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1、 数学备课组必修第二章：函数 第二章、函数 第一节、函数 一、函数 1、函数的定义：设集合 A是一个非空的数集，对 A 中的任意数 x，按照确定的法则 f，都有唯一 确定的数 y 与它对应，这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数，记作 y f x，x A。其中，x 叫做自变量，自变量的取值 X 围叫做函数的定义域。所有函数值构成的集合，即 y y f x ,x A 叫做这个函数的值域。2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系，需检验：（1）定义域和对应法则是否给出；（2）根据给出的对应法则，自变量 x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值 y。例 1、下列图形中，能表示 y 是
2、x 的函数的是（）y y y y x o x o x o o x A B C D 例 2、下列等式中，能表示 y 是 x 的函数的是（）A.yxB.y2 x 1 C.y1 x2 D.y 1 x2 3、如何判断函数的定义域：（1）分式的分母不能为零；（2）开偶次方根的被开方数要不小于零；（3）多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集；（4）函数x0中x不为零。例 3、求下列函数的定义域（1）f(x)3 2x；（2）f(x)2x 1；3 2x 1 数学备课组 必修第二章：函数（3）f(x)(x2 4)0；（4）f(x)x2 4 1 x 2 例 4、求下列函数值域 （1）f(x)2
3、x 1,x 1,2,3,4（2）（3）f(x)1,x (1,)（4）x f(x)x2 2x 1,x 0,3 f(x)2x 1,x 1,x 1 4、函数的 3 要素：定义域、值域和对应法则。判断两个函数相同的依据就是函数的三要素完全相同。注：在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是 使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。例 5、下列各对函数中，是相同函数的是（）A.f(x)x2,g(x)x C.f(x)x2,g(x)x f(x)2 x B.x,g(x)f(x)2 x D.x,g(x)5、区间：设 a，b R，且 ab，满足 ax b 的全体实数 x
4、 的集合，叫做闭区间，记作 a,b ；满足 ax b 的全体实数 x 的集合，叫做开区间，记作 a,b；满足 a x b 或 a xb 的全体实数 x 的集合，都叫做半开半闭区间，分别记作 a,b 或 a,b ；分别满足 x a,x a,x a,x a 的全体实数的集合分别记作a,a,a,a。6、映射：设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合A 中的任意一 个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合A 到集 合 B 的一个映射其中 x 叫做原象，y 叫做象。注：映射可以是多对一，不可以一对多。即 A 中元素不可
5、剩余，B 中元素可以剩余。特 别的，集合 B 中的任意元素在集合A 中有且只有一个原象的映射，叫做一一映射。7、映射个数的确定：若集合 A有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则A 到 B 的映射有nm个。例 6、已知集合A 1,2,3,B a,b。问：(1)到的不同映射：AB 有多少个？(2)到的不同映射：BA 有多少个？2 数学备课组必修第二章：函数 8、映射与函数的关系：函数是特殊的映射。9、复合函数：二、函数的表示方法 1、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系；2、图像法：用图像表示函数关系；3、解析法（公式法）：用代数式表示函数关系。三、分段函数 在函数的定义
6、域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的 函数叫做分段函数。例 7、已知函数f(x)1|x|x(2 x 2)2（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图像；（3）写出该函数的值域。四、函数的单调性 1、增函数和减函数的定义：设函数y f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2，当 x1 x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函 数.区间D称为y f(x)的单调增区间；如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2，当 x1 x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说
7、 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y f(x)的单调减区 间。2、图像特点：3 数学备课组必修第二章：函数 增函数：自左向右图象是上升的减函数：自左向右图象是下降的 3、函数单调性的判定方法 （1）定义法：任取x1,x2 D，且 x1 x2，判断 y f x2 f x1的符号，若 y 0，f x 在 D 上单调递增，若 y 0，f x 在 D 上单调递减；（2）图像法：根据图像直观地判断函数的单调性；（3）直接法：根据一些特殊函数的性质，直接得出函数的单调性，如一次函数中的k 0,直 接得出函数为增函数；（4）结论：f(x)与-f(x)具有相反的单调性；f(x)与 f(x)c（c
8、 为常数）具有相同 的单调性；a 0 时，af(x)与f(x)具有相同的单调性，a 0 时，af(x)与f(x)具有相反的单调 性；若 f(x)0，则 1 与 f(x)具有相反的单调性；f(x)0 时，f(x)与 f(x)具有相同 f(x)的单调性；若 f(x)与 g(x)具有相同的单调性，则 f(x)g(x)与 f(x)和 g(x)都具有相同的单调 性。例 8、讨论下列函数的单调性 （1）y x3（2）y|x|1（3）y 1(x 0)（4）y x2 2x 3 x 1 例 9、证明函数f(x)x在(0,1)上是减函数。x 例 10、求函数f(x)x 1 在区间(0,2)上的最小值。x 4、复合
9、函数单调性判断：同增异减 例 11、判断函数y(x 2)2 4在（-2，+）上的单调性 x2 4x 4 4 数学备课组必修第二章：函数 五、函数的奇偶性 1、奇函数、偶函数的定义：一般地，对于函数f(x)的定义域 D 内的任意一个x，都有xD，且 f(x)f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数,f(x)f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数。例 12、判断奇偶性 （1）f(x)x2 1（2）f(x)x3 x（3）f(x)x（4）f(x)x1 x2 2,x 0 例 13、判断函数f(x)0,x 0 的奇偶性 x2 2,x 0 2、图像特征：y 轴对称；（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
10、（2）奇函数y f(x)的定义域为 D，若0 D，则 f(0)0。3、函数奇偶性的判定：（1）根据定义：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则函数没有奇偶性；若定义域关于原定对称，再确定f(x)与 f(x)的关系；最后作出相应结论：若 f(x)f(x)或 f(x)f(x)0，则 f(x)是奇函数,若 f(x)f(x)或 f(x)f(x)0，则 f(x)是偶函数。（2）根据图像：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数的图象关于 y 轴对称，则函数为偶函数。（3）根据性质：奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；奇函数 奇函数偶函数；偶函数 偶函数
11、偶函数；奇函数 偶函数奇函数 （4）函 数 的 分 拆：任 何 一 个 函 数f(x)都 可 以 拆 分 成 一 个 奇 函 数 和 一 个 偶 函 数 的 和，即 f(x)F(x)G(x，)f(x)f(x)f(x)f(x)其中 F(x)（偶函数），G(x)（奇函数）。2 2 5 数学备课组必修第二章：函数 4、复合函数yf g(x)的奇偶性 若函数 f(x),g(x),f g(x)的定义域都是关于原点对称的,那么由ug(x),y f(u)的奇偶性 得到 y f g(x)的奇偶性的规律是:函数奇偶性 u g(x)奇函数奇函数偶函数偶函数 y f(u)奇函数偶函数奇函数偶函数 y f g(x)奇
12、函数偶函数偶函数偶函数 即当且仅当 u g(x)和 y f(u)都是奇函数时,复合函数 y f g(x)是奇函数.5、利用奇偶性求函数解析式：例 14、若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x 0 时，f(x)x 2 2x，求当x 0 时，函数f(x)的解析式。6、函数奇偶性与单调性综合应用：例 15、函数f(x)是定义在R 上的奇函数，在(0,)上是增函数，且 f(1)0，则满足 f(x)0 成 立的 x 的取值 X 围是。例 16、定义在2,2 上的偶函数 g(x)，当 x 0 时，g(x)为减函数，若 g(1 m)g(m)成立，求 m 的取值 X 围。第二节、一次函数和二次函数 一、一次
13、函数的性质与图像 1、一次函数的概念：函数ykx b(k 0)叫做一次函数，定义域和值域都为R，它的图像是直 线，其中 k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的截距。6 数学备课组必修第二章：函数 2、一次函数的性质与图像：一次函数 y kx b(k 0)图像 性质 单调性 奇偶性 y b 0 增函数 奇函数 O x k 0 y y b 0 增函数 非奇非偶函数 O x Ox y b 0 减函数 奇函数 O x k 0 y y b 0 减函数 非奇非偶函数 O x Ox 例 1、已知函数y (2m 1)x 1 3m,m 为何值时，（1）这个函数为正比例函数；（2）这个函数为一次函数；（
14、3）函数值y随x的增大而减小；（4）这个函数的图像与直线y x 1的交点在x轴上。例 2、如果一次函数y kx b(k 0)的图像经过一、三、四象限，那么（）A、k0,b 0B、k0,b 0C、k0,b 0D、k0,b0 例 3、直线y kx b 过点(2,2)和(0,2)，求直线 y kx b 与坐标轴围成三角形的面积。2 2 二、二次函数的性质与图像 7 数学备课组必修第二章：函数 1、二次函数的概念：形如yax2 bx c(a 0)的函数叫做二次函数其定义域是 R。2、二次函数的解析式：一般式：f(x)ax2 bx c(a0)；顶点式：f(x)a(x h)2 k(a 0)，(h,k)是二
15、次函数的顶点坐标；两根式：f(x)a(x x1)(x x2)(a 0)，x1,x2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标。3、二次函数的性质与图像 二次函数 y ax2 bx c(a 0)a 0 a 0 图像 定义域 R 4ac b 2 2 值域 y,)y(,4ac b 4a 4a 对称轴 x b 2a 顶点坐标 b 4ac b2 (,)2a 4a 奇偶性 b 0 y ax2 bx c(a 0)是偶函数 x(,b)是减函数，x(,b)是增函数，单调性 2a 2a b b x(,)是增函数 x(,)是减函数 2a 2a x b 时，ymin 4ac b2 x b 4ac b2 最值 2a 4a 2
16、a 时，ymax 4a 例 4、设 abc 0，二次函数 f(x)ax2 bx c 的图象可能是（）8 数学备课组必修第二章：函数 4、与二次函数有关的不等式恒成立问题：（1）ax2 bx c0 恒成立的充要条件是 a0；0 （2）ax2bxc0 恒成立的充要条件是a0；0 例 5、设f(x)x2 2ax 2，当 x 1,)时，f(x)a 恒成立，求a 的取值 X 围。三、待定系数法 一般的，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定的系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。例 6、已知一次函数的
17、图像经过(5,2)和(3,4)，求这个函数的解析式。例 7、已知二次函数y f(x)的图像过 A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x2，求这个二次 函数的解析式。9 数学备课组必修第二章：函数 第三节、函数与方程 一、函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(x D)，把使 f(x)0 成立的实数x 叫做函数 y f(x)(x D)的零点。即函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标叫这个函数的零点。例 1、下列函数中没有零点的是（）A.f(x)x2B.f(x)xC.f(x)1D.f(x)x 2 x x 2、零点存在定理：如果函数y f(x)在区间 a,b 上的图象是连续不断的
18、一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么函数 y f(x)在区间 (a,b)内至少有一个零点。既存在x0(a,b)，使得 f x00，这个 x0就是方程的根。例 2、若方程2ax2x 1 0 在(0,1)内恰有一解，则a 的取值 X 围是（）A.a1B.a 1C.1 a 1D.0 a1 3、函数零点的性质：（1）对于二次函数，图像是连续的，那么当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号，这种零点叫变号零点；当函数通过二重零点时，函数值的符号不改变，这种零点叫不变号零点；（2）如果函数的图像是连续的，那么在相邻的两个零点之间的所有函数值保持同号。4、二次函数零点个数：（），方程 ax2 bx
19、c 0 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次 函数有两个零点；（），方程 ax 2 bx c 0 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个 交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；（），方程 ax2 bx c 0 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。二、二分法 1、二分法的定义：每次取区间的中点，将区间一分为二再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法叫做二分法。注：二分法只能判断变号零点，不能判断不变号零点。例 3、函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（）10 数学备课组必修第二章：函数 A B C D 2、给定精确度，用
20、二分法求方程的近似解的基本步骤如下：（1）精确区间 a,b D，使 f(a)f(b)0；（2）取区间 a,b 的中点 x01(a b),计算 f(x0),f(a),f(b)，2 如果 f(x0)0,则 x0就是 f(x)的零点,计算终止，如果 f(a)f(x0)0,则零点位于区间 a,x0,如果 f(x0)f(b)0,则零点位于区间 x0,b；（3）判断是否达到精确度,即如果a b ,则得到零点近似值 a 或 b；否则重复上述步骤。例 4、设f(x)3 x 3 x 8,用二分法求方程 3x 3x 8 0,在 x 1,2 内近似解的过程中，计算得 f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0，则方程的根落在区间（）A1,1.25 B.1.25,1.5 C.1.5,2 D.不确定 11