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1、第 33 练与抛物线有关的热点问题题型分析 高考展望 抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点.考查形式有选择题、填空题也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上.体验高考1.(2015四川)设直线 l 与抛物线y24x 相交于 A，B 两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是()A.(1，3)B.(1，4)C.(2，3)D.(2，4)答案D解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则y214x1
2、，y224x2，相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，当直线 l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率 k 存在时，如图 x1x2，则有y1y22y1 y2x1 x2 2，即 y0 k2，由 CM AB 得，ky0 0 x0 5 1，y0 k5x0，25x0，x03，即 M 必在直线x3 上，将 x3 代入 y24x，得 y2 12，2 3y02 3，点 M 在圆上，(x05)2y20r2，r2y20412416，又 y2044，4r216，2r4.故选 D.2.(2015浙江)如图，设抛物线y24x 的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中
3、点 A，B 在抛物线上，点C 在 y 轴上，则 BCF 与 ACF 的面积之比是()A.|BF|1|AF|1B.|BF|2 1|AF|2 1C.|BF|1|AF|1D.|BF|21|AF|21答案A解析由图形可知，BCF 与 ACF 有公共的顶点F，且 A，B，C 三点共线，易知BCF与 ACF 的面积之比就等于|BC|AC|.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则 l 的方程为x1.点 A，B 在抛物线上，过A，B 分别作 AK，BH 与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与 y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN 中，BMAN，|BC|AC|B
4、M|AN|BF|1|AF|1.3.(2016四川)设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为()A.33B.23C.22D.1答案C解析如图，由题意可知Fp2，0，设 P 点坐标为y202p，y0，显然，当y00 时，kOM0 时，kOM0，要求 kOM的最大值，不妨设y00.则OMOFFMOF13FP OF13(OPOF)13OP23OFy206pp3，y03，kOMy03y206pp32y0p2py022222，当且仅当y202p2时等号成立.故选 C.4.(2016课标全国乙)
5、以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于 A，B 两点，交C 的准线于D，E两点.已知|AB|42，|DE|25，则 C 的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.8答案B解析不妨设抛物线C：y22px(p0)，则圆的方程可设为x2y2r2(r0)，如图，又可设 A(x0，22)，Dp2，5，点 A(x0，2 2)在抛物线y22px 上，82px0，点 A(x0，2 2)在圆 x2y2r2上，x208r2，点 D p2，5 在圆 x2y2 r2上，p22 5r2，联立 ，解得 p4，即 C 的焦点到准线的距离为p4，故选 B.5.(2015上海)抛物线 y22px(p0)上的动点Q 到焦
6、点的距离的最小值为1，则 p _.答案2解析根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离最小，所以有|PQ|minp21?p2.高考必会题型题型一抛物线的定义及其应用例 1已知 P 为抛物线y26x 上一点，点P 到直线 l：3x4y260 的距离为d1.(1)求 d1的最小值，并求此时点P 的坐标；(2)若点 P 到抛物线的准线的距离为d2，求 d1d2的最小值.解(1)设 P(y206，y0)，则 d1|12y20 4y026|5110|(y0 4)236|，当 y04 时，(d1)min185，此时 x0y20683，当 P 点坐标为(83，4)时，(
7、d1)min185.(2)设抛物线的焦点为F，则 F(32，0)，且 d2|PF|，d1d2 d1|PF|，它的最小值为点F 到直线 l 的距离|9226|56110，(d1d2)min6110.点评与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.变式训练1(1)(2016 浙江)若抛物线y24x 上的点 M 到焦点的距离为10，则点 M 到 y 轴的距离是 _.(2)已知点 P 在抛物线y24x 上，那么点P 到 Q(2，1)的距离与点P 到
8、抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为()A.(14，1)B.(14，1)C.(1，2)D.(1，2)答案(1)9(2)B解析(1)抛物线y24x 的焦点F(1，0).准线为 x 1，由 M 到焦点的距离为10，可知M到准线 x 1 的距离也为10，故 M 的横坐标满足xM110，解得 xM9，所以点 M 到 y轴的距离为9.(2)抛物线 y24x 焦点为 F(1，0)，准线为x 1，作 PQ 垂直于准线，垂足为M，根据抛物线定义，|PQ|PF|PQ|PM|，根据三角形两边之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：|PQ|PM|的最小值是点Q 到抛物线准线x 1 的距离.所以点 P
9、纵坐标为 1，则横坐标为14，即(14，1).题型二抛物线的标准方程及几何性质例 2(2015 福建)已知点 F 为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E 上，且|AF|3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点 G(1，0)，延长 AF 交抛物线E 于点 B，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一(1)解由抛物线的定义得|AF|2p2.因为|AF|3，即 2p23，解得 p2，所以抛物线E 的方程为y24x.(2)证明因为点 A(2，m)在抛物线E：y2 4x 上，所以 m2 2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，22).由 A(2，2 2
10、)，F(1，0)可得直线 AF 的方程为y22(x1).由y2 2 x1，y24x，得 2x25x20，解得 x 2 或 x12，从而 B12，2.又 G(1，0)，所以 kGA2 202 12 23，kGB2012 1223.所以 kGA kGB0，从而 AGF BGF，这表明点F 到直线 GA，GB 的距离相等，故以F为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.方法二(1)解同方法一.(2)证明设以点 F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r.因为点 A(2，m)在抛物线E：y24x 上，所以 m2 2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，22).由 A(2，2 2)，F(1，0)可得直
11、线 AF 的方程为y22(x1).由y2 2 x1，y24x，得 2x25x20.解得 x 2 或 x12，从而 B12，2.又 G(1，0)，故直线 GA 的方程为2 2x3y 220.从而 r|2 22 2|894217.又直线 GB 的方程为2 2x3y 220.所以点 F 到直线 GB 的距离 d|2222|894 217r.这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.点评(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在
12、方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.变式训练2已知抛物线C 的顶点在坐标原点O，其图象关于y 轴对称且经过点M(2，1).(1)求抛物线C 的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点 M 作抛物线C 的两条弦MA，MB，设 MA，MB 所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1k2 2 时，试证明直线AB 的斜率为定值，并求出该定值.解(1)设抛物线 C 的方程为x22py(p0)，由点 M(2，1)在抛物线C 上，得 42p，则 p2，抛物线 C 的方程为x24y.(2)
13、设该等边三角形OPQ 的顶点 P，Q 在抛物线上，且 P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则 x2P4yP，x2Q4yQ，由|OP|OQ|，得 x2Py2Px2Qy2Q，即(yPyQ)(yPyQ4)0.又 yP0，yQ0，则 yPyQ，|xP|xQ|，即线段 PQ 关于 y 轴对称.POy30，yP3xP，代入 x2P4yP，得 xP43，该等边三角形边长为8 3，SPOQ483.(3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x214y1，x224y2，k1k2y11x12y21x2214x211x1214x221x2214(x12x22)2.x1x2 12，kABy2y1x2x114x2
14、214x21x2x114(x1x2)3.题型三直线和抛物线的位置关系例 3已知圆 C1的方程为x2(y 2)21，定直线l 的方程为y 1.动圆 C 与圆 C1外切，且与直线l 相切.(1)求动圆圆心C 的轨迹 M 的方程；(2)直线 l与轨迹 M 相切于第一象限的点P，过点 P 作直线 l的垂线恰好经过点A(0，6)，并交轨迹M 于异于点P 的点 Q，记 S为 POQ(O 为坐标原点)的面积，求S的值.解(1)设动圆圆心C 的坐标为(x，y)，动圆半径为R，则|CC1|x2 y22R1，且|y1|R，可得x2 y 22|y1|1.由于圆 C1在直线 l 的上方，所以动圆C 的圆心 C 应该在
15、直线l 的上方，有 y 10，x2 y22y 2，整理得 x28y，即为动圆圆心C 的轨迹 M 的方程.(2)设点 P 的坐标为(x0，x208)，则 yx28，y14x，klx04，kPQ4x0，直线 PQ 的方程为y4x0 x6.又 kPQx2086x0，x2086x04x0，x2016，点 P 在第一象限，x04，点 P 的坐标为(4，2)，直线 PQ 的方程为y x6.联立y x 6，x28y，得 x2 8x480，解得 x 12 或 4，点 Q 的坐标为(12，18).S12|OA|xPxQ|48.点评(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数
16、的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.变式训练3(2015 课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线 C：yx24与直线 l：ykx a(a0)交于 M，N 两点，(1)当 k0 时，分别求C 在点 M 和 N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P，使得当k 变动时，总有OPM OPN？说明理由.解(1)由题设可得M(2a
17、，a)，N(2 a，a)，或 M(2a，a)，N(2a，a).又 yx2，故 yx24在 x2 a处的导数值为a，C 在点(2a，a)处的切线方程为yaa(x2a)，即axya0.yx24在 x 2 a处的导数值为a，C 在点(2a，a)处的切线方程为yaa(x 2a)，即axya0.故所求切线方程为ax ya0 和axya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为k1，k2.将 ykx a 代入 C 的方程得x24kx4a0.故 x1x24k，x1x2 4a.从而 k1k2y1bx1y2bx22kx
18、1x2 ab x1x2x1x2k aba.当 b a时，有 k1k20，则直线 PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故 OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意.高考题型精练1.如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点A、B，交其准线l于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()A.y29xB.y26x C.y23xD.y23x答案C解析如图，分别过点A，B 作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由定义得：|BD|a，故 BCD30.在直角三角形ACE 中，|AF|3，|AE|3，|AC|33a，
19、2|AE|AC|，33a6，从而得 a1，BDFG，1p23，求得 p32，因此抛物线方程为y23x，故选 C.2.已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，P、Q 是抛物线上的两个点，若PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是()A.2 3 B.23 C.3 1 D.31答案A解析依题意得Fp2，0，设 Py212p，y1，Qy222p，y2(y1y2).由抛物线定义及|PF|QF|，得y212pp2y222pp2，y21y22，y1 y2.又|PQ|2，因此|y1|y2|1，点 P12p，y1.又点 P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|12pp2 2，由此解得p2 3，故选 A
20、.3.设 F 为抛物线y28x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若FAFBFC0，则|FA|FB|FC|的值是()A.6 B.8 C.9 D.12答案D解析由抛物线方程，得F(2，0)，准线方程为x 2.设 A，B，C 坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则由抛物线的定义，知|FA|FB|FC|x12x2 2x32x1x2x36.因为 FAFB FC0，所以(x12x22 x3 2，y1y2y3)(0，0)，则 x12x2 2x320，即 x1x2x36，所以|FA|FB|FC|FA|FB|FC|x1x2x3612，故选 D.4.已知抛物线C：y28x 的焦点为F，
21、点 M(2，2)，过点 F 且斜率为k的直线与C 交于 A，B 两点，若 AMB 90，则 k 等于()A.2 B.22C.12D.2答案D解析抛物线 C：y28x 的焦点为F(2，0)，由题意可知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线方程为yk(x2)，代入抛物线方程可得k2x2(4k28)x4k20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x248k2，x1 x24，所以 y1y28k，y1 y2 16，因为 AMB90，所以 MA MB(x12，y12)(x22，y22)16k216k40，解得 k 2，故选 D.5.已知点 A(2，3)在抛物线C：y22px 的准线上，过点 A
22、的直线与 C 在第一象限相切于点B，记 C 的焦点为F，则直线BF 的斜率为()A.12B.23C.34D.43答案D解析抛物线 y2 2px 的准线为直线xp2，而点 A(2，3)在准线上，所以p2 2，即p4，从而 C：y28x，焦点为F(2，0).设切线方程为y3k(x2)，代入 y28x 得k8y2y2k30(k0)，由于 14k8(2k3)0，所以 k 2或 k12.因为切点在第一象限，所以k12.将 k12代入 中，得 y8，再代入y28x 中得 x8，所以点 B 的坐标为(8，8)，所以直线BF 的斜率为8643.6.已知 A(x1，y1)是抛物线y28x 的一个动点，B(x2，
23、y2)是圆(x2)2y216 上的一个动点，定点 N(2，0)，若 ABx 轴，且 x10)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2 p2，x1x2p24；(2)1|AF|1|BF|为定值；(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为xmyp2，代入 y2 2px，得 y22p myp2，即 y22pmyp20.(*)则 y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2 p2.因为 y212px1，y222px2，所以 y21y224p2x1x2，所以 x1x2y21y224p2p44p2p24.(2)1|AF|1|BF|1x1p21x2p2x1 x2 px1x2p2x1x2p24.因为 x1x2p24，x1x2|AB|p，代入上式，得1|AF|1|BF|AB|p24p2|AB|p p242p(定值).(3)设 AB 的中点为M(x0，y0)，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足为C，D，过 M 作准线的垂线，垂足为N，则|MN|12(|AC|BD|)12(|AF|BF|)12|AB|.所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.