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1、高高一一数数学学反反函函数数教教案案(总总 8 8页页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除一.教学内容：反函数二.本周重难点：1.重点：反函数的概念，互为反函数的函数图象间的关系。2.难点：求反函数的方法，解决有关反函数的问题。【典型例题】【典型例题】例1 求下列函数的反函数。（1）y 2x 5x 2（x 2）2y x x（x 1）（2）2y 136 x（3）（6 x 0）2y x 4x 1（5 x 2）（4）解：解：y（1）由2y 52x 5x y 2x 2得(y 2)x 2y 5y 2x 52(x 2)99 2
2、2x 2x 2x 2又x 2时，即原函数的值域y|y 22y x x（x 1）（2）1212(x)y 22224由y x x得x x y 0 x x 111x 022y21x 4y21142211y x2 x(x)224在1,上是增函数 值域为又y x2 所求反函数2,1142（x 2）22222y 136 x(y 1)x 36x 36(y 1)（3）由得2x 36 (y 1)6 x 02y 136 xx6,0又时，为减函数 值域为y5,12y 36(x1)所求反函数为（5 x 1）222y x 4x 1(x 2)3(x 2)y 3（4）由，有x 2 y 35 x 23 x 2 02x 2y
3、3y (x 2)3为减函数x5,2又时，值域为3,6y 11x my nx 23互为反函数，求m，n的值。和例2 已知解：由y 1x m2得x 2y 2my 1x m2的反函数是y 2x 2m（xR）2 n11 2m y nx y 2x 2m33与表示同一函数31m 6n 21f f(x)的表达式。f(x)3x 2例3 已知：，求解：解：f1 f(x)x（xR）f(x)x1f1()x 2，求3的值。例4解：解：方法一：方法一：由f(x)x2x1f1(x)f1()1x 2得1 x3x1方法二：方法二：x 23x 1例5 若点（1，2）既在y ax b的图象上，又在其反函数的图象上，求a、b的值。
4、解：解：点（1，2）（2，1）都在y ax b的图象上a b 2a 3 2a b 1b 7y x 52x m的图象关于直线y x对称，求实数m的值。例6 已知函数解：解：函数y x 52x m的图象关于直线y x对称 它的反函数是它本身4在y x 52x m中，令x 5得y 0，于是点（5，0）在函数的图象上，所以点（5，0）关于直线y x的对称点（0，5）也在函数的图象上。y x 52x m得m 11将x 0，y 5代入y f(x)例7 设2x 3x 1，y g(x)的图象与y f(x 1)的图象关于直线y x对称，求g(3)的值。解：解：y f1(x 1)x 1 f(y)x f(y)1g(
5、3)f(3)172将x、y互换应该就是g(x)即y f(x)1f(x)a xx a 1的反函数f1例8 已知的值。解：解：f1(x)的图象的对称中心是（1，3），求a(x)的对称中心为（1，3）f(x)图象的对称中心为（3，1）a xx(a 1)111x a 1x(a 1)x(a 1)f(x)又a 1 3即a 2【模拟试题】【模拟试题】（答题时间：30分钟）一.选择题：21.函数y x 2x(x 1)的反函数是（）5A.y x 1 1(x 1)C.y x 11(x 1)f(x)B.y x 1 1(x 1)D.y x 11(x 1)12.已知函数1 2x1 x，函数g(x)的图象与函数y f(x
6、 1)的图象关于直线y x对称，则g(2)等于（）51 A.4 B.2 C.1 D.43.已知f(x)ax b2x 5f1(x)x c（a、b、c是常数）的反函数x 3，那么（）A.a 3，b 5，c 2C.a 2，b 3，c 5B.a 3，b 2，c 5D.a 2，b 5，c 34.函数y f(x)的反函数为g(x)，则y f(x)的反函数是（）A.y g(x)B.y g(x)C.y g(x)D.y g(x)二.填空题：1.已知函数y f(x)有反函数y f1(x)，则f1 f(m)2.点P在f(x)12x 3的图象上，又在其反函数的图象上，则P点的坐标为3.直线y ax 2与直线y 3x
7、b关于直线y x对称，则a，b f(x)1(x 1)21 x，则f14.若(1)三.解答题：61.求下列函数的反函数。2y x 2x 5(x 1)y 2x3(1 x 1)（1）（2）2.已知函数f(x)mx 5x 21（1）求函数y f(x)的反函数y f(x)的值域（2）若（2，3）是反函数图象上的一点，求函数y f(x)的值域3.若函数f(x)在其定义域上是单调递增函数，求证它的反函数f数。1(x)也是增函7试题答案一.1.D 2.B 3.A 4.C二.11.m 2.（2，2）3.3；6 4.2三.1.（1）2.解：（1）由函数f(x)mx 5x 2得y f(x)的定义域为x|x 21y
8、123x(5 x 1)22（2）y 1 x 4（x 4）它的反函数y f(x)的值域为y|y 2（2）若（2，3）是反函数图象上的一点，则（3，2）在原来的函数y f(x)2 3m55x 52x 5f(x)f1(x)3 2，即m 5，所以x 2，5 x1的图象上，于是 反函数y f(x)的定义域为x|x 5 原函数y f(x)的值域为y|y 53.解：在f1(x)的定义域内任取x1、x2，且x1 x21需证f(x1)f1(x2)为此令f1(x1)y1，f1(x2)y2于是有f(y1)x1，f(y2)x2f(y1)f(y2)而f(x)在其定义域上是单调函数y1 y2即f81(x1)f1(x2)f1(x)也是增函数9