《2020届高考理复习常考题型大通关(全国卷)：空间向量与立体几何.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高考理复习常考题型大通关(全国卷)：空间向量与立体几何.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 18 题 空间向量与立体几何1、如图所示，ABCD 是边长为2 的正方形，AE平面BCE，且1AE.1.求证：平面ABCD平面 ABE；2.线段AD上是否存在一点F，使二面角ABFE所成角的余弦值为64？若存在，请找出点 F 的位置；若不存在，请说明理由.2、如图，BCD与MCD都是边长为2 的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，2 3AB.（1）证明：直线/AB平面MCD（2）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（3）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.3、如图，在三棱锥DABC 中，DA平面 ABC，90CAB，且1ACAD，2AB，E为 BD 的中点(1)求异
2、面直线AE 与 BC 所成角的余弦值；(2)求二面角ACEB 的余弦值4、如图，在正四棱柱1111ABCDA BC D 中，131AAAB，.(1)求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值；(2)求平面1ABC 与平面1AC D 所成二面角的正弦值5、如图,矩形 ABCD 中,6AB,6,2 3ABAD,点 F 是 AC 上的动点.现将矩形 ABCD 沿着对角线 AC 折成二面角DACB,使得30D B.1.求证:当3AF时,D FBC;2.试求 CF 的长,使得二面角AD FB的大小为4.6、如图，在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四棱锥PABCD 的高2OP，点 B，D 和 C，A分别
3、在 x 轴和 y 轴上，且2AB，点 M 是棱 PC 的中点(1)求直线 AM 与平面 PAB 所成角的正弦值；(2)求二面角APBC 的余弦值7、如图，在正方体中，棱长为 2，,M N 分别为1A B 的中点（1）证明：1/MNBC；（2）求1A B与平面11ABCD所成角的大小8、如图,在三棱锥PABC中,PAABC平面,ABAC3PAAC,32AB,12BEEC,2ADDC(1)证明:DEPAE平面;(2)求二面角APEB的余弦值.9、如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为平行四边形2ABAD.3BDAD,且PD底面 ABCD.（1）证明：平面PBD平面PBC（2）若 Q 为 P
4、C 的中点，且1AP BQuuu ruu u r，求二面角QBDC 的大小.10、如图,三棱锥 SABC中,90,ASCABC3060304 3.CABCASSBAC,(1)求证:平面 ASC平面ABC;(2)M 是线段 AC 上一点,若53,4AM求二面角ASMB的大小.答案以及解析1 答案及解析：答案：1.AE平面BCE，BE平面BCE，BC平面BCE，,AEBE AEBC，又 BCAB，AEABA，BC平面 ABE，又 BC平面 ABCD，平面ABCD平面 ABE.2.如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，1,2,3AEABAEBEBE.假设线段 AD 上存在一点F 满足题意，3 1(,
5、0),(0,2,0),(0,0,),(0)22EBFhh，易知：平面ABF的一个法向量为(1,0,0)mu r，33(,0),(0,2,)22BEBFhuuu ruuu r，设平面BEF的一个法向量为(,)nx y zr，由00n BEn BFru uu rruuu r，得3302220 xyyhz，取1y，得2(3,1,)nhr，263cos,444m nm nmnhu rru r ru rr，1h.点 F 为线段AD的中点时，二面角ABFE所成角的余弦值为64.解析：2 答案及解析：答案：（1）取 CD 中点 O,连接 MO，平面MCD平面BCD，则MO平面BCDAB平面BCD，所以 MO
6、/AB 又MO面 MCD，AB面 MCD,所以/AB面 MCD（2）取中点O，连，OM，则OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD.以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.3OBOM，则各点坐标分别为0,0,0O，1,0,0C，0,0,3M，0,3,0B，0,3,23A，设直线AM与平面BCD所成的角为.因0,3,3AMuuu u r，平面BCD的法向量为0,0,1nr，则有32sin|cos,|2|6AMnAM nAMnuuuu rruuuu r ruu uu rr，所以45（3）1,0,3CMuu uu r，1,3,23CAuuu
7、r.设平面ACM的法向量为1,nx y zur，由11nCMnCAuvuuuu vuvuu u v 得3032 30 xzxyz.解得3xz，yz，取13,1,1nu r，又平面BCD的法向量为0,0,1nr，则1111cos,|5nnn nnnu rru rru rr设所求二面角为，则212 5sin155解析：3 答案及解析：答案：因为DA平面 ABC，90CAB，所以可以以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为12ACADAB，所以0 0 010 00 2 00()()()()01ACBD，因为 E 为线段 BD 的中点，所以1E 0,1,2.(1)10,1,2AEu
8、uu r，1,2,0BCuuu r，所以24cos,5554AE BCAE BCAE BCuuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r，所以异面直线AE 与 BC 所成角的余弦值为45(2)设平面 ACE 的法向量为1()nxyz，因为11,0,0,0,1,2ACAEuuu ruuu r，所以110,0nACnAEuuu ru uu r，即0 x且1y+z=2，取1y，得02xz=，=-，所以1,2(0)1n，是平面 ACE 的一个法向量设平面 BCE 的法向量为2()nxyz，因为1=(1,-2,0),0,1,2BCBEuuu ruuu r，所以220,0nBCnBEu
9、uu ruuu r，即20 xy且1-y+z=2，取1y，得22xz，所以22()21n，是平面 BCE 的一个法向量所以12121235cos n,n|55?9n nnn.所以二面角ACEB 的余弦值为55解析：4 答案及解析：答案：(1)以1ABADAA，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz，则110 0 310()()()0113ABC，所以11=(-1,3),(1,1,3)BAACuuu ruuu u r，所以11194 110cos,5510?11BA ACuuu r u uu u r.(2)由题意得()(11)1 000CD，所以111=(1,3),(1,1,
10、-3),=(1,1,3),=(0,1,0)A BACACADuuuruu u u ru uuu ru uu r，设平面1ABC 的一个法向量为1111()nxyz，则1111AB nAC nu uu ru uu u r即1111133xzxyz令11z，则11()30n，设平面1AC D 的一个法向量为2222()nxyz，则122AC nAD nu uuu ru uu r即22223xyzy令21z，则231()0n，所以121212914cos n,n|510?10n nnn，所以平面1A BC 与平面1AC D 所成二面角的正弦值为35.解析：5 答案及解析：答案：1.连结,DF BF.
11、在矩形 ABCD 中,2 3,6ADCD,4 3,30,60ACCABDAC.在ADF中,3AF,2222cos9DFDAAFDAAFDAC,22293DFAFDA,DFAC,即D FAC.又在ABF中,222cos21BFABAB AFCAB,在D FB中,222223(21)D FFBD B,BFD F又 ACFBF,D F平面ABC.D FBC.2.在矩形 ABCD 中,过 D 作 DEAC 于 O,并延长交AB 于 E.沿着对角线AC 翻折后,由1可知,OE OC OD 两两垂直,以 O 为原点,OEuuu r的方向为 x 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,则(0,0,0),(1,
12、0,0),(0,0,3),(3,23,0)OEDB EO平面AD F,(1,0,0)OEuuu r为平面AD F的一个法向量.设平面BD F 的法向量为(,)nx y z(0,0)Ft,(3,2 3,3),(3,2 3,0)BDBFtuuuu ruu u r,由00n BDn BFuu uu ruuu r得32 3303(2 3)0 xyzxty取3y则2 3,(2 3,3,)xtzt nttcos4n OEn OEuu u ruuu r即222 322(23)9ttt,34t.当1134CF时,二面角AD FB的大小是4解析：6 答案及解析：答 案：1.记 直 线AM与 平 面 PAB 所
13、成 的 角 为,(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2)ABCP1(0,1)2M，则3(1,1,0),(0,1,2),(0,1)2ABPAAMuuu ru uu ruu uu r，设平面 PAB 的法向量为(,)nx y zr，所以00n ABn PAruuu rruu u r即020 xyyx取(2,2,1)nr，所以24 13sincos,391332n AMn AMnAMruu uu rr uu uu rruuuu r，即直线 AM 与平面 P AB 所成角的正弦值为4 1339.2.设平面 PBC 的法向量为1(,)nx y zu u r，(1,1,0),(1,0
14、,2)BCPBuuu ru uu r由1100nBCnPBu u r uuu ru u r uuu r即020 xyxy取1(2,2,1)nu u r，所以11111cos,339nnn nnnru u rr u u rru u r，由图可知二面角APBC 的余弦值为19解析：7 答案及解析：答案：（1）如图，以点D 为坐标原点，DA为 x 轴，DC 为 y 轴，1DD 为 z 轴建立空间直角坐标系则12,0,0,0,2,0,2,0,2ACA，12,2,2,2,1,1,1,1,0BMN(1,0,1)MNuu uu r，1(2,0,2)BCu uu u r12B CMNuuu u ru uuu
15、r，1/B CMNuuu u ru uu u r，即1/MNBC（2）易得1(2,0,0),(2,2,2)AB，1(0,2,0),(0,2,2)DCABuuu ru uur设平面ADE的一个法向量为111(,)mxyzu r，则1110,0,n B Cn ABruu uu rruu uu r即220,20,xzy令1z，则1,0 xy，所以(1,0,1)mu r设1A B 与平面11A BCD 所成角为，则111|2|1sin|cos,|22 22A B nA B nABnuuu rruuu r ru uu rr1A B 与平面11A BCD 所成角为 30 解析：8 答案及解析：答案：(1)
16、证明：PAQ平面ABC,AB AC 在平面ABC内，,PAAB PAAC.又ABAC,AB AC AP两两垂直，以点A 为坐标原点,AB AC AP 分别为,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由题意得0,0,0A3,0,02B,0,3,0,0,0,3CP2BEEC,1,1,0E,2ADDCQ,0,2,0D.(1,1,0)DEuuu r,(1,1,0)AEu uu r.0DE AEuuu r uuu r,DEAEuu u ruuu r,DEAE,同理可得DEAP,又 APAEA,DE平面 PAE.(2)解设,mx y zu r是平面PEB的一个法向量,则,mCEmPEuuu rruuu
17、rr-20,-30.xyxyz令1z,则2,1,1mr，由(1)得(1,1,0)DEuuu r是平面 APE 的一个法向量,cos,m DEu r uuu r=2136|62m DEmDEuu u rruuu rr,由图形得二面角APEB为锐角，二面角APEB的余弦值为36.解析：9 答案及解析：答案：（1）证明：222ADBDAB ADBDQ/ADBC BCBD又 PD底面 ABCD PDBC PDBDDI BC平面 PBDQBC平面PBC平面 PBC平面 PBD（2）由 1知，,DA DB DP 两两垂直分别以,DA DB DP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz设1AD
18、得2AB,3BD，令 PDt，则13(1,0,0),(0,3,0),(1,3,0),(0,0,),(,)222tABCPtQ13(1,0,),(,)222tAPtBQuuu ru uu r.2112tAP BQuuu ru uu r，1t故13 113 1(,),(,)222222DQBQuuu ruuu r，设平面QBD的法向量为(,)nx y zr，则13102221310222nDQxyznBQxyzruuu rruuu r，令1x，得0,1yz，即(1,0,1)nr易知平面 BDC 的一个法向量为(0,0,1)mu r则12cos,221m nrr二面角 QBDC 的大小为4.解析：1
19、0 答案及解析：答案：（1）证明：如图，过点S作 SHAC 于点 H，连接.BH在 RtASC中，由90,60,4 3,ASCCASAC可得2 3,6.ASSC在 RtAHS中，由,60,SHACCAS可得3,3.SHAH在 RtABC中，由4 3,30,ACCAB可得6.AB在ABH中，由余弦定理得222(3)6263cos3021,BH即21,BH在SHB中，3,21,30,SHBHSB222,SBSHBH.SHBH又,SHAC BHACHISH平面,ABCSHQ平面,ASC平面 ASC平面.ABC（2）解：如图所示以点H 为坐标原点，,HA HS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，在平面ABC上垂直于 AC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，则3(0,0,3)(2 3,3,0),(,0,0),4SBM则3(,0,3),(2 3,3,3),4SMSBuuu ru ur易知平面 ASM 的一个法向量为(0,1,0)n,设平面SMB的一个法向量为(,)mx y z,则0,0,m SMm SBu uu ru u r即330,423330,xzyz令1,z得(43,7,1)m于是 cos,m nm nm n72.2148491又二面角ASMB为钝角，所以二面角ASMB 为 135.解析：