《2008年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案-北京卷.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2008年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案-北京卷.doc（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、20082008 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）数学（理工农医类） （北京卷）（北京卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 9 页，共 150 分考试时间 120 分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回第第卷卷（选择题 共 40 分）注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案不能答在试卷上一、本大题共一、本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 4
2、0 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项要求的一项1已知全集，集合，那么集合U R| 23Axx|14Bx xx 或等于（ ）UAB AB| 24xx|34x xx或CD| 21xx | 13xx2若，则（ ）0.52a log 3b 22log sin5c ABCDabcbaccabbca3 “函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）( )()f x xR( )f xRA充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件4若点到直线的距离比它到点的距离小 1，则点的轨迹为（ ）P1x (2 0)，PA圆B椭圆
3、C双曲线D抛物线5若实数满足则的最小值是（ ）xy，1000xyxyx ， 23xyzA0B1CD936已知数列对任意的满足，且，那么等于（ na*pqN，p qpqaaa26a 10a）ABCD1653330217过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于yx22(5)(1)2xy12ll，12ll，对称时，它们之间的夹角为（ ）yxABCD304560908如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面P1111ABCDABC D1BDP的直线，与正方体表面相交于设，则函数11BB D DMN，BPxMNy的图象大致是（ ）( )yf xABCD MNPA1B1C1D1yx AOyx BOyx
4、 COyx DO2008 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）数学（理工农医类） （北京卷）（北京卷）第第卷卷（共 110 分）注意事项：注意事项： 1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2答卷前将密封线内的项目填写清楚二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上9已知，其中 是虚数单位，那么实数 2()2aiiia 10已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ab1204ab(2)Abab11若展开式的各项系数之和为 32，则 ，其展开式中的常数2 31n x
5、xn 项为 （用数字作答）12如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为( )f xABCABC，则 ；(0 4) (2 0) (6 4)，( (0)f f2BCAyx1O3 4 5 61234 （用数字作答） 0(1)(1)lim xfxf x 13已知函数，对于上的任意，有如下条件：2( )cosf xxx 2 2，12xx，； ； 12xx22 12xx12xx其中能使恒成立的条件序号是 12()()f xf x14某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植k在点处，其中，当时，()kkkP xy，11x 11y 2k11121 55512 55kkkkkk
6、xxTTkkyyTT ，表示非负实数的整数部分，例如，( )T aa(2.6)2T(0.2)0T按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为 ；第 2008 棵树种植点的坐标应为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题共 13 分）已知函数（）的最小正周期为2( )sin3sinsin2f xxxx0（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围( )f x203 ，16 （本小题共 14 分）如图，在三棱锥中，PABC2ACBC90ACBAPBPABPCAC（）求证：；PCAB
7、 （）求二面角的大小；BAPC （）求点到平面的距离CAPBACBP17 （本小题共 13 分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至ABCD， 少有一名志愿者 （）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；A （）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列A18 （本小题共 13 分）已知函数，求导函数，并确定的单调区间22( )(1)xbf xx( )fx( )f x19 （本小题共 14 分）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为 1ABCDAC，2234xyBD（）当直线过点时，求直线的方程；BD(01
8、)，AC（）当时，求菱形面积的最大值60ABCABCD20 （本小题共 13 分）对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列12nAaaa：，1T1TA1( )T A ：12111nnaaa，对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到12mBbbb：，2T2TB小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；2( )T B又定义222 1212( )2(2)mmS Bbbmbbbb设是每项均为正整数的有穷数列，令0A121( ()(012)kkAT T Ak，（）如果数列为 5，3，2，写出数列；0A12AA，（）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；A1( ( )( )S T A
9、S A（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当0AK时，kK1()()kkS AS A20082008 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）数学（理工农医类） （北京卷）参考答案（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 1D2A3B4D5B6C7C8B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分）910115101210221314 (12)，(3 402)，三、解答题（本大题共三、解答题
10、（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分）分） 15 （共 13 分）解：（）1 cos23( )sin222xf xx311sin2cos2222xx1sin 262x因为函数的最小正周期为，且，( )f x0所以，解得221（）由（）得1( )sin 262f xx因为，203x所以，72666x所以，1sin 2126x因此，即的取值范围为130sin 2622x( )f x302 ，16 （共 14 分） 解法一：（）取中点，连结ABDPDCD，ACBDP，APBP PDAB ，ACBC CDAB ，PDCDD平面ABPCD 平面，PC PCD PCAB（），ACBCAPBP APC
11、BPC又，PCAC PCBC又，即，且，90ACBACBCACPCC平面BCPAC取中点连结APEBECE， ，ABBPBEAP 是在平面内的射影，ECBEPAC CEAP 是二面角的平面角BECBAPC在中，BCE90BCE2BC 362BEAB6sin3BCBECBE二面角的大小为BAPC6arcsin3（）由（）知平面，AB PCD 平面平面APB PCD 过作，垂足为CCHPDH平面平面，APBPCDPD平面CHAPB 的长即为点到平面的距离CHCAPB由（）知，又，且，PCABPCACABACA平面PCABC 平面，CD ABC PCCD在中，RtPCD122CDAB362PDPBA
12、CBEPACBDPH222PCPDCD2 3 3PC CDCHPDA点到平面的距离为CAPB2 3 3解法二：（），ACBCAPBP APCBPC又，PCAC PCBC ，ACBCC平面PCABC平面，AB ABC PCAB（）如图，以为原点建立空间直角坐标系CCxyz则(0 0 0)(0 2 0)(2 0 0)CAB，设(0 0)Pt，2 2PBAB，2t (0 0 2)P ，取中点，连结APEBECE，ACPCABBP，CEAPBEAP 是二面角的平面角BECBAPC，(011)E，(011)EC ，(211)EB ，23cos326EC EBBEC EC EB A AA二面角的大小为BA
13、PC3arccos3（），ACBCPC 在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距CAPBAPBHCHCAPB 离如（）建立空间直角坐标系CxyzACBPzxyHE，2BHHE点的坐标为H2 2 2 3 3 3，2 3 3CH点到平面的距离为CAPB2 3 317 （共 13 分）解：（）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，AAE3 3 24 541()40AAP EC A即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是A1 40（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，E4 4 24 541( )10AP EC A所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9( )1( )10P EP E
14、 （）随机变量可能取的值为 1，2事件“”是指有两人同时参加岗位服务，2A则23 53 34 541(2)4C APC A所以，的分布列是3(1)1(2)4PP 13P3 41 418 （共 13 分）解：242(1)(2) 2(1)( )(1)xxbxfxxA3222 (1)xb x32(1) (1)xb x 令，得( )0fx1xb当，即时，的变化情况如下表：1 1b 2b ( )fxx(1)b，1b(11)b ，(1)，( )fx0当，即时，的变化情况如下表：11b 2b ( )fxx(1)，(11)b，1b(1)b，( )fx0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，2b ( )f
15、 x(1)b，(11)b ，在上单调递减(1)，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上2b ( )f x(1)，(11)b，(1)b，单调递减当，即时，所以函数在上单调递减，在11b 2b 2( )1f xx( )f x(1)，上单调递减(1)，19 （共 14 分）解：（）由题意得直线的方程为BD1yx因为四边形为菱形，所以ABCDACBD于是可设直线的方程为ACyxn 由得2234xy yxn ，2246340xnxn因为在椭圆上，AC，所以，解得212640n 4 34 3 33n设两点坐标分别为，AC，1122() ()xyxy，则，123 2nxx21234 4nx x11yxn
16、 22yxn 所以122nyy所以的中点坐标为AC3 44n n，由四边形为菱形可知，点在直线上， ABCD3 44n n，1yx所以，解得3144nn2n 所以直线的方程为，即AC2yx 20xy（）因为四边形为菱形，且，ABCD60ABC所以ABBCCA所以菱形的面积ABCD23 2SAC由（）可得，2222 1212316()()2nACxxyy所以234 34 3( 316)433Snn所以当时，菱形的面积取得最大值0n ABCD4 320 （共 13 分）（）解：，05 3 2A：，10() 3 4 21T A ：，；1210( () 4 3 21AT T A：，11() 4 3 2
17、10T A ：，2211( () 4 3 21AT T A：，（）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，A12naaa，则为，1( )T An11a 21a 1na 从而112( ( )22(1)3(1)(1)(1)nS T Anaana2222 12(1)(1)(1)nnaaa又，222 1212( )2(2)nnS Aaanaaaa所以1( ( )( )S T AS A12223(1)2()nnnaaa 2 122()nnaaan，2(1)0n nnn 故1( ( )( )S T AS A（）证明：设是每项均为非负整数的数列A12naaa，当存在，使得时，交换数列的第 项与第项得到数列，1i
18、jnijaaAijB则( )( )2()jiijS BS Aiajaiaja2()()0jiij aa当存在，使得时，若记数列为，1mn120mmnaaa12maaa，C则( )( )S CS A所以2( )( )S T AS A从而对于任意给定的数列，由0A121( ()(012)kkAT T Ak，可知11()( ()kkS AS T A又由（）可知，所以1( ()()kkS T AS A1()()kkS AS A即对于，要么有，要么有kN1()()kkS AS A1()() 1kkS AS A因为是大于 2 的整数，所以经过有限步后，必有()kS A12()()()kkkS AS AS A即存在正整数，当时，KkK1()()kkS AS A