考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题3函数与导数第9练.pdf

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1、第 9 练顾全局 函数零点与方程的根题型分析 高考展望 函数零点问题是高考常考题型,一般以选择题、填空题的形式考查,难度为中档.其考查点有两个方面:一是函数零点所在区间、零点个数;二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.体验高考1.(2015天津)已知函数f(x)2|x|,x 2,x22,x2,函数 g(x)3f(2 x),则函数yf(x)g(x)的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5答案A解析当 x2 时,g(x)x1,f(x)(x 2)2;当 0 x2 时,g(x)3x,f(x)2x;当 x2 时,方程f(x)g(x)0 可化为 x25x50,其根为 x552或 x552

2、(舍去);当 0 x2 时,方程f(x)g(x)0可化为 2x3x,无解;当 x0 时,方程 f(x)g(x)0 可化为 x2x10,其根为 x152或 x152(舍去).所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2.2.已知函数f(x)(14)x cos x,则 f(x)在0,2 上的零点个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析f(x)在0,2 上的零点个数就是函数y(14)x和 ycos x 的图象在 0,2 上的交点个数,而函数 y(14)x和 ycos x 的图象在 0,2 上的交点有3 个.3.(2016上海)设 aR,b 0,2.若对任意实数x 都有 sin(3x3)sin(

3、axb),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析对于任意实数x 都有 sin(3x3)sin(axb),则函数的周期相同,若 a3,此时 sin(3x3)sin(3xb),则 b32 53;若 a 3,则方程等价为sin(3x3)sin(3xb)sin(3xb)sin(3xb),则3 b,b43.综上,满足条件的有序实数对(a,b)为 3,53,3,43.4.(2015江苏)已知函数f(x)|ln x|,g(x)0,0 x1,|x24|2,x1,则方程|f(x)g(x)|1 实根的个数为 _.答案4解析令 h(x)f(x)g(x),则 h(x)ln

4、 x,0 x1,x2 ln x2,1x2,x2ln x6,x 2,当 1x2 时,h(x)2x1x12x2x0,故当 1 x2 时 h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y|h(x)|和 y1 的图象如图所示.由图象可知|f(x)g(x)|1 的实根个数为4.高考必会题型题型一零点个数与零点区间问题例 1(1)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x0 时,f(x)x23x,则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合为()A.1,3 B.3,1,1,3C.2 7,1,3 D.27,1,3(2)(2015北京)设函数 f(x)2xa,x1,4 xa x2a,x1.若 a 1,则 f(x)的最小值

5、为 _;若 f(x)恰有 2 个零点,则实数a 的取值范围是_.答案(1)D(2)112,1 2,)解析(1)令 x0,所以 f(x)(x)23xx23x.因为 f(x)是定义在R 上的奇函数,所以 f(x)f(x),所以当 x0 时,f(x)x23x.当 x0 时,g(x)x2 4x3,令 g(x)0,即 x24x30,解得 x1 或 x3;当 x0(舍去)或 x 27.所以函数g(x)有 3 个零点,其集合为27,1,3.(2)当 a1 时,f(x)2x1,x1,4 x1 x2,x 1.当 x1 时,f(x)2x1(1,1),当 x1 时,f(x)4(x23x 2)4x322141,f(x

6、)min 1.由于 f(x)恰有 2 个零点,分两种情况讨论:当 f(x)2x a,x1 没有零点时,a2 或 a0.当 a2 时,f(x)4(xa)(x2a),x1 时,有 2 个零点;当 a0 时,f(x)4(xa)(x2a),x1 时,无零点.因此 a 2满足题意.当 f(x)2x a,x1 有 1 个零点时,0a2.f(x)4(x a)(x2a),x1 有 1 个零点,此时 a1,2a1,因此12a1.综上知实数a 的取值范围是a|12a1或a2.点评确定函数零点的常用方法(1)当方程易求解时,用解方程判定法;(2)数形结合法,在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难

7、以入手时,可以转化为某一易入手的等价问题求解,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.变式训练 1x表示不超过x的最大整数,例如 2.9 2,4.1 5.已知 f(x)xx(xR),g(x)log4(x1),则函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析函数 h(x)f(x)g(x)的零点个数可转化为函数f(x)与 g(x)图象的交点个数,作出函数f(x)x xx1,1 x0,x,0 x1,x1,1x2,与函数 g(x)log4(x1)的大致图象如图,由图可知两函数图象的交点个数为2

8、,即函数 h(x)f(x)g(x)的零点个数是2.题型二由函数零点求参数范围问题例 2若关于 x 的方程 22x2xaa 10 有实根,求实数a 的取值范围.解方法一(换元法)设 t2x(t0),则原方程可变为t2ata10,(*)原方程有实根,即方程(*)有正根.令 f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1,t2,则 a24 a1 0,t1t2 a0,t1 t2a10,解得 1a222;若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意,舍去),则 f(0)a10,解得 a 1;若方程(*)有一个正实根和一个零根,则 f(0)0 且a20,解得 a 1.综上,a 的取值范围是(,

9、222.方法二(分离变量法)由方程,解得a22x12x1,设 t2x(t0),则 at21t1 t2t1 12t1 2t1,其中 t11,由基本不等式,得(t1)2t1 2 2,当且仅当t21 时取等号,故a2 2 2.点评利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.变式训练2已知函数f(x)ax1,x0,lg x,x0,若关于 x 的方程ff(x)0 有且只有一个实数解,则实数a 的取值范围为_.答案(1,0)(0,)解析依题意,得a0,

10、令 f(x)0,得 lg x0,即 x1.由 ff(x)0,得 f(x)1.当 x0 时,函数ylg x 的图象与直线y 1 有且只有一个交点,则当 x 0 时,函数yax 1的图象与直线y1 没有交点.若 a0,结论成立;若 a0,则函数yax1的图象与y 轴交点的纵坐标a1,得 1a0,则实数 a 的取值范围为(1,0)(0,).高考题型精练1.若偶函数f(x)满足 f(x 1)f(x1),且当 x0,1时,f(x)x2,则关于 x 的方程 f(x)(110)x在0,103上的根的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析当 x1,0时,x0,1,所以 f(x)x2,因为 f(x)

11、为偶函数,所以f(x)x2.又 f(x1)f(x 1),所以 f(x2)f(x1)1)f(x1)1)f(x),故 f(x)是以 2 为周期的周期函数.据此在同一坐标系中作出函数yf(x)与 y110 x在0,103上的图象如图所示,数形结合得两图象有3 个交点,故方程 f(x)110 x在 0,103上有 3 个根,故选C.2.函数 f(x)2sin xx 1 的零点个数为()A.4 B.5 C.6 D.7答案B解析2sin xx10,2sin xx 1,图象如图所示,由图象看出y2sin x 与 yx1 有 5 个交点,f(x)2sin x x1 的零点个数为5.3.已知函数f(x)1,x0

12、,1x,x0,则使方程xf(x)m 有解的实数m 的取值范围是()A.(1,2)B.(,2C.(,1)(2,)D.(,12,)答案D解析当 x0 时,xf(x)m,即 x1m,解得 m1;当 x0 时,xf(x)m,即 x1xm,解得 m2.即实数 m 的取值范围是(,12,).故选 D.4.定义域为R 的偶函数f(x)满足对任意xR,有 f(x2)f(x)f(1),且当 x2,3时,f(x)2x212x18,若函数yf(x)loga(x1)在(0,)上恰有三个零点,则a 的取值范围是()A.0,22B.0,33C.0,55D.55,33答案D解析因为 f(x2)f(x)f(1),所以 f(1

13、)f(1)f(1),又因为 f(x)是偶函数,所以f(1)0,所以函数f(x)是以 2 为周期的偶函数.函数 yf(x)loga(x1)在(0,)上恰有三个零点可化为函数yf(x)与 y loga(x1)在(0,)上有三个不同的交点.作函数 yf(x)与 yloga(x1)的图象如下图.结合函数图象知,loga21 2,loga41 2,解得55a33,故选 D.5.已知 x1,x2是函数 f(x)ex|ln x|的两个零点,则()A.1ex1x21 B.1x1x2eC.1x1x210 D.ex1x210答案A解析在同一坐标系中画出函数yex与 y|ln x|的图象如图.结合图象不难看出,它们

14、的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,),即在 x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,).不妨设 x1(0,1),x2(1,),则有 e1-x|ln x1|ln x1(e1,1),e2-x|ln x2|ln x2(0,e1),e2-xe1-x ln x2ln x1ln x1x2(1,0),于是有 e1x1x2e0,即1ex1x21.6.已知函数f(x)exa,x0,2x1,x0(aR),若函数f(x)在 R 上有两个零点,则a 的取值范围是()A.(,1)B.(,0)C.(1,0)D.1,0)答案D解析当 x0 时,f(x

15、)2x1.令 f(x)0,解得 x12;当 x0 时,f(x)exa,此时函数f(x)exa 在(,0上有且仅有一个零点,等价转化为方程ex a 在(,0上有且仅有一个实根,而函数yex在(,0上的值域为(0,1,所以0 a1,解得 1a0.故选 D.7.已知函数f(x)2x1,x0,x22x,x0,若函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点,则实数m 的取值范围是 _.答案(0,1)解析画出 f(x)2x 1,x0,x22x,x 0的图象,如图,由于函数g(x)f(x)m有 3 个零点,结合图象得:0m1,即 m(0,1).8.已知函数f(x)12x34,x2,log2x,0 x2,若函数

16、g(x)f(x)k 有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围是 _.答案34,1解析画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)f(x)k 有两个不同零点,只需 y f(x)与 yk 的图象有两个不同交点,由图易知k34,1.9.(2015湖南)若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点,则实数b 的取值范围是 _.答案(0,2)解析由 f(x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与 yb 的图象,如图所示.则当 0b2 时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)|2x2|b 有两个零点.10.已知 xR,符号 x表示不超过x 的最大整数,若函数f(x)xxa(x

17、0)有且仅有 3 个零点,则 a 的取值范围是 _.答案34,4543,32解析当 0 x1 时,f(x)xxa a,当 1x2 时,f(x)xxa1xa,当 2x3 时,f(x)xxa2xa,.f(x)xxa 的图象是把yxx的图象进行纵向平移而得到的,画出 yxx的图象,通过数形结合可知a34,45.当 x0 时,同理可得a43,32.综上,a34,4543,32.11.设函数 f(x)11x(x0).(1)作出函数f(x)的图象;(2)当 0a b,且 f(a)f(b)时,求1a1b的值;(3)若方程 f(x)m 有两个不相等的正根,求m 的取值范围.解(1)如图所示.(2)f(x)11

18、x1x1,x 0,1,11x,x 1,故 f(x)在(0,1)上是减函数,而在(1,)上是增函数.由 0ab 且 f(a)f(b),得 0a1b,且1a111b,1a1b2.(3)由函数 f(x)的图象可知,当0m1 时,方程 f(x)m 有两个不相等的正根.12.已知函数f(x)exax a(aR 且 a0).(1)若函数 f(x)在 x0 处取得极值,求实数a 的值,并求此时f(x)在2,1上的最大值;(2)若函数 f(x)不存在零点,求实数a 的取值范围.解(1)函数的定义域为R,f(x)exa,由函数 f(x)在 x0 处取得极值,则 f(0)1a0,解得 a 1,即有 f(x)ex

19、x1,f(x)ex1.当 x0 时,有 f(x)0,f(x)单调递减,当 x0 时,有 f(x)0,f(x)单调递增.则在 x 0 处 f(x)取得极小值,也为最小值,值为2.又 f(2)e23,f(1)e,f(2)f(1),即有最大值e23.(2)函数 f(x)不存在零点,即为 exaxa0 无实数解.当 x1 时,e00 显然不成立,即有aR 且 a0.若 x1,即有 aexx1.令 g(x)exx1,则 g(x)exx2x12,当 x2 时,g(x)0,g(x)单调递增,当 x1 或 1x2 时,g(x)0,g(x)单调递减.即在 x 2 处 g(x)取得极小值e2,当 x1 时,g(x)0,则有 0 ae2,解得 e2a 0,则实数 a 的取值范围为(e2,0).

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