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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第卷（选择题 共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分（1）【2019年上海，理1，4分】设，则不等式的解集为 【答案】【解析】由题意得：，解得【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用（2）【2019年上海，理2，4分】设，期中为虚数单位，则 【答案】【解析】【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用（3）【2019年上海，理3，4分】已
2、知平行直线，则的距离 【答案】【解析】利用两平行线间距离公式得【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力（4）【2019年上海，理4，4分】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为，则这组数据的中位数是 （米）【答案】【解析】将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：，这六个数的中位数是与的平均数，显然为【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用（5）【2019年上海，理5，4分】已知点在函数的图像上，则的反函数 【答案】【解析】将点带入函数的解析式得，所以，用表示得，所以【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理
3、能力与计算能力，属于中档题（6）【2019年上海，理6，4分】如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于 【答案】【解析】由题意得【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角（7）【2019年上海，理7，4分】方程在区间上的解为 【答案】【解析】化简得：，所以，解得或（舍去），所以在区间上的解为【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力（8）【2019年上海，理8，4分】在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 【答案】112【解析】由二项式定理得：二项式所有项的二
4、项系数之和为，由题意得，所以，二项式的通项为，求常数项则令，所以，所以【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题（9）【2019年上海，理9，4分】已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 【答案】【解析】利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为，所以此角的正弦值为，由正弦定理得，所以【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题（10）【2019年上海，理10，4分】设，若关于的方程组无解，则的取值范围是 【答案】【解析】解法1：将方程组中的（1）式化简
5、得，代入（2）式整理得，方程组无解应该满足且，所以且，所以由基本不等式得解法2：关于，的方程组无解，直线与平行，即，且，则，则，则设，则函数的导数，当时，此时函数为减函数，此时，当时，此时函数为增函数，综上，即的取值范围是【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键（11）【2019年上海，理11，4分】无穷数列由个不同的数组成，为的前项和若对任意，则的最大值为 【答案】4【解析】解法1：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为，所以最多由4个不同的数组成解法2：对任意，可得当时，或；若，由，可得数列的前两项为2，0；
6、或2，1；或3，0；或3，；若，由，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，；或3，0，0；或3，0，；或3，1，0；或3，1，；若，由，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，；或2，1，0，0；或2，1，0，；或2，1，0；或2，1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，；或3，0，0；或3，0，1；或3，0，0；或3，0，1；或3，1，0；或3，1，；即有后一项都为0或1或，则的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，或3，0，1，故答案为：4【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，
7、属于中档题（12）【2019年上海，理12，4分】在平面直角坐标系中，已知，是曲线上一个动点，则的取值范围是 【答案】【解析】由题意得知表示以原点为圆心，半径为1的上半圆设，所以【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用（13）【2019年上海，理13，4分】设，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为 【答案】4【解析】解法1：，当确定时，唯一，故有4种组合解法2：对于任意实数都有，必有，若，则方程等价为，则函数的周期相同，若，此时，若，则，若，则方程等价为，若，则，若，则，综上满足条件的有序实数组为，共有4组【点评】
8、本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键（14）【2019年上海，理14，4分】如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，任取不同的两点，点P满足，则点落在第一象限的概率是 【答案】【解析】共有种基本事件，其中使点落在第一象限共有种基本事件，故概率为【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分（15）【2019年上海，理15，5分】设，则“”是“”的（
9、 ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】，所以是充分非必要条件，故选A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础（16）【2019年上海，理16，5分】下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】依次取，结合图形可知只有满足，故选D【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（17）【2019年上海，理17，5分】已知无穷等比数列的公比为，前项和
10、为，且下列条件中，使得恒成立的是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】解法1：由题意得：对一切正整数恒成立，当时不恒成立，舍去；当时，故选B解法2：，若，则，故A与C不可能成立；若，则，故B成立，D不成立【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用（18）【2019年上海，理18，5分】设、是定义域为的三个函数，对于命题：若、均为增函数，则、中至少有一个增函数；若、均是以为周期的函数，则、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ） （A）和均为真命题 （B）和均为假命题（C）为真命题，为假命题 （D）为假命题，为真命题【答案】D【解
11、析】解法1：因为必为周期为的函数，所以正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此不一定，故选D解法2：不成立可举反例：，前两式作差可得：，结合第三式可得：，同理可得：，因此正确【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤（19）【2019年上海，理19，12分】将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形 成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小解：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径由的长为，
12、可知（2）设过点的母线与下底面交于点，则，所以或其补角为直线与所成的角由长为，可知，又，所以，从而为等边三角形，得因为平面，所以在中，因为，所以，从而直线与所成的角的大小为【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养（20）【2019年上海，理20，14分】有一块正方形菜地，所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图（1）求菜地内的分界线的方
13、程；（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设 是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值解：（1）设分界线上任一点为，依题意，可得（2）设，则，设所表述的矩形面积为，则，设五边形面积为，则，五边形的面积更接近的面积 【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大（21）【2019年上海，理21，14分】双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率解：（1）设由题意，
14、因为是等边三角形，所以，即，解得故双曲线的渐近线方程为（2）由已知，设，直线显然由，得因为与双曲线交于两点，所以，且设的中点为由即，知，故而，所以，得，故的斜率为【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用（22）【2019年上海，理22，16分】已知，函数（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围解：（1）由，得，解得 4分（2），当时，经检验，满足题意当时，经检验，满足题意当且时，是原方程的解当且仅当，即；
15、是原方程的解当且仅当，即于是满足题意的综上，的取值范围为 10分（3）当时，所以在上单调递减函数在区间上的最大值与最小值分别为，即，对任意成立因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得故的取值范围为 16分【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键综合性较强，难度较大（23）【2019年上海，理23，18分】若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质（1）若具有性质，且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”解：（1）因为，所以，于是，又因为，解得 4分（2）的公差为，的公比为，所以，不具有性质10分（3）充分性：当为常数列时，对任意给定的，只要，则由，必有充分性得证必要性：用反证法证明假设不是常数列，则存在，使得，而下面证明存在满足的，使得，但设，取，使得，则，故存在使得取，因为（），所以，依此类推，得但，即所以不具有性质，矛盾必要性得证综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列” 18分【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大第 10 页