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1、高一数学函数 一、知识结构 二、重点难点 重点：有关映射与函数的概念,要求会求函数的定义域和一些简单函数的值域；幂函数的图象和性质；单调性的概念；反函数的概念；要掌握函数的图象和性质；对数运算与指数运算的关系,对数式与指数式的互化；对数性质和运算法则；难点：映射的概念；幂函数的应用；用定义判定函数的单调性与确定函数的单调区间；反函数的求法；利用指数函数的性质,结合有关幂函数以及函数的单调性、奇偶性和有关复合函数的知识解决函数值的比较与求值域问题；对数概念与各名称的意义的理解；注意法则应用的条件和推导;三、知识点解析 1、函数：1 定义：1 传统定义：如果在某变化过程中有两个变量,x y,并且对
2、于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则f,y都有惟一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,记为()yf x；2 近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射;；上述两个定义实质上是一致的,只不过传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发,侧重点不同,函数实质上是从集合 A 到集合 B 的一个特殊的映射,其特殊性在于集合 A、B 都是非空数集;自变量的取值集合叫做函数的定义域,函数值的集合 C 叫做函数的值域;这里应该注意的是,值域 C 并不一定等于集合 B,而只能说 C 是 B 的一个子集；2 三要素：函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则
3、三部分组成的特殊的映射;2、函数的单调性：1 定义：对于给定区间上的函数()f x,1 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值12,x x,当12xx时,都有12()()f xf x,那么就说()f x在这个区间上是增函数；2 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值12,x x,当12xx,都有12()()f xf x,那么就说()f x在这个区间上是减函数；2 证明函数单调性的方法：1 用定义；2 利用已知函数的单调性；3 利用函数的图像；4 依据符合函数单调性有关结论；51212()()0()f xf xf xxx为增函数,1212()()0()f xf xf xxx为减函数；3 函数
4、的周期性：对于函数()f x,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,()()f xTf x都成立,那么就把函数()yf x叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期；对于一个周期函数,如果在所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期：1 式子()()f xTf x对定义域中的每一个值都成立,即对定义域中的任何x,式子都成立,而不能是“一个x”或“某些x”；2 一个函数是周期函数,它并不一定就有最小正周期,如：()f xaa是常数,显然,对任何一个正数 T,都有()()()f xTf x xR；这就是说,任何一个正数都是()f x的周期,由于正数
5、中不存在最小的数,所以周期函数()f xa不存在最小正周期;设T是()()f x xR的周期,那么(kT kN且0k 也一定是()f x的周期;3、反函数 1 反函数的意义：一般地,式子()yf x表示y是自变量x的函数,设它的定义域为 A,值域为B、我们从式子()yf x中解出x,得到式子()xy;如果对于y在C中的任何一个值,通过式子()xy,x在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()xy就表示x是自变量y的函数,这样的函数()xy,叫做函数()yf x的反函数,记作1()xfy,即1()()xyfy,在函数式1()xfy中,y表示自变量,x表示函数;习惯上,一般用x表示自变量,用
6、y表示函数.为此对调函数式1()xfy中的字母,x y,把它改写成1()yfx;1()yf x与1()yfx具有四性：A、互换性；B、对称性；C、奇偶性；D、单调性；2()yf x和1()yfx互为反函数,即1()()f fxx xB或1()()ff xx xA；3 求反函数的步骤：A、解出 1()xfy；B、交换,x y,得1()yfx；C、解出反函数的定义域即原函数值域；4 互为反函数的两个函数图像关于直线yx对称；2 反函数存在的条件：并不是所有函数都存在反函数.根据反函数的定义,只有原象具有唯一性的函数,即对任意的12xx,能推断出12()()f xf x成立的函数才具有反函数；3 反
7、函数与原函数的关系：1 原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域；2()yf x与1()yfx互为反函数,设()f x的定义域为 A,值域为 C,则有1()()f fxx xC,1()()ff xx xA；4 反函数的求法：可以根据反函数的定义求出已知函数的反函数,其步骤为：1 由()yf x解出()xy；2 交换,x y,得1()()xfx；3 根据()yf x的值域,写出1()yfx的定义域;4、幂函数、指数函数、对数函数 1 幂、指数、对数式 1 同底数幂的运算性质：(,)mnm naaam nQ,()(,)mnmnaam nQ,()()nnnaba bnQ；2 根式的
8、运算性质：()nnaa,当n是偶数时(0)(|)|(0)nna aaaa a,当n是奇数时()nnaa；3 分数指数幂与根式的关系规定：正分数指数幂(0,.,1)nmnmaaamnNm且,正分数指数幂1(0,.,1)nmnmaamnNma且；4 对数及对数的运算性质：定义：如果(0baN a且1a,则数b叫做以a为底 N 的对数,记作logaNb,对数恒等式：logNaaNa0 且 a1,N0,对数的性质：负数和零没有对数,log 10(0,1)aaa,log1(0,1)aaaa；对数的运算法则：()(0,0)MNMN MNaaaloglog log,MlogNaMNaalog log,log
9、()naNnNalog,1lognaNNnalog；换底公式：logloglogabaNNb1loglogabba,12231logloglog1(,2)naaaaaanN n,loglogmnaanbbm；2 幂函数 1 定义：形如ayxa是常数的函数叫幂函数；2 幂函数的图像见图：3 幂函数的性质：都过点 1,1；除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数都不过第四象限；0a 时,幂函数图像过 0,0 且在 0,+上是增函数；0a 时,幂函数图像不过 0,0 且在 0,+上是减函数；任何两个幂函数图像最多有三个公共点,除 1,1,0,0,-1,1 外,其它任何一点都不是两个幂函数
10、的公共点；3 指数函数 1 定义：形如xya0a 且1a 的函数叫指数函数；2 指数函数的图像见图：3 指数函数的性质 都过 0,1 点；定义域为R,值域为R；1a 时,在-,+上是增函数；01a时,在-,+上是减函数；1a 时,01001xxxaxa；01a时,00101xxxaxa;4 对数函数 1 定义：形如logayx0a 且1a 的函数叫对数函数；2 对数函数图像见图;对数函数图像和指数函数图像关于直线yx对称互为反函数；3 对数函数的性质：都过 1,0 点；定义域为R,值域为R；1a 时,在 0,+上是增函数；01a时,在 0,+上是减函数；1a 时,10010 xyxy ；01a
11、时,10010 xyxy ;四、例题 1、函数 例 1 审查下面四个命题：()21f xxx是函数；函数是其定义域到值域的映射；yx和2yx表示同一函数；xyx和0yx表示同一函数；其中正确的有 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 解 B 注 高中数学中的函数是通过映射来定义的;例 2 函数|xyxx的图像是 解 D 函数|xyxx可化为1,01,0 xxyxx;例 3 设 ak0,bc0,在同一坐标系中 y=ax2+c 与 y=kx+b 的图象应是 解 B 由,a k同号排除 D；由 b,c 异号排除 A,C;例 4 已知函数3()()232cxf xxx 满足()f f xx,
12、则 c 的 A、3 B、-3 C、3 或-3 D、不存在 解 B 223()(26)92323cxcxf f xxxcccxx;对任何3()2x x 成立,所以22690cc,即3c ;而33232xx,故所求3c ;例 5 函数311yx的定义域是 A、(,0 B、(,0)(0,1 C、(,1 D、无法确定 解 B 解不等式组10110 xx得(,0)(0,1,此即所求定义域;例 6 已知函数36,0()5,0 xxf xxx,则(1)f f的值 A、2 B、-15 C、12 D、以上都不对 解 A 因为10,所以(1)3 1 630f ,所以(1)(1)5352f ff ;注 求分段函数的
13、函数值时,首先应清楚自变量的值在定义域的哪一段上;例7 如果函数()yf x的定义域是0,1,那么函数()(2)(01)f xafxaa的定义域是_;解 1,22aa 0 解不等式01(01)021xaaxa,得1(01)122axaaaax ,所以所求函数定义域为1,22aa;例8 已知221()12,()(0)xg xx f g xxx,则1()2f等于 ;解 15 令1()2g x,解得14x;代入221()xf g xx得2211()14()1512()4f g;例9 若1()1xfxx,则满足等式(2)()fxmf x 的m的值是_;解 -2 因为1()1xfxx,所以1()1xf
14、xx;由题设的1(2)13121(2)111xxxxmmxxxx ;例 10 设211,(1),()(1)1()2Ab bf xxxA;若()f x的值域也为 A,则 b 的值为_;解 3 函数()f x的对称轴为1x,而(1)1,1fb,故可令()f bb,即21(1)12bb,解得3b,1b 舍去;例 11 已知y是x的函数,22,444(22),ttttttxytR,求函数()yf x的解析式及其定义域;解 22444(22)(22)4(22)242ttttttttyxx;因为tR,所以222 2 22tttt,即2x;所以所求函数为242(2)yxxx；其定义域为2,);例 12 设2
15、()()1axbf xxRx的值域为 1,4,求,a b的值;解 设21axbyx,则20,0yxaxyby;因为xR,所以24()0ay yb,即2204ayby;易知14y 是不等式(1)(4)0yy,即2340yy的解;比较系数,得4,3ab;例 13 求下列函数的值域：1224yxx 2421yxx 32541yxx 421yxx 解 1 因为2(1)33yx,所以值域为|3y y;2 因为221313()12444yx,所以值域为|1y y;注 此题容易误解为3,)4;3 因为2247(2)33xxx,所以2550473xx,所以值域为5|03yy;4 令21(0)xt t,则212
16、tx,从而2211(1)22tytt;因为0t,所以1 1t ;于是211(1)22yt,故值域为1|2y y;例 14 已知()f x是x的二次函数,且2(2)(31)1361fxfxxx,求()f x;解 设2()(0)f xaxbxc a,则有2(2)42fxaxbxc,2(31)9(63)()fxaxab xabc;所以2(2)(31)13(65)()fxfxaxab xabc;又2(2)(31)1361fxfxxx,比较系数,得1,0,1abc,所以所求函数为2()1f xx;例 15 已知()()5(1)f xyf xxy,且(0)2f,求()f x;解 令yx,代入()()5(1
17、)f xyf xxy,得(0)()105ff xx;又(0)2f,所以()103f xx;2、函数单调性 例 1 下列函数中,属于增函数的是 A、4(0)yxx B、(0)yx x C、1(,0)yxxR xx D、2169(10)yxxx 解 D 例 2 若一次函数(0)ykxb k在(,)上是单调递减函数,则点(,)k b在直角坐标平面的 A、上半平面 B、下半平面 C、左半平面 D、右半平面 解 C 因为0,kbR;例 3 函数2()2(1)2f xxax在区间(,4)上是减函数,则实数 a 的取值范围是 A、3a B、3a C、5a D、3a 解 B 因抛物线开口向上,对称轴方程为1x
18、a,所以14a,即3a ;例 4 已知2()82f xxx,如果2()(2)g xfx,那么()g x A、在区间-1,0 内是减函数 B、在区间 0,1 内是减函数 C、在区间-2,0 内是增函数 D、在区间 0,2 内是增函数 解 A 22()(1)9g xx;画出草图可知()g x在-1,0 上是减函数;例 5 若,byax yx 在(0,)上都是减函数,则2yaxbx在 0,+上是_函数选填“增”或“减”;解 减函数 由条件知0,0ab,所以02ba;例 6 函数254yxx 的单调递增区间是 ;解-2,1 已知函数的定义域是51x;设2245(2)9uxxx ,可知当52x 时,随x
19、增大时,u也增大但y值减小；当21x 时,随x增大时,u减小,但y值增大,此时y是x的单调增函数,即 2,1x 时,254yxx 是增函数;注 在求函数单调区间时,应先求函数的定义域;例 7()yf x在定义域上是单调递增函数,且()0f x,那么在同一定义域上,()yf x 是单调 函数；1()yf x是单调 函数；y=fx2是单调_函数;解 递减；递减；递增;例 8 已知3()1()f xxxxR,证明()yf x是定义域上的减函数,且满足等式()0f x 的实数值x至多只有一个;解 设12,x xR,且12xx,则2332222122111213()()(1)(1)()()1024xxf
20、 xf xxxxxxxx ,所以21()()f xf x;所以()yf x是R上的减函数;假设使()0f x 成立的x的值有两个,设为12,x x,且12xx,则21()()0f xf x;但因()f x为R上的减数,故有21()()f xf x;矛盾;所以使()0f x 成立的x的值至多有一个;例 9 定义域为R的函数()yf x,对任意xR,都有()()f axf ax,其中a为常数;又知(,)xa时,该函数为减函数,判断当(,)xa 时,函数()yf x的单调状况,证明自己的结论;解 当(,)xa 时,函数是增函数;设12xxa,则1222axaxA;因为函数()yf x在(,)a 上是
21、减函数,所以12(2)(2)faxfax,注意到对任意xR,都有()()f axf ax,可见对于实数1ax,也有11()()f aaxf aax,即11(2)()faxf x;同理22(2)()faxf x;所以12()()f xf x,所以函数()yf x在(,)a上是增函数;例10 ()f x是定义在R上的递增函数,且()()()f xyf xf y;1 求证()()()xff xf yy；2 若(3)1f,且()(1)2f af a,求a的取值范围;解 1 因为()()()()xxf xf yf yfyy,所以()()()xff xf yy;2 因为(3)1f,(9)(3)(3)2ff
22、f,于是()(1)2()(1)(9)()9(1)f af af af aff afa;由题设有09(1)09(1)aaaa,解得918a;3、反函数 例 1 求下列函数的反函数 1251xyx 22()23(0)f xxxx 3211(10)yxx 解 1 由251xyx得25xxyy,25yxy;原函数的反函数为2()255xyxx;2 由2()23f xxx,得2(1)()2xf x;2(1)0 x,()2f x;又0 x 1()2xf x ,即1()2xf x,所求函数的反函数为1()12(3)fxxx;3 由211yx,得211xy;221(1)xy,2221(1)2xyyy;10 x
23、,故22xyy;又当10 x 时,2011x,故2011x;01y,所求函数的反函数为22(01)yxxx;评注 对于用解析法表示的函数,求其反函数,实际上只要做三件事：把给出的函数解析式中的自变量当作未知数,因变量当作系数的方程而解之；求给出函数的值域,把中的,x y互换;例 2 如果点(1,2)既在函数()f xaxb的图像上,又在函数()f x的反函数1()fx的图象上,那么a _ b _;分析 确定,a b,只要列出关于,a b的两个方程,而由(1)2f可得一方程,但直接用1(1)2f则需先求出反函数,应注意1(1)2(2)1ff;解 依题意可有：(1)2f且(2)1f,即221aba
24、b,解得37ab;例 3 给定实数,0,1a aa,设函数11(,)1xyxR xaxa,求证：这个函数的图象关于yx成轴对称图形;分析 本题证明可有两种思路：证明任何一点(,)x y在这个函数图象上,则点(,)x y关于直线yx的对称点(,)y x也在这个函数的图象上;证明此函数与反函数是同一个函数,下面只写出一种;证明：先求所给出函数的反函数：由11(,)1xyxR xaxa得：(1)1ayxy 若10ay ,由0ya,故得1ya,此时又由可有1y,于是得11a,即1a,这与已知1a 矛盾,故10ya ;11(,)1yxyR yaya;即函数11(,)1xyxR xaxa的反函数是11(,
25、)1xyxR xaxa;由于函数()f x与1()fx的图像关于直线yx对称,故函数11(,)1xyxR xaxa的图像关于直线yx成轴对称图像;4、幂函数、指数函数、对数函数 幂函数 例 1 函数35yx的大致图像是 分析 当函数nyx中,当 n1 时,在第一象限的图象特征是上升上凸的,因而可排除 A、C,而当取 x 的两个互为相反数自变量时,经3535yxx计算结果 y 值也互为相反数,从而可排除 B,故应选 D;例 2 若32531,(),4,1,(1),(1)2xxyxyyxyxyxyaa上述函数中是幂函数的个数为 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 分析 幂函数是形如ny
26、x的函数,其结构特征是：函数右边为单项式,幂指数为常数,底数为自变量,前面的系数为 1;从这四个特点,我们可以判数：24yx中,2x前的系数为 4,故24yx不为幂函数,51yx为二项式,3(1)yx底数为1x,而xya中自变量 x 在指数位置,故只有3yx,yx为幂函数,应选 B;例 3 下列函数中,以R作为定义域的函数是 A、15yx B、14yx C、35yx D、12yx 解 155yxx,定义域为：xR；144yxx,定义域为：0 x；35531yxx,定义域为：0 x；121yxx,定义域为：0 x;故应选 D;评注 幂函数定义域求法分两步,首先化为根式或分式形式,然后考虑分式中分
27、母不为零,开偶次根时被开方数不能为负两个方面求出函数的定义域;例 4 设1112221.1,0.9,abcx,且acb,则整数c的值应为 A、1c B、1c C、1c D、不能确定 解 考察12yx,当0 x 时,即在第一象限内,y值随x值增大而减小,而acb,即1112221.10.9x,而112201.111,112200.90.252;02c,故1c,选 C;例 5 试比较3323355555(0.96),(0.95),(0.95),0.95,0.96的大小;解 3323355555(0.96)(0.95)(0.95)0.96,0.95 ;评注 多个数的大小比较问题是要观察数与数之间异同
28、点,将它们进行分类与 1 和 0 比粗比,然后在每一类中利用有关结论进行细比,最后得出大小关系;指数函数 例 1 函数11()2xy的图像是 解 A 例 2 2()5f xx,则1()fx的定义域是 A、(0,)B、(5,)C、(6,)D、(,)解 B 因为2()55f xx,即()f x的值域为(5,),故1()fx的定义域为(5,);例 3 下列函数中,值域是 0,+的一个函数是 A、1231xy B、11()5xy C、1()13xy D、12xy 解 B;例 4 函数2(1)xya在(,)上是减函数,则a的取值范围是 A、|1a B、|2a C、|2a D、1|2a 解 D;由题设,有
29、201 1a,所以1|2a;例 5 已知,0ab ab,审查下列不等式;22ab 22ab 11ab 1133ab 11()()33ab 其中恒成立的 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 解 C;例5 使函数212xxy 递减的x的取值范围是_;解 1(,)2 因为212uxx的递增区间1(,)2,而2uy 为增函数,故所求范围是1(,)2;例 7 根据不等式确定正数 a 的取值范围：10.30.2aa,则a_；27.53.9aa,a_；3741,aa ;解 1(1,)2(0,1)3(0,1);例 8 已知11()()212xf xx 1 指出函数的奇偶数,并予以证明；2 求证：对
30、任何xxR且0 x,都有()0f x;解 1()f x的定义域为0 x,关于原点对称;又11212111()()()()(1)()()212212212212xxxxxxfxxxxxf x ,所以()f x是偶函数;2 当0 x 时,21x,所以()0f x;当0 x 时,由()f x为偶函数,有()()0f xfx,所以对一切xR,0 x,恒有()0f x;注 利用函数的奇偶性常可使解法简化;如本例 2,当0 x 时,证明()0f x 较繁;若注意到()f x为偶函数,则只须证明,当0 x 时()0f x,而这是显然的;例11 比较1nna与1nna(0,1,1,)aannN的大小;解 11
31、nnnnaa,11nnnnaa;因为1101(1)nnnnn n,所以11nnnn;由指数函数单调性,知当1a 时,11nnnnaa；当01a时,11nnnnaa;对数函数 例 1 函数21log32xyx的定义域是 A、2(,1)(1,)3 B、1(,1)(1,)2 C、2(,)3 D、1(,)2 解 A;解不等式210210320 xxx ,得213x或1x;例 2 函数212log(617)yxx的值域是 A、RB、(,3 C、8,)D、3,)解 B;22212617(3)88,log(617)3xxxyxx;例 3 若()log|1|af xx在(1,0)内()0f x,则()f x
32、A、在(,0)单调递增 B、在(,0)内单调递减 C、在(,1)内单调递减 D、在(,1)内单调递增 解 D;依题设,()f x的图象关于直线1x 对称,且01a,画出图象略即知 D 正确;例 4 函数1(),(,32yf x x,则3(log)fx的定义域为 ;解 (3,27;由题设知31log32x,所以327x;例 5 函数2()lg(1)f xxx的奇偶性是 ;解奇函数;2221()lg(1)lglg(1)()1fxxxxxf xxx ,()f x为奇函数；例 6 已知222(3)log(0,1)6axf xaax 1 判断()f x的奇偶性；2 已知()f x存在反函数1()fx,若
33、1()0fx,求x的取值范围;解 1 因为222(3)3(3)log3(3)axf xx,所以3()log(0,1)3axf xaax;由303xx,得()f x的定义域为(3,3);另一方面,有1333()loglog()log()333aaaxxxfxf xxxx ,所以()f x是奇函数;2 设3log3axyx,则33yxax,解得3(1)1yyaxa;所以13(1)()1xxafxa;由1()0fx得3(1)01xxaa,而10 xa ,故10 xa ,所以1xa;故当1a 时,0 x；当01a时,0 x;例 7 已知常数,a b满足10ab,若()lg()xxf xab,1 求()
34、yf x的定义域；2 证明()yf x在其定义域内是增函数；3 若()f x恰在(1,)上恒取正值,且(2)lg2f,求,a b的值;解 1 由0 xxab,得()1xab;因为0ab,所以1ab,所以()xayb是增函数;而由()1xab得0 x,即函数()f x的定义域是(0,);2 任取12,(0,)x x,且12xx;因为1a,所以1()xg xa是增函数,所以120 xxaa,于是1212()()0 xxxxaabb,即112211221122()()00lg()lg()xxxxxxxxxxxxabababababab,故()lg()xxf xab在(0,)内是增函数;3因为()f
35、x在(1,)内为增函数,所以对于(1,)x内每一个x值,都有()(1)f xf;要使()f x恰在(1,)上恒取正值,即()0f x,只须(1)0f,于是(1)lg()0fab,得1ab;又(2)lg2f,所以22lg()lg2ab,所以222ab,即()()2ab ab,而1ab,所以2ab;由12abab,解得3212ab;经检验知,31,22ab为所求;例 8 设对所有实数x,不等式2222224(1)2(1)log2 loglog014aaaxxaaa恒成立,求a的取值范围;解 根据题意,可知原不等式关于x的二次不等式应满足下列条件：由得22222(log)6log011aaaa,所以
36、22222(log)0,log611aaaa;又由,得222(log)31aa,所以222log)0111aaaa;由01aa及211aa解得01a;例 9 设函数22()log(32)21f xk xkxk,求使()f x在(,0)内单调递减,而在(1,)内单调递增的所有实数k组成的集合M;解 令2()(32)21g xk xkxk;由题意知,在(,0)(1,)上,必须有()0g x,320k,且()g x的图象的对称轴与 x 轴的交点的横坐标必须属于0,1;于是k确定于不等式组 所以 4|05Mkk;例 14 在函数log(01,1)ayxax的图象上有 A,B,C 三点,它们的横坐标分别
37、是,2,4m mm;1 若ABC面积为S,求()Sf m；2 判断()Sf m的增减性；3 求()Sf m的最大值;解 1 由 A,B,C 三点分别向x轴作垂线,设垂足依次为123,A A A,则 111111AA B BBB C CA C CA22loglog(2)log(2)log(4)loglog(4)244222(4)4loglog 1(1)(2)(2)aaaaaaaaSSSSmmmmmmm mmmm 梯形梯形梯形 2 当1m 时,24()1(2)g mm 递增;又由01a,故()Sf m为减函数;3 因为1m,所以2(2)9m,即244(2)9m,即2451(2)9m,所以245log 1log(2)9aam,所以所求最大值为5log9a;