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1、高中数学2.2.3 向量数乘运算及其几何意义备课资料新人教 A 版必修 4 1/3 高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义备课资料新人教 A版必修 4 一、向量的数乘运算律的证明设 a、b 为任意向量,、为任意实数,则有(1)(a)=()a;(2)(+)a=a+a;(3)(a+b)=a+b.证明：(1)如果=0 或=0 或 a=0,则式显然成立.如果 0,0,且 a0,则根据向量数乘的定义,有|(a)|=|a|=|a|,|()a|=|a|=|a|.所以|(a)|=|()a|.如果、同号,则式两边向量的方向都与a 同向;如果、异号,则式两边向量的方向都与 a 反向.因此,向量(a)与()
2、a 有相等的模和相同的方向,所以这两个向量相等.(2)如果=0 或=0 或 a=0,则显然成立.如果 0,0 且 a 0,可分如下两种情况:当、同号时,则 a 和 a 同向,所以|(+)a|=|+|a|=(|+|)|a|,|a+a|=|a|+|a|=|a|+|a|=(|+|)|a|,即有|(+)a|=|a+a|.由、同号,知式两边向量的方向或都与a 同向,或都与 a 反向,即式两边向量的方向相同.综上所述,式成立.如果、异号,当 时,式两边向量的方向都与a 的方向相同;当 0 且 1 时如图13,在平面内任取一点O作OA=a,AB=b,1OA=a,11BA=b,则OB=a+b,1OB=a+b.
3、由作法知AB11BA,有 OA B=OA1B1,|11BA|=|AB|.高中数学2.2.3 向量数乘运算及其几何意义备课资料新人教 A 版必修 4 2/3 所以|1OAOA=|1111BABA=.所以 AOB A1OB1.所以|1OBOB=,AOB=A1OB1.图 14 因此 O、B、B1在同一条直线上,|1OB|=|OB|,1OB与 OB的方向也相同.所以(a+b)=a+b.当 0 时,由图 14 可类似证明(a+b)=a+b.所以式也成立.二、备用习题1.3121(2 a+8b)-(4 a-2b)等于（）A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b2.设两非零向量e1、e2不共线,且
4、 ke1+e2与 e1+ke2共线,则 k 的值为（）A.1 B.-1 C.1 D.0 3.若向量方2x-3(x-2a)=0,则向量 x 等于（）A.56a B.-6a C.6a D.56a 4.在A BCAE=51AB,EF BC,EF交 AC于 F,设AB=a,AC=b,则BF用 a、b 表示的形式是BF=_.5.在A BC,M、N、P分别是 AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点,O 是A BC平面上的任意一点,若OA+OCOB=31e1-21e2,则OPONOM=_.6.已知A BC的重心为G,O为坐标原点,OA=a,OB=b,OC=c,求证:OG=31(a+b+c).7.对判
5、断向量a=-2e 与 b=2e 是否共线?有如下解法:解:a=-2e,b=-2e,b=-a.a 与 b 共线.请根据本节所学的共线知识给以评析.如果解法有误,请给出正确解法.参考答案:1.B 2.C 3.C 4.-a+51b高中数学2.2.3 向量数乘运算及其几何意义备课资料新人教 A 版必修 4 3/3 5.31e1-21e2.6.连接 AG并延长,设 AG交BC于 M.AB=b-a,AC=c-a,BC=c-b,AM=AB+21BC=(b-a)+21(c-b)=21(c+b-2a).AG=32AM=31(c+b-2a).OG=OA+AG=a+31(c+b-2a)=31(a+b+c).7.评析
6、:乍看上述解答,真是简单明快.然而,仔细研究题目已知,却发现其解答存在问题,这是因为,原题已知中,对向量 e 并无任何限制,那么就应允许e=0,而当 e=0 时,显然,a=0,b=0,此时,a 不符合定理中的条件,且使 b=a 成立的 值也不唯一(如=-1,=1,=2 等均可使 b=a 成立),故不能应用定理来判断它们是否共线.可见,对 e=0 的情况应另法判断才妥.综上分析,此题应解答如下:解:(1)当 e=0 时,则 a=-2e=0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以此时a 与 b 共线.(2)当 e0 时,则 a=-2e0,b=2e0,b=-a这时满足定理中的a0,及有且只有一个实数(=-1),使得 b=a 成立.a 与 b 共线.综合(1)(2),可知 a 与 b 共线.(设计者：沈献宏)