=BC，EM=MF，三角形 MEF 为等腰三角形，即MEF=MFE EMAH，MEF=AHF FMBG，MFE=BGF AHF=BGF 点评：考查平行
36、线对角相等，同位角相等，中位线平行且等于 对应边，等腰三角形底角相等 16（2011厦门）如图，在四边形 ABCD 中，BAC=ACD=90，B=D（1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形；（2）若 AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点 P 从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿 BCCDDA 运动至 A 点停止，则从运动开始经过多少时间，BEP 为等腰三角形 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质 专题：几何综合题 分析：（1）根据全等三角形判定证ABCCDA 即可；（2）求出 AC，当 P 在 BC 上时，BP=E
37、B=2，BP=PE，作 PMAB 于 M，根据 cosB 求出 BP，BE=PE=2cm，作 ENBC 于 N，根据 cosB 求出 BN；当 P 在 CD 上不能得出等腰三角形；当 P 在 AD 上时，过 P 作 PNBA 于N，证QAPABC，推出 PQ：AQ：AP=4：3：5，设 PQ=4xcm，AQ=3xcm，在EPN 中，由勾股定理得出方程（3x+1）2+（4x）2=22，求出方程的解即可 解答：（1）证明：在ABC 和CDA 中 ABCCDA，AD=BC，AB=CD，四边形 ABCD 是平行四边形 （2）解：BAC=90，BC=5cm，AB=3cm，由勾股定理得：AC=4cm，即
38、AB、CD 间的最短距离是 4cm，AB=3cm，AE=AB，AE=1cm，BE=2cm，设经过 ts 时，BEP 是等腰三角形，当 P 在 BC 上时，BP=EB=2cm，t=2 时，BEP 是等腰三角形；BP=PE，作 PMAB 于 M，BM=ME=BE=1cm cosABC=，BP=cm，t=时，BEP 是等腰三角形；BE=PE=2cm，作 ENBC 于 N，则 BP=2BN，cosB=，=，BN=cm，BP=，t=时，BEP 是等腰三角形；当 P 在 CD 上不能得出等腰三角形，AB、CD 间的最短距离是 4cm，CAAB，CA=4cm，当 P 在 AD 上时，只能 BE=EP=2cm
39、，过 P 作 PQBA 于 Q，平行四边形 ABCD，ADBC，QAD=ABC，BAC=Q=90，QAPABC，PQ：AQ：AP=4：3：5，设 PQ=4xcm，AQ=3xcm，在EPQ 中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，x=，AP=5x=cm，t=5+5+3=，答：从运动开始经过 2s 或 s 或s 或s 时，BEP 为等腰三角形 点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键 17已知：如图，D，E，F 分别是ABC 各边上的点，且
40、DEAC，DFAB延长 FD 至点 G，使 DG=FD，连接 AG 求证：ED 和 AG 互相平分 考点：平行四边形的判定与性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：根据平行四边形的判定得出平行四边形 AEDF，推出 AE=DF=DG，根据平行线的性质推出G=EAO，AEO=GDO，根据 ASA 证AEOGDO 即可 解答：证明：DEAC，DFAB，四边形 AEDF 是平行四边形，AE=DF，DG=FD，AE=DG，DFAB，G=EAG，GDE=AED，在AEO 和GDO 中，AEOGDO，OE=0D，OA=OG，即 ED 和 AG 互相平分 点评：本题考查了平行四边形的
41、性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的运用，关键是求出 OA=OG，OE=OD，题目较好，难度不大，证明方法不止一个：也可证四边形 AEGD 是平行四边形 18如图 1，已知在ABC 中，AB=AC，点 P 为底边 BC 上（端点 B、C 除外）的任意一点，且 PEAC，PFAB（1）试问线段 PE、PF、AB 之间有什么数量关系，并说明理由；（2）如图 2，将“点 P 为底边 BC 上任意一点”改为“点 P 为底边 BC 延长线上任意一点”，其它条件不变，上述结论还成立吗如果不成立，你能得出什么结论请说明你的理由 考点：平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质 专题：证明
42、题 分析：（1）推出平行四边形 PEAF，推出 PF=AE，EPB=C，根据等腰三角形的判定和性质推出 PE=BE 即可；（2）推出平行四边形 PEAF，推出 PE=AF，FPB=FCP，根据等腰三角形的判定和性质推出 PF=FC 即可，解答：（1）结论是 PE+PF=AB，理由是：PEAC，PFAB，四边形 PEAF 是平行四边形，PF=AE，EPB=C，AC=AB，B=C，EPB=B，PE=BE，BE+AE=AB，PE+PF=AB （2）结论是 PEPF=AB，理由是：PEAC，PFAB，四边形 PEAF 是平行四边形，PE=AF，FPC=ACB=FCP，PF=FC，PEPF=AC=AB，
43、即 PEPF=AB 点评：本题考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质和判定，证此题的关键是证 PE=BE 和 PF=FC，两小题证明过程类似，题型较好，难度适中 19如图，ABC 中，AD 为中线，E 为边 BC 上一点，过 E 作 EFAB 交 AC 于 F，交 AD 于 M，EGAC 交 AB 于 G（1）如图 1，若 E 与 D 重合，写出图中所有与 FG 相等的线段，并选取一条给出证明（2）如图纸，若 E 与 D 不重合，在（1）中与 FG 相等的线段中找出一条仍然与 FG 相等的线段，并给出证明（3）如图 3，若 E 在 BC 的延长线上，其它条件不变，作出图形（不写作法），
44、FG=BM 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例 专题：证明题 分析：（1）BD=DC=FG，根据平行线分线段成比例定理推出 AF=CF，BG=AG，根据三角形的中位线求出即可；（2）延长 AD 至 A，使 DA=AD，连接 CA，推出平行四边形 GEFA，得出 FMAC，得出、比例式，求出 BG=FM，BGFM，得出平行四边形 BGFM 即可；（3）延长 AD 至 A，使 DA=AD，连接 CA，推出平行四边形 GEFA，得出 FMAC，得出、比例式，求出 BG=FM，BGFM，得出平行四边形 BGFM 即可 解答：解：（1）BD=DC=FG，证明：EFA
45、B，BD=DC，AF=CF，同理 BG=AG，FG=BC=BD=DC，即 BD=FG （2）BM=FG，理由是：延长 AD 至 A，使 DA=AD，连接 CA，则ABDACD，AC=AB，ACAB，FMAB，GEAC，四边形 GEFA 为平行四边形，FMAC，=，FM=BG，FMBG，BMFG 是平行四边形，BM=FG （3）BM=FG，理由是：延长 AD 至 A，使 DA=AD，连接 CA，ABDACD，AC=AB，ACAB，FMAB，GEAC，四边形 GEFA 为平行四边形，FMAC，GE=AF，=，FM=BG，FMBG，BMFG 是平行四边形，BM=FG 故答案为：BM 点评：本题综合考
46、查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，平行线分线段成比例定理等知识点，此题难度较大，对学生有较高要求，但出现了类比推理的思想 20在ABC 中，AB=AC，点 P 为ABC 所在平面内的一点，过点 P 分别作 PEAC 交 AB 于点 E，PFAB 交 BC 于点 D，交 AC 于点 F（1）如图 1，若点 P 在 BC 边上，此时 PD=0，猜想并写出 PD、PE、PF 与 AB 满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）如图 2，当点 P 在ABC 内，猜想并写出 PD、PE、PF 与 AB 满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）如图 3，当点 P 在ABC 外，猜想并写出
47、PD、PE、PF 与 AB 满足的数量关系（不用说明理由）考点：平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质 专题：证明题 分析：（1）证平行四边形 PEAF，推出 PE=AF，PF=AE，根据等腰三角形性质推出B=C=EPB，推出 PE=BE 即可；（2）过点 P 作 MNBC 分别交 AB、AC 于 M、N 两点，推出 PE+PF=AM，再推出 MB=PD 即可；（3）过点 P 作 MNBC 分别交 AB、AC 于 M、N 两点，推出 PE+PF=AM，再推出 MB=PD 即可 解答：解：（1）结论是 PD+PE+PF=AB，证明：PEAC，PFAB，四边形 PEAF 是平行四边形，PF=AE
48、，AB=AC，B=C，PEAC，EPB=C，B=EPB，PE=BE，AE+BE=AB，PE+PF=AB，PD=0，PD+PE+PF=AB （2）结论是 PD+PE+PF=AB，证明：过点 P 作 MNBC 分别交 AB、AC 于 M、N 两点，由（1）得：PE+PF=AM，四边形 BDPM 是平行四边形，MB=PD，PD+PE+PF=AM+MB=AB（3）结论是 PE+PFPD=AB 点评：本题综合考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质等知识点，关键是熟练地运用性质进行推理和证明，题目含有一定的规律性，难度不大，但题型较好 21平行四边形 ABCD 中，AB=2cm，BC=12cm，B
49、=45，点 P 在边 BC 上，由点 B 向点 C 运动，速度为每秒 2cm，点Q 在边 AD 上，由点 D 向点 A 运动，速度为每秒 1cm，连接 PQ，设运动时间为 t 秒（1）当 t 为何值时，四边形 ABPQ 为平行四边形；（2）设四边形 ABPQ 的面积为 ycm2，请用含有 t 的代数式表示 y 的值；（3）当 P 运动至何处时，四边形 ABPQ 的面积是ABCD 面积的四分之三 考点：平行四边形的性质 专题：动点型 分析：（1）因为在平行四边形 ABCD 中，AQBP，只要再证明 AQ=BP 即可，即点 P 所走的路程等于 Q 点在边 AD 上未走的路程（2）因为四边形 ABP
50、Q 是梯形，梯形的面积公式（上底+下底）高2，AQ 和 BP 都能用含有 t 的字母表示出来，缺少高，过 A 点作 BC 边上的高，再利用等腰直角三角形的性质和已知条件求出高线即可（3）因为平行四边形 ABCD 的面积可求，利用（2）中的关系式列方程即可 解答：解：（1）由已知可得：BP=2t，DQ=t，AQ=12t 四边形 ABPQ 为平行四边形，12t=2t，t=4，t=4 秒时，四边形 ABPQ 为平行四边形；（2）过 A 作 AEBC 于 E，在 RtABE 中，AEB=90，AB=2，B=45 AE=AB=SABPQ=（BP+AQ）AE=（12+t），即 y=（12+t）；（3）有（