《考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题3函数与导数第14练(20200812053933).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题3函数与导数第14练(20200812053933).pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 14 练函数的极值与最值题型分析 高考展望 本部分内容为导数在研究函数中的一个重要应用，在高考中也是重点考查的内容，多在解答题中的某一问中考查，要求熟练掌握函数极值与极值点的概念及判断方法，极值和最值的关系.体验高考1.(2016四川)已知 a为函数 f(x)x312x 的极小值点，则a 等于()A.4 B.2 C.4 D.2答案D解析f(x)x3 12x，f(x)3x212，令 f(x)0，则 x1 2，x22.当 x(，2)，(2，)时，f(x)0，则 f(x)单调递增；当 x(2，2)时，f(x)0时，(x2)exx20；(2)证明：当 a0，1)时，函数 g(x)exaxax2(x
2、0)有最小值.设 g(x)的最小值为h(a)，求函数 h(a)的值域.(1)解f(x)的定义域为(，2)(2，).f(x)x1 x2 ex x2 exx22x2exx22 0，当且仅当x0 时，f(x)0，所以 f(x)在(，2)，(2，)上单调递增.所以当 x(0，)时，f(x)f(0)1.所以(x 2)ex(x2)，即(x 2)ex x20.(2)证明g(x)x2 exa x2x3x 2x3(f(x)a).由(1)知，f(x)a 单调递增，对任意a0，1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一xa(0，2，使得 f(xa)a 0，即 g(xa)0.当 0 xxa时，f(x)a0
3、，g(x)xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增.因此 g(x)在 xxa处取得最小值，最小值为22e(+1)e()(+1)e().+2aaaxxxaaaaaaaa xf xxg xxxx于是 h(a)e.+2axax由exx2x1 exx220，得exx2单调递增.所以，由 xa(0，2，得12e002h(a)e+2axaxe222e24.因为exx2单调递增，对任意 12，e24，存在唯一的xa(0，2，a f(xa)0，1)，使得h(a).所以 h(a)的值域是12，e24.综上，当a0，1)时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是12，e24.3.(2015安徽)设函
4、数 f(x)x2ax b.(1)讨论函数f(sin x)在2，2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2)记 f0(x)x2a0 xb0，求函数|f(sin x)f0(sin x)|在2，2上的最大值D；(3)在(2)中，取 a0b00，求 zba24满足 D1 时的最大值.解(1)f(sin x)sin2xasin xbsin x(sin xa)b，2x2.f(sin x)(2sin xa)cos x，2x2.因为2x0，22sin x2.a2，bR 时，函数f(sin x)单调递增，无极值.a2，b R 时，函数f(sin x)单调递减，无极值.对于 2a2，在 2，2内存在唯一的
5、x0，使得 2sin x0a.2xx0时，函数f(sin x)单调递减；x0 x2时，函数f(sin x)单调递增；因此，2a2，bR 时，函数f(sin x)在 x0处有极小值f(sin x0)fa2ba24.(2)2x2时，|f(sin x)f0(sin x)|(a0a)sin xbb0|aa0|bb0|.当(a0a)(bb0)0时，取 x2，等号成立.当(a0a)(bb0)0 时，取 x2，等号成立.由此可知，|f(sin x)f0(sin x)|在2，2上的最大值为D|aa0|bb0|.(3)D 1 即为|a|b|1，此时 0a21，1b 1，从而 zba241.取 a0，b1，则|a
6、|b|1，并且 zba241.由此可知，zba24满足条件D1 时的最大值为1.高考必会题型题型一利用导数求函数的极值例 1(2015 重庆)设函数 f(x)3x2axex(aR).(1)若 f(x)在 x0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若 f(x)在3，)上为减函数，求a 的取值范围.解(1)对 f(x)求导得 f(x)6xa ex 3x2ax exex23x2 6a xaex，因为 f(x)在 x0 处取得极值，所以f(0)0，即 a0.当 a0 时，f(x)3x2ex，f(x)3x2 6xex，故 f(1)3e，f(1)3e，从
7、而 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y3e3e(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知 f(x)3x2 6a xaex.令 g(x)3x2(6 a)xa，由 g(x)0 解得 x16aa2366，x26aa2366.当 xx1时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为减函数；当 x1xx2时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为增函数；当 xx2时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为减函数.由 f(x)在3，)上为减函数，知 x26aa2366 3，解得 a 92，故 a 的取值范围为92，.点评(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后
8、一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点.(2)若函数 yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内一定不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值.变式训练1已知函数f(x)x4axln x32，其中 aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的极值.解(1)对 f(x)求导得 f(x)14ax21x，由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线y12x，知 f(1)34 a 2，解得 a54.(2)由(1)知 f(x)x454xln x32，则 f(x)x24x54x2.令 f(x)0，解得 x 1
9、 或 x5.因为 x 1 不在 f(x)的定义域(0，)内，故舍去.当 x(0，5)时，f(x)0，故 f(x)在(5，)上为增函数.由此知函数f(x)在 x5 时取得极小值f(5)ln 5，f(x)无极大值.题型二利用导数求函数最值例 2已知函数 f(x)x3ax2bxc，曲线 yf(x)在点 x1 处的切线为l：3x y10，当 x23时，yf(x)有极值.(1)求 a，b，c 的值；(2)求 yf(x)在3，1上的最大值和最小值.解(1)由 f(x)x3ax2bxc，得 f(x)3x22axb.当 x1 时，切线l 的斜率为3，可得 2ab0.当 x23时，yf(x)有极值，则f230，
10、可得 4a3b40.由，解得 a2，b 4.由于切点的横坐标为x 1，所以 f(1)4.所以 1 abc4，所以 c5.综上，a2，b 4，c5.(2)由(1)，可得 f(x)x3 2x24x 5，所以 f(x)3x24x 4.令 f(x)0，解得 x1 2，x223.当 x 变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x3(3，2)2(2，23)23(23，1)1f(x)00f(x)81395274所以 y f(x)在3，1上的最大值为13，最小值为9527.点评(1)求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0 的点，再计算函数 y f(x)在区间内所有使f(
11、x)0 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况.变式训练2设 f(x)ax3bxc(a 0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x 6y70 垂直，导函数f(x)的最小值为 12.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)的单调增区间，并求函数f(x)在 1，3上的最大值和最小值.解(1)因为 f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即 ax3bxc ax3bxc，所以 c0，又 f(x)3ax2b 的最小值为12，所以 b 12.由题设知f(1)3ab 6.所以 a 2，故 f(x)2x312x.(2)f(x)6x2
12、126(x2)(x2).当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间为(，2)和(2，).因为 f(1)10，f(3)18，f(2)8 2，f(2)8 2，所以当 x2时，f(x)min 82；当 x3 时，f(x)max 18.高考题型精练1.已知函数f(x)x3ax2bxa2在 x1 处有极值10，则 f(2)等于()A.11 或 18 B.11 C.18 D.17 或 18答案C解析函数 f(x)x3ax2bxa2在 x1 处有极值10，f(x)3x22axb，f(1)10，且 f(1)
13、0，即1aba210，32ab0，解得a 3，b3或a4，b 11.而当a 3，b3时，函数在x1 处无极值，故舍去.f(x)x34x211x 16，f(2)18.2.函数 f(x)3x2ln x2x 的极值点的个数是()A.0 B.1 C.2 D.无数个答案A解析函数定义域为(0，)，且 f(x)6x1x 26x22x1x，由于 x 0，令 g(x)6x22x 1，在 g(x)中 200，所以 g(x)0 恒成立，故f(x)0 恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点.3.设 aR，若函数yexax，x R 有大于零的极值点，则()A.a1 C.a1eD.a0 时，ex 1，a ex1
14、.4.设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值f(1)B.函数 f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数 f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x0；当 2x1 时，f(x)0；当 1x2 时，f(x)2 时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在 x 2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值.5.已知 a 为常数，函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x10，f(x2
15、)12B.f(x1)0，f(x2)0，f(x2)12D.f(x1)12答案D解析f(x)ln x12ax(x0)，令 f(x)0得 2aln x1x.设 (x)ln x 1x，知 (x)ln xx2，(x)草图如图，f(x)的两个极值点0 x11，且 2a(0，1)，a 0，12.由 f(x)草图可知f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增.又 f(1)a，f(x2)f(1)且 a12，0.f(x1)12.6.已知函数f(x)x32bx2cx1 有两个极值点x1，x2，且 x12，1，x21，2，则f(1)的取值范围是()A.32，3 B.32，6 C.3，12D.32
16、，12答案C解析方法一由于 f(x)3x24bxc，据题意，方程3x24bxc 0 有两个根x1，x2，且 x12，1，x21，2.令 g(x)3x24bxc，结合二次函数图象可得，只需g 2 128bc0，g 1 34bc0，g 1 34bc0，g 2 12 8bc 0，此即为关于点(b，c)的线性约束条件，作出其对应平面区域，f(1)2bc，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f(1)2bc 的最值问题，由线性规划易知3f(1)12，故选 C.方法二方程 3x24bxc0 有两个根x1，x2，且 x12，1，x21，2的条件也可以通过二分法处理，即只需g(2)g(1)0，g(2)g(
17、1)0 即可，利用同样的方法也可解答.7.设函数 f(x)ln x12ax2 bx，若 x1 是 f(x)的极大值点，则a 的取值范围为 _.答案(1，)解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)1x axb，由 f(1)0，得 b1a.所以 f(x)1xaxa1ax21 axxxx1 ax1x.若 a 0，当 0 x1 时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减，所以 x 1 是 f(x)的极大值点；若 a 0，由 f(x)0，得 x1 或 x1a，因为 x 1 是 f(x)的极大值点，所以1a1，解得 1a0.综合 得，a 的取值范围是a 1.8.函数 f(
18、x)x3 3axb(a0)的极大值为6，极小值为2，则 f(x)的单调递减区间是_.答案(1，1)解析令 f(x)3x23a0，得 x a，则 f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x(，a)a(a，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值从而a33a a b6，a33a ab2，解得a 1，b 4.所以 f(x)的单调递减区间是(1，1).9.若函数 f(x)(1x2)(x2axb)的图象关于直线x 2 对称，则 f(x)的最大值是 _.答案16解析依题意，f(x2)为偶函数，f(x 2)(x24x3)x2(a4)x42ab，其中 x3的系数为8a0，故 a8，x 的系数为 28
19、4b11a0，故 b15.令 f(x)0，得 x36x27x20，由对称轴为x 2 可知，将该式分解为(x2)(x2 4x1)0.可知其在52 和52 处取到最大值，最大值为16.10.函数 f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是_.答案(22，)解析f(x)3x23a23(x a)(x a)，由 f(x)0得 x a，当 axa 时，f(x)a 或 x0，函数单调递增.f(a)a33a3a0 且 f(a)a33a3a22.a 的取值范围是(22，).11.已知 aR，函数 f(x)axln x1.(1)当 a1 时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处
20、的切线方程；(2)求 f(x)在区间(0，e上的最小值.解(1)当 a1 时，f(x)1xln x1，x(0，)，所以 f(x)1x21xx1x2，x(0，).因此 f(2)14，即曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为14.又 f(2)ln 212，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y ln 21214(x2)，即 x4y 4ln 240.(2)因为 f(x)axln x 1，所以 f(x)ax21xxax2，x(0，).令 f(x)0，得 xa.若 a 0，则 f(x)0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值.若 0 ae，当 x(0，a)时，
21、f(x)0，函数 f(x)在区间(0，a)上单调递减，当 x(a，e时，f(x)0，函数 f(x)在区间(a，e上单调递增，所以当 xa 时，函数 f(x)取得最小值ln a.若 a e，则当 x(0，e时，f(x)0，函数 f(x)在区间(0，e上单调递减，所以当 xe时，函数f(x)取得最小值ae.综上可知，当a0 时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值；当 0ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为ln a；当 ae 时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为ae.12.已知函数f(x)x3x2x1，aln x x1.(1)求 f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求
22、 f(x)在区间 1，e(e 为自然对数的底数)上的最大值.解(1)当 x1 时，f(x)3x22x x(3x2)，令 f(x)0，解得 x 0或 x23.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，23)23(23，1)f(x)00f(x)极小值极大值所以在区间(，1)上，函数f(x)的极小值点为x0，极大值点为x23.(2)当 1x1 时，由(1)知，函数f(x)在 1，0)和(23，1)上单调递减，在(0，23)上单调递增.因为 f(1)2，f(23)427，f(0)0，所以 f(x)在1，1)上的最大值为2.当 1 xe 时，f(x)aln x，当 a0 时，f(x)0；当 a0 时，f(x)在1，e上单调递增，所以 f(x)在 1，e上的最大值为f(e)a.所以当 a2 时，f(x)在1，e上的最大值为a；当 a2 时，f(x)在1，e上的最大值为2.