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1、 中考数学专题复习 相似图形 【基础知识回顾】一、成比例线段：1、线段的比：如果选用同一长 度的 两条线段，的长度分别为 m、n 则这两条线 AB 段的比就是它们 的比，即：=CD a 2、比例线段：四条线段 a、b、c、d 如果b=那么四条线段叫做同比例线段，简称 a c 3、比例的基本性质：b=d 4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线 【提醒：表示两条线段的比时，必须使示用相同的 ，在用了相同的前提下，两条线 段的比值与用的单位无关 即比值没有单位。】二、相似三角形：1、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似 2、性质：相似三角形的对应角 对应边 相似三角
2、形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于 相似三角形周长的比等于面积的比等于 1、判定：基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似 两边对应且夹角的两三角形相似 两角的两三角形相似 三组对应边的比的两三角形相似 【名师提醒：1、全等是相似比为的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要 先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点 三 角形中】三、相似多边形：1、定义：各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形 2、性质：相似多边形对应角对应边 相似多边形周长的比等于面积的比等于 【名师提醒：相似多边形没
3、有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用 定义进行判定】一、位似：1、定义：如果两个图形不仅是 个图形叫做位似图形，这个点叫做 而且每组对应点所在直线都经过 这时相似比又称为 那么这样的两 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【名师提醒：1、位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或 2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位 r，那么 位似图形对应点的坐标的比等于【典型例题解析】考点一：比例线段 或】例 1 如图，已知ABC，AB=AC=1，A=36，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，则 AD 的长是，c
4、osA 的值是（结果保留根号）考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 分析：可以证明 ABC BDC，设 AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出 方程，求得 x 的值；过点 D 作 DE AB 于点 E，则 E 为 AB 中点，由余弦定义可求出 cosA 的值 点评：ABC、BCD 均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求 cosA 时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解 对应训练 2如图，在 ABC 中，AB=AC，A=36，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D，若 AC=2，则 AD 的长是（）5 1 5 1 51D51
5、A B C 2 2 考点二：相似三角形的性质及其应用 例 2 已知 ABC DEF，ABC 的周长为 3，DEF 的周长为 1，则 ABC 与 DEF 的 面积之比为 对应训练 2已知 ABC A B，C 相似比为 3：4，ABC 的周长为 6，则 A B的 C 周长为 考点三：相似三角形的判定方法及其应用 例 3 如图，在正方形 ABCD 中，E是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FC=1 BC图中相 4 似三角形共有（）A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 考点：相似三角形的判定；正方形的性质 例 4（1）如图（1），正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上，
6、直接写出HD：GC：EB 的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图（2），求 HD：GC：EB；考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质 对应训练 3.如图，ABC ADE 且 ABC=ADE，ACB=AED，BC、DE 交于点 O则下列四个结论中，1=2；BC=DE；ABD ACE；A、O、C、E 四点在同一个圆 上，一定成立的有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 考点：相似三角形的判定；全等三角形的性质；圆周角定理 4.在锐角 ABC 中，AB=4，BC=5，ACB=45，将 A
7、BC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到 A 1BC 1 （1）如图 1，当点 C1在线段 CA 的延长线上时，求 CC1A 1的度数；（2）如图 2，连接 AA 1，CC1若 ABA 1的面积为 4，求 CBC 1的面积；（3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 ；旋转的性质 专题：几何综合题 分析：（1）由由旋转的性质可得：A 1C1B=ACB=45，BC=BC 1，又由等腰三角形的性质，即可求得
8、 CC1A 1的度数；（2）由 ABC A 1BC 1，易证得 ABA 1 CBC 1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得 CBC1的面积；（3）由当 P 在 AC 上运动至垂足点 D，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 上时，EP1最小，当 P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 的延长线上时，EP1最大，即可求得线段 EP1长度的最大值与最小值解答：解：（1）由旋转的性质可得：A 1C1B=ACB=45，BC=BC 1，CC1B=C1CB=45，.（2 分）CC1A 1=CC1B+A 1C1B=
9、45+45=90 （2）ABC A 1BC 1，BA=BA 1，BC=BC 1，ABC=A 1BC 1，BABA1，ABC+ABC1=A1BC1+ABC1，BC BC1 ABA 1=CBC 1，ABA 1 CBC 1 S ABA1 AB)2 4)2 16，(SCBC1 BC 5 25 SABA1=4，SCBC1=25；4 （3）如图 1，过点 B 作 BD AC，D 为垂足，ABC 为锐角三角形，点 D 在线段 AC 上，在 Rt BCD 中，BD=BC sin45=5 2，2 当 P 在 AC 上运动与 AB 垂直的时候，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 上时，E
10、P1 最小，最小值为：EP1=BP1-BE=BD-BE=5 2-2；2 当 P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 的延长线 上时，EP1 最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7 点评：此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系 考点四：位似 例 5 如图，正方形 ABCD 的两边 BC，AB 分别在平面直角坐标系的 x 轴、y 轴的正半轴上，正方形 ABC与 D 正方形 ABCD 是以 AC 的中点 O为中心的位似图形，已知 AC
11、=3 2，若 点 A的坐标为（1，2），则正方形 ABC与 D 正方形 ABCD 的相似比是（）1 1 1 2 A B C D 6 3 2 3 考点：位似变换；坐标与图形性质 分析：延长AB 交 BC 于点 E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的 对应训练 5如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1：2，点 A 的坐标为（1，0），则 E 点的坐标为（）A（2，0）B（3,3)C(2,2)D(2,2)2 2 考点：位似变换；坐标与图形性质 【聚焦中考】1已知矩形 在 AD上的 ABCD 中，AB=1，在 F 点，若四边形 EFDC
12、BC 上取一点 与矩形 ABCD E，沿 AE 相似，则 将 ABE AD=（向 上 折 叠，使 ）B 点落 5 1 5 1 3 D 2 A B C 2 2 考点：相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）2如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上，OC 在 y 轴上，如果矩形 OABC 与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OABC 的面积等于矩形 OABC 面积的 1，那么点 B的坐标是（）4 A（-2，3）B（2，-3）C（3，-2）或（-2，3）D（-2，3）或（2，-3）考点：相似多边形的性质；坐标与图形性质 3.在菱形 ABCD 中，E
13、 是 BC 边上的点，连接 AE 交 BD 于点 F，若 EC=2BE，则 BF 的值 FD 是（）1 B 1 1 1 A C 4 D 2 3 5 考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质 4.为了测量被池塘隔开的 A，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中 AB BE，EF BE，AF 交 BE 于 D，C 在 BD 上有四位同学分别测量出以下四组数据：BC，ACB；CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC 能根据所 测数据，求出 A，B 间距离的有（）A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 F 考点：相似三角形的应用 ；解直角三角形的应用 5如图，在平面直角坐
14、标系中，ABC 的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）已 知 A 1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若 ABC 与 A 1B1C1位似，则 A 1B 1C1 的第三个顶点的坐标为 考点：位似变换；坐标与图形性质 6如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 和 DEF 的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是 DEF 边上的 5 个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形 ABC 为直角三角形；（2）判断 ABC 和 DEF 是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为 P1，P2，P3，P4，P5中的 3 个格点并且与 ABC
15、 相 似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）考点：作图 相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定 【备考真题过关】一、选择题 1已知 b 5，则 a b 的值是（）a 13 a b 2 3 9 4 A B C D 3 2 4 9 2如图，ABC 为等边三角形，点 E 在 BA 的延长线上，点 D 在 BC 边上，且 ED=EC 若 ABC 的边长为 4，AE=2，则 BD 的长为（）A 2 B3 C 3 D31 3如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=3，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的各边上，EF AC HG，EH BD FG，则四边形 EFGH 的周长是（）
16、A10B13C2 10D2 13 考点：平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质 4小 X 用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段 AB 在乙图中的对应线段 是（）AFGBFHCEHDEF 考点：相似图形 5.如图，六边形 ABCDEF 六边形 GHIJKL，相似比为 2：1，则下列结论正确的是（）A E=2 K B BC=2HI C六边形 ABCDEF 的周长=六边形 GHIJKL 的周长 D S 六边形ABCDEF=2S 六边形GHIJKL 6.下列 44 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与 ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）ABCD 7
17、.如图，点 D 在 ABC 的边 AC 上，要判定 ADB 与 ABC 相似，添加一个条件，不正确 的是（）AB CB AD AB A ABD=CB ADB=ABCC CD D AC BD AB 考点：相似三角形的判定 AE 1 ）8如图，在 ABC 中，EF BC，S 四边形BCFE=8，则 SABC=（EB 2 A 9 B 10 C 12 D 13 考点：相似三角形的判定与性质 9.如图，在四边形 ABCD 中，DC AB，CB AB，AB=AD，CD=1 AB，点 E、F 分别为 2 AB、AD 的中点，则 AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为（）1 1 1 1 A B C D 7
18、 6 5 4 考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理 10（2012?XX）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）A点 MB点 NC点 OD点 P 11如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为位中心，将 ABO 扩大到原来的 2 倍，得到 ABO若点 A 的坐标是（1，2），则点 A的坐标是（）A（2，4）B（-1，-2）C（-2，-4）D（-2，-1）考点：位似变换；坐标与图形性质 二、填空题 14.正方形 ABCD 的边长为 1cm，M、N 分别是 BC、CD 上两个动点，且始终保持AM MN，当 BM=cm 时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积为cm2
19、 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质 15.如图，O 为矩形 ABCD 的中心，M 为 BC 边上一点，N 为 DC 边上一点，ON OM，若 AB=6，AD=4，设 OM=x，ON=y，则 y 与 x 的函数关系式为。考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质 16.如图，E 是?ABCD 的边 CD 上一点，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F，且 AD=4，CE 1 ，则 CF 的长为 AD 3 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 17.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点上，AB、CD 相交于点 P，则 tan APD 的值是 A、B、C
20、、D 都在这些小正方形的顶点 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义 18如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度，标杆 BE 高 1.5m，测得 则楼高 CD 为 m AB=2m ，BC=14cm，19.如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内 M 点，已知网高 OA=1.52 米，OB=4 米，OM=5 米 处的运动员林丹把球从 米，则林丹起跳后击球点 N 点击到了对方内的B N 离地面的距离NM=考点：相似三角形的应用 20.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B在同一直线上已知纸板
21、的两条直角边 DE=40cm，EF=20cm，测 得 边 DF 离 地 面 的 高 度 AC=1.5m，CD=8m，则 树 高 AB=m 考点：相似三角形的应用 21.如图，ABC 与 A1B 1C1为位似图形，点ABC 的面积为 3，那么 A 1B 1C1的面积是 考点：位似变换 三、解答题 22己知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F BD 交于点 G （1）求证：BE=DF；O 是它们的位似中心，位似比是1：2，已知 分别在边BC、CD，BAF=DAE，AE 与 （2）当DFAD 时，求证：四边形 BEFG 是平行四边形 FCDF 考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；平
22、行四边形的判定；菱形的性质 23如图，在 ABC 中，C=90，点 D 是 AB 边上的一点，DM AB，且 DM=AC，过点 M 作 MEBC 交 AB 于点 E 求证：ABC MED 考点：相似三角形的判定 24如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，沿直线 MN 对折，使 A、C 重合，直线MN 交 AC 于 O （1）求证：COM CBA；（2）求线段 OM 的长度 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质 25.如图，在 ABC 中，C=90，BC=5 米，AC=12 米 M 点在线段 CA 上，从 C 向 A 运 动，速度为 1 米/秒；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动，速度为 为 t 秒 2 米/秒运动时间 （1）当 t 为何值时，AMN=ANM？（2）当 t 为何值时，AMN 的面积最大？并求出这个最大值 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值