《2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题北京卷37.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题北京卷37.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 考试结束前机密 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题北京卷 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页,第 II卷 3 至 9 页，共 150 分 考试时间 120 分钟 考试结束 将本试卷和答题卡一并交回 第 I 卷（选择题共 40 分）注意事项：1 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 不能答在试卷上 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合
2、题目要求 的一项 （1）在复平面内，复数1 ii 对应的点位于 （A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限（D）第四象限 （2）若a与bc都是非零向量，则“a ba c ”是“()abc”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）在 1，2，3，4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有（）（A）36 个（B）24 个 （C）18 个（D）6 个 （4）平面的斜线 AB 交于点 B，过定点 A 的动直线l与 AB 垂直，且交于点 C，则动 点 C 的轨迹是 （A）一条直线（B）一个圆 （C）一个椭圆
3、（D）双曲线的一支（5）已知(31)4,1()log,1aaxa xf xx x 是(,)上的减函数，那么 a 的取值范围是 （A）（0，1）（B）（0，13）（C）1 1,7 3 （D）1,17 （6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意1x,2x（12xx）2121()()f xf xxx恒成立”的只有 （A）1()f xx （B）()f xx （C）()2xf x （D）2()f xx （7）设4710310()22222()nf nnN,则()f n等于 （A）2(81)7n （B）12(81)7n （C）32(81)7n （D）42(81)7n （8）下图为某三岔
4、路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A、B、C 的机动车辆数如图所示，图中 123,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 AB,BC，CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 （A）123xxx（B）132xxx （C）231xxx （D）321xxx 第 II 卷（共 110 分）注意事项：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2答卷前将密封线内的项目填写清楚 二、填空题：本大题共 6 小题，每小 题 5 分，共 30 分 把答 案填在题中横线上 （9）22132lim1nxxx的值等于_（10）在72()xx的展开式
5、中,2x的系数是_（用数字作答）（11）若三点 A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab0）共线，则,11ab的值等于_ （12）在ABC 中，若 sin A:sinB:sinC=5:7:8 则B 的大小是_（13）已知点 P（x，y）的坐标满足条件4,1,xyyxx点 O 为坐标原点，那么|PO|的最小值 等于_,最大值等于_ x3x2x1CBA505530353020 （14）已知 A、B、C 三点在球心为 O，半径为 R 的球面上，ACBC，且 AB=R，那么 A、B 两点间的球面距离为_ 球心到平面 ABC 的距离为_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 解答应写出文字
6、说明，证明过程或演算步骤 （15）（本小题共 12 分）已知函数12sin(2)4()cosxf xx （）求()f x的定义域；（）设的第四象限的角，且tan43，求()f的值 （16）（本小题共 13 分）已知函数32()f xaxbxcx在点0 x处取得极大值 5，其导函数()yfx 的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（）0 x的值；（）a，b，c 的值 （17）（本小题共 14 分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中，ABAC，PA平面 ABCD，且 PA=AB，点 E 是 PD 的中点 （）求证：ACPB；（）求证：PB/平面 AEC；（）求二面角 EA
7、CB 的大小 12oyxABCDEP （18）（本小题共 13 分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响 求：（）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小（说明理由）（19）（本小题共 14 分）已知点 M（2，0），N（2，0），动点 P 满足条件|PM|PN|=2 2，记动点 P 的轨迹为 W （）求 W 的方程
8、；（）若 A，B 是 W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA、OB 的最小值 （20）（本小题共 14 分）在数列na中，若 12,a a是正整数，且12nnnaaa,n 3，4，5，则称na 为“绝对差数列”（）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（）若“绝对差数列”na中，203a,210a，数列 nb满足12nnnnbaaa n=1，2，3，分虽判断当n时,na与nb的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案北京卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小
9、题 5 分，共 40 分）（1）D（2）C（3）B（4）A （5）C（6）A（7）D（8）C（1）在复平面内，复数1 ii对应的点位于（D）（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限 解：1 ii111iii（）故选 D（2）若a与bc都是非零向量，则“a ba c ”是“()abc”的（C）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 解：a ba c a b a c 0 ab c0（）ab c（）故选 C（3）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（B）（A）36 个 （B）24
10、 个 （C）18 个 （D）6 个 解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3 个数字都是奇数，有33A种方法（2）3 个数字中有一个是奇数，有1333C A，故共有33A1333C A24 种方法，故选 B（4）平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是（A）（A）一条直线 （B）一个圆（C）一个椭圆 （D）双曲线的一支 解：设l与l是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与AB垂直所有直线都在这个平面内，故动点 C 都在这个平面与平面的交线上，故选 A（5）
11、已知(31)4,1()log,1aaxa xf xx x是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（C）（A）(0,1)（B）1(0,)3 （C）1 1,)7 3 （D）1,1)7 解：依题意，有 0a1 且 3a10，解得 0a13，又当 x1 时，（3a1）x4a7a1，当 x1 时，logax0，所以 7a10 解得 x17故选 C（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()xxxx，1221|()()|f xf xxx恒成立”的只有（A）（A）1()f xx （B）|f xx（C）()2xf x （D）2()f xx 解：2112121212xx111|xx
12、xxx x|x x|12xx1 2，（，）12x x1121x x1 1211|xx|x1x2|故选 A（7）设4710310()22222()nf nnN，则()f n等于（D）（A）2(81)7n （B）12(81)7n （C）32(81)7n （D）42(81)7n 解：依题意，()f n为首项为 2，公比为 8 的前 n4 项求和，根据等比数列的求和公式可得 D（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,A B C的机动车辆数如图所示，图中123,x x x分别表示该时段单位时间通过路段,AB BC CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路
13、段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50（C）（A）123xxx（B）132xxx（C）231xxx（D）321xxx 解：依题意，有 x150 x355x35，x1x3，同理，x230 x120 x110 x1x2，同理，x330 x235x25x3x2故选 C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）12 （10）14 （11）12 （12）3（13）2 10 （14）13R 32R（9）22132lim1xxxx的值等于12 解：22132lim1xxxx1x1x2limx1x1x（）（）（）（）1x21limx12x（10）在72(
14、)xx的展开式中，2x的系数为14_（用数字作答）x3x2x1CBA505530353020 解：73 rr7rrrr2r+1772TCx2C xx（）（）（）令73r22得 r1 故 2x的系数为172C（）14（11）若三点(2,2),(,0),(0,)(0)AB aCb ab 共线，则11ab的值等于_12 解：a22AB（，），C2b2A（，），依题意，有（a2）（b2）40 即 ab2a2b0 所以11ab12（12）在ABC中，若sin:sin:sin5:7:8ABC，则B的大小是_3 解：sin:sin:sin5:7:8ABC abc578 设 a5k，b7k，c8k，由余弦定理
15、可解得B的大小为3（13）已知点(,)P x y的坐标满足条件41xyyxx，点O为坐标原点，那么|PO的最小值等于2_,最大值等于_10 解：画出可行域，如图所示：易得 A（2，2），OA2 2 B（1，3），OB10 C（1，1），OC2 故|OP|的最大值为10，最小值为2 （14）已知,A B C三点在球心为O，半径为R的球面上，ACBC，且ABR，那么,A B两点的球面距离为_3R，球心到平面ABC的距离为_32R 解：如右图，因为ACBC，所以 AB 是截面 的直径，又 ABR，所以OAB 是等边三角形，所以AOB3，故,A B两点的球面距离为3R，于是O1OA30，所以球心到平面
16、ABC的距离 OO1Rcos3032R （15）（本小题共 12 分）已知函数12sin(2)4()cosxf xx，（）求()f x的定义域；（）设是第四象限的角，且4tan3，求()f的值 解：（）由 cos0 x 得()2xkkZ，故()f x在定义域为,2x xkkZ（）因为4tan3，且是第四象限的角,所以43sin,cos,55 故12sin(2)4()cosf 2212(sin2cos2)22cos 1 sin2cos2cos 22cos2sincoscos 2(cossin)145 BO1CA （16）（本小题共 13 分）已知函数32()f xaxbxcx在点0 x处取得极大
17、值5，其导函数()yfx的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示求：（）0 x的值；（）,a b c的值 解法一：（）由图象可知，在（，1）上()0fx,在（1,2）上()0fx,在(2,)上()0fx,故()f x在(,1),(2,)上递增,在（1,2）上递减,因此()f x在1x 处取得极大值,所以01x （）2()32,fxaxbxc 由(1)0,(2)0,(1)5,fff 得320,1240,5,abcabcabc 解得2,9,12.abc 解法二:（）同解法一（）设2()(1)(2)32,fxm xxmxmxm 又2()32,fxaxbxc 所以3,2,32mabm cm 323
18、()2.32mf xxmxmx 由(1)5f,即325,32mmm 得6m,12oyx 所以2,9,12abc （17）（本小题共 14 分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA 平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点（）求证：ACPB；（）求证：/PB平面AEC；（）求二面角EACB的大小 解法一：（）PA平面 ABCD，AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影 又ABAC，AC平面 ABCD，ACPB （）连接 BD，与 AC 相交于 O，连接 EO ABCD 是平行四边形，O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 EOPB 又 PB平面 AEC，EO平
19、面 AEC，PB平面 AEC （）如图，取 AD 的中点 F，连 EF，FO，则 EF 是PAD 的中位线，EF/PA 又PA 平面ABCD，EF平面ABCD 同理 FO 是ADC 的中位线，FO/ABFOAC 由三垂线定理可知EOF 是二面角EACD 的平面角 又 FO12AB12PAEFEOF45而二面角EACB与二面角 EACD 互补，故所求二面角EACB的大小为 135 另法：取 BC 中点 G，连接 OG，则点 G 的坐标为(,0)2 2a b,OG=(0,0)2b 又(0,),2 2b bOE (,0,0).ACa,OEAC OGAC EOG是二面角EACB的平面角 ABCDEFG
20、OP 2coscos,.2OE OGEOGOE OGOEOG 135OEOG 二面角 E-AC-B 的大小为135o （18）（本小题共 13 分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,a b c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响 （）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小（说明理由）解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A，B，C，则(),(),
21、()P Aa P Bb P Cc（）应聘者用方案一考试通过的概率 1()()()()pP A B CP A B CP A B CP A B C(1)(1)(1)abcbcaacbabc 2;abbccaabc 应聘者用方案二考试通过的概率 2111()()()333pp A Bp B Cp A C 1()3abbcca（）因为,0,1a b c,所以 122()23ppabbccaabc 2(1)(1)(1)0,3a bcb cac ab 故12pp,即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大 （19）（本小题共 14 分）已知点(2,0),(2,0)MN，动点P满足条件|2 2PMPN记动
22、点P的轨迹为W （）求W的方程；（）若,A B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA OB 的最小值（19）（共 14 分）解法一：（）由|PM|PN|=2 2知动点 P 的轨迹是以,M N为焦点的双曲线的右支，实 半轴长2a 又半焦距 c=2，故虚半轴长222bca 所以 W 的方程为22122xy,2x （）设 A，B 的坐标分别为11(,)x y,22(,)xy 当 ABx 轴时,12,xx从而12,yy 从而221212112.OA OBx xy yxy 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为ykxm,与 W 的方程联立,消去 y 得 222(1)220.kxkmxm 故
23、1222,1kmxxk 21222,1mx xk 所以 1212OA OBx xy y 1212()()x xkxm kxm 221212(1)()kx xkm xxm 2222222(1)(2)211kmk mmkk 22221kk2421k 又因为120 x x,所以210k ,从而2.OA OB 综上,当 ABx轴时,OA OB 取得最小值 2 解法二:（）同解法一 （）设 A，B 的坐标分别为，则11(,)x y,22(,)xy,则 22()()2(1,2).iiiiiixyxyxyi 令,iiiiiisxy txy 则2,i ist 且0,0(1,2)iisti所以 1212OA O
24、Bx xy y 1122112211()()()()44stststst 1 21 21 2 1 2112,22s st ts s t t 当且仅当1 21 2s st t,即1212,xxyy 时”成立 所以OA、OB 的最小值是 2（20）（本小题共 14 分）在数列 na中，若12,a a是正整数，且12|,3,4,5,nnnaaan，则称 na为“绝对差数列”（）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（）若“绝对差数列”na中，20213,0aa，数列 nb满足12nnnnbaaa，1,2,3,n，分别判断当n时，na与nb的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（
25、）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项（）解：12345673,1,2,1,1,0,1aaaaaaa,89101,0,1.aaa（答案不惟一）（）解：因为在绝对差数列 na中203a,210a所以自第 20 项开始，该数 列是203a,210a,2223242526273,3,0,3,3,aaaaaao.即自第 20 项开始 每三个相邻的项周期地取值 3，0，3 所以当n时，na的极限 不存在 当20n 时,126nnnnbaaa,所以lim6nnb（）证明：根据定义，数列 na必在有限项后出现零项证明如下 假设 na中没有零项，由于12nnnaaa,所以对于任意的 n，都有1na
26、,从而 当12nnaa时,1211(3)nnnnaaaan;当 12nnaa时,2121(3)nnnnaaaan 即na的值要么比1na至少小 1，要么比2na至少小 1 令212122212(),(),nnnnnnnaaaCaaa1,2,3,n 则101(2,3,4,).AnCCn 由于1C是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 10C，这与0nC（1,2,3,n）矛盾 从而 na必有零项 若第一次出现的零项为第n项，记1(0)naA A，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，A,A,即 331320,0,1,2,3,nknknkaaA kaA 所以绝对差数列 na中有无穷多个为零的项