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1、 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新）数学（理）试题解析 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）(2011 全国新课标卷理)复数212ii的共轭复数是()（A）35i （B）35i （C）i （D）i 解析：212ii=(2)(12),5iii共轭复数为 C （2）(2011 全国新课标卷理)下列函数中，既是偶函数又在+（0，）单调递增的函数是()（A）3yx （B）1yx （C）21yx （D）2xy 解析:由图像知选 B （3）(2011 全国新课标卷理)执行右面的程序框图，如果输入的 N 是
2、6，那么输出的 p 是()（A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040 解析：框图表示1nnan a，且11a 所求6a 720 选 B （4）(2011 全国新课标卷理)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()（A）13 （B）12 （C）23 （D）34 解析;每个同学参加的情形都有 3 种，故两个同学参加一组的情形有 9 种，而参加同一组的情形只有 3 种，所求的概率为 p=3193选 A （5）(2011 全国新课标卷理)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2
3、yx上，则cos 2=()（A）45 （B）35 （C）35 （D）45 解析：由题知tan2,222222cossin1tan3cos2cossin1tan5 选 B （6）(2011 全国新课标卷理)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为()解析：条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为 r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选 D （7）(2011 全国新课标卷理)设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C交于 A,B 两点，AB为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为()（A
4、）2 （B）3 （C）2 （D）3 解析：通径|AB|=222baa得2222222baaca，选 B （8(2011 全国新课标卷理)）512axxxx的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为()（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40 解析 1.令 x=1 得 a=1.故原式=511()(2)xxxx。511()(2)xxxx的通项5 2155 2155(2)()(1)2rrrrrrrrTCxxCx，由 5-2r=1 得 r=2,对应的常数项=80，由 5-2r=-1 得 r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为 40，选 D 解析 2.用组合提取法,把原式看做
5、6 个因式相乘，若第 1 个括号提出 x,从余下的 5 个括号中选 2个提出 x，选 3 个提出1x；若第 1 个括号提出1x，从余下的括号中选 2 个提出1x，选 3 个提出 x.故常数项=223322335353111(2)()()(2)X CXCCCXXXX=-40+80=40 （9）(2011 全国新课标卷理)由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积为()（A）103 （B）4 （C）163 （D）6 解析;用定积分求解43242002116(2)(2)|323sxxdxxxx，选 C （10）(2011 全国新课标卷理)已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
6、12:10,3Pab 22:1,3Pab 3:10,3Pab 4:1,3Pab 其中的真命题是()（A）14,P P （B）13,P P （C）23,P P （D）24,P P 解析：222cos22cos1ababab得，1cos2，20,3。由222cos22cos1ababab得1cos2,3。选 A（11）(2011 全国新课标卷理)设函数()sin()cos()(0,)2f xxx 的最小正周期为，且()()fxf x，则()（A）()f x在0,2单调递减 （B）()f x在3,44单调递减 （C）()f x在0,2单调递增（D）()f x在3,44单调递增 解析：()2sin()
7、4f xx，所以2，又 f（x）为偶函数，,424kkkz，()2sin(2)2cos22f xxx，选 A （12）(2011 全国新课标卷理)函数11yx的图像与函数2sin(24)yxx 的图像所有交点的横坐标之和等于（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）8 解析：图像法求解。11yx的对称中心是（1,0）也是2sin(24)yxx 的中心，24x 他们的图像在 x=1 的左侧有 4 个交点，则 x=1 右侧必有 4 个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,x x x x x x x x，则182736452xxxxxxxx，所以选 D 第卷 二、填空题：本大题共 4
8、 小题，每小题 5 分。（13）(2011 全国新课标卷理)若变量,x y满足约束条件329,69,xyxy则2zxy的最小值为 。解析：画出区域图知，当直线2zxy过239xyxy的交点（4,-5）时，min6z （14）(2011 全国新课标卷理)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点12,F F在x轴上，离心率为22。过1F的直线 L 交 C 于,A B两点，且2ABF的周长为 16，那么C的方程为 。解析：由22416caa得 a=4.c=2 2,从而 b=8,221168xy为所求。（15）(2011 全国新课标卷理)已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上，
9、且6,2 3ABBC,则棱锥OABCD的体积为 。解析：设 ABCD 所在的截面圆的圆心为 M,则 AM=221(2 3)62 32,OM=224(2 3)2，162 328 33O ABCDV.（16）(2011 全国新课标卷理)在ABC中，60,3BAC，则 AB+BC 的最大值为 _ 。解析：00120120ACCA,0(0,120)A,22sinsinsinBCACBCAAB 022sin2sin(120)3cossinsinsinABACABCAAACB；AB+BC=，故最大值是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）(2011 全国新课标卷理)（本小题满分 1
10、2 分）等比数列 na的各项均为正数，且212326231,9.aaaa a（）求数列 na的通项公式；（）设 31323loglog.log,nnbaaa求数列1nb的前 n 项和.解析：（）设数列an的公比为 q，由23269aa a得32349aa所以219q。由条件可知 a0,故13q。由12231aa得12231aa q，所以113a。故数列an的通项式为 an=13n。（）31323nloglog.lognbaaa(12.)(1)2nn n 故12112()(1)1nbn nnn 12111111112.2(1)().()22311nnbbbnnn 所以数列1nb的前 n 项和为2
11、1nn （18）(2011 全国新课标卷理)（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四 边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面 ABCD.（）证明：PABD；（）若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。解析 1：（）因为60,2DABABAD,由余弦定理得3BDAD 从而 BD2+AD2=AB2，故 BD AD;又 PD 底面 ABCD，可得 BD PD 所以 BD 平面 PAD.故 PABD（）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为x轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz，则 1,0,0A,03,0B，,1,3,0C
12、,0,0,1P。(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)ABPBBC 设平面 PAB 的法向量为 n=（x,y,z），则00n ABn PB,即 3030 xyyz 因此可取 n=(3,1,3)设平面 PBC 的法向量为 m，则 00m PBm BC 可取 m=（0，-1，3）42 7cos,72 7m n 故二面角 A-PB-C 的余弦值为 2 77 （19）(2011 全国新课标卷理)（本小题满分 12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 1
13、00 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y（单位：元）与其质量指标值 t 的关系式为 z x P C B A D y 从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）解析：（）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100，所以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频
14、率为32 100.42100，所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42（）用 B 配方生产的 100 件产品中，其质量指标值落入区间90,94,94,102,102,110的频率分别为 0.04，,054,0.42，因此 X 的可能值为-2,2,4 P（X=-2）=0.04,P（X=2）=0.54,P（X=4）=0.42,即 X 的分布列为 X 的数学期望值EX=-20.04+20.54+40.42=2.68 （20）(2011 全国新课标卷理)（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0,-1），B 点在直线 y=-3 上，M 点满足/MBOA，MA
15、ABMB BA，M 点的轨迹为曲线 C。（）求 C 的方程；（）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。解析;（）设 M（x,y）,由已知得 B（x,-3）,A（0,-1）.所以MA=（-x,-1-y）,MB=（0,-3-y）,AB=（x,-2）.再由题意可知（MA+MB）AB=0,即（-x,-4-2y）（x,-2）=0.所以曲线 C 的方程式为 y=14x2-2.（）设 P（x0,y0）为曲线 C：y=14x2-2 上一点，因为 y=12x,所以l的斜率为12x0 因此直线l的方程为0001()2yyx xx，即2000220 x xyyx。则
16、o 点到l的距离20020|2|4yxdx.又200124yx，所以 2020220014142(4)2,244xdxxx 当20 x=0 时取等号，所以 o 点到l距离的最小值为 2.X-2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 （21）(2011 全国新课标卷理)（本小题满分 12 分）已知函数ln()1axbf xxx，曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230 xy。（）求a、b的值；（）如果当0 x，且1x 时，ln()1xkf xxx，求k的取值范围。解析：（）221(ln)()(1)xxbxfxxx 由于直线230 xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,
17、1(1),2ff 即 1,1,22bab 解得1a，1b。（）由（）知ln1f()1xxxx，所以 22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxf xxxxxx。考虑函数()2lnh xx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2()kxxh xx。（i）设0k，由222(1)(1)()k xxh xx知，当1x 时，()0h x，h（x）递减。而(1)0h故当(0,1)x时，()0h x，可得21()01h xx；当 x（1，+）时，h（x）0 从而当 x0,且 x1 时，f（x）-（1lnxx+xk）0，即 f（x）1lnxx+xk.（ii）设 0k0,故h（x）0,而 h
18、（1）=0，故当 x（1，k11）时，h（x）0，可得211xh（x）0,而 h（1）=0，故当 x（1，+）时，h（x）0，可得211x h（x）0,与题设矛盾。综合得，k 的取值范围为（-，0 点评;求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解。若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了。即以参数为分类标准，看是否符合题意。求的答案。此题用的便是后者。请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。（22）(2011 全国新课标卷理)（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为ABC的
19、边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为m，AC 的长为 n,AD，AB的长是关于x的方程2140 xxmn的两个根。（）证明：C，B，D，E四点共圆；（）若90A，且4,6mn，求C，B，D，E所在圆的半径。解析：（I）连接 DE，根据题意在ADE 和ACB 中，ADABmnAEAC 即ABAEACAD.又DAE=CAB,从而ADEACB 因此ADE=ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。（）m=4,n=6 时，方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.取 CE 的中点 G,DB 的中点 F，分别过 G,F 作 AC，AB 的
20、垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH.因为 C，B，D，E 四点共圆，所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH.由于A=900，故 GHAB,HFAC.HF=AG=5，DF=21（12-2）=5.故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 52 （23）(2011 全国新课标卷理)（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 2cos22sinxy（为参数）M 是 C1上的动点，P 点满足2OPOM,P 点的轨迹为曲线 C2（）求 C2的方程（）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与 C1的异于极
21、点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求AB.解析;（I）设 P（x,y）,则由条件知 M（,2 2x y）.由于 M 点在 C1上，所以 2cos,222sin2xy 即 4cos44sinxy 从而2C的参数方程为 4cos44sinxy（为参数）（）曲线1C的极坐标方程为4sin，曲线2C的极坐标方程为8sin。射线3与1C的交点A的极径为14sin3，射线3与2C的交点B的极径为28sin3。所以21|2 3AB.（24）(2011 全国新课标卷理)（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数()3f xxax,其中0a。（）当1a 时，求不等式()32f xx的解集；（）若不等式()0f x 的解集为|1x x ，求 a 的值。解析：（）当1a 时，()32f xx可化为|1|2x。由此可得 3x 或1x 。故不等式()32f xx的解集为|3x x 或1x 。（）由()0f x 得 30 xax 此不等式化为不等式组30 xaxax 或30 xaaxx 即 4xaax 或2xaax 因为0a，所以不等式组的解集为|2ax x 由题设可得2a=1，故2a