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1、12014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第卷（选择题共 50 分）一、填空题（本大题共14 小题，共 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分（1）【2014 年上海，理1，4 分】函数212cos(2)yx的最小正周期是【答案】2【解析】原式cos4x，242T（2）【2014 年上海，理2，4 分】若复数12iz，其中 i 是虚数单位，则1zzz【答案】6【解析】原式211516z zz（3）【2014 年上海，理3，4 分】若抛物线22ypx的焦点与椭圆22195xy的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为【答案】2x
2、【解析】椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x（4）【2014 年上海，理4，4 分】设2(,)(),)xxaf xxxa，若(2)4f，则 a的取值范围为【答案】2a【解析】根据题意，2,)a，2a（5）【2014 年上海，理5，4 分】若实数x，y满足1xy，则222xy的最小值为【答案】2 2【解析】222222 2xyxy（6）【2014 年上海，理6，4 分】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）【答案】1arccos3【解析】设圆锥母线长为R，底面圆半径为r，3SS侧底，23rRr，即3Rr，1cos3，即母线与底面夹角大
3、小为1arccos3（7）【2014 年上海，理7，4分】已知曲线C的极坐标方程为(3cos4sin)1，则C与极轴的交点到极点的距离是【答案】13【解析】曲线C的直角坐标方程为341xy，与 x 轴的交点为1(,0)3，到原点距离为13（8）【2014 年上海，理 8，4 分】设无穷等比数列na的公比为 q，若134limnnaaaaL，则 q【答案】5122P2P5P6P7P8P4P3P1BA【解析】223111510112aa qaqqqqq，01q，512q（9）【2014 年上海，理9，4 分】若2132()f xxx，则满足()0f x的 x的取值范围是【答案】(0,1)【解析】2
4、132()0f xxx，结合幂函数图像，如下图，可得 x 的取值范围是(0,1)（10）【2014 年上海，理10，4 分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）【答案】115【解析】3108115PC（11）【2014 年上海，理 11，4 分】已知互异的复数,ab满足0ab，集合22,a bab，则ab【答案】1【解析】第一种情况：22,aa bb，0ab，1ab，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：22,ab ba，431aaa，210aa，即1ab（12）【2014 年上海，理12，4 分】设常数
5、a使方程sin3cosxxa在闭区间0,2 上恰有三个解123,xxx，则123xxx【答案】73【解析】化简得 2sin()3xa，根据下图，当且仅当3a时，恰有三个交点，即12370233xxx（13）【2014 年上海，理13，4 分】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩该游戏的得分若()4.2E，则小白得5分的概率至少为【答案】0.2【解析】设得i 分的概率为ip，1234523454.2ppppp，且123451ppppp，12345444444ppppp，与前式相减得：1235320.2pppp，0ip，1235532ppppp，即50.2p（14）【2014 年上
6、海，理14，4 分】已知曲线2:4C xy，直线:6l x 若对于点(,0)A m，存在C上的点 P 和l上的 Q 使得0APAQuuu ru uu rr，则 m的取值范围为【答案】1615【解析】根据题意，A是 PQ 中点，即622PQPxxxm，20Px，2,3m二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得 5 分，否则一律得零分（15）【2014 年上海，理15，5 分】设,a bR，则“4ab”是“2a且2b”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【答案】B【解析】充分性不成立，如5a，1b
7、；必要性成立，故选B（16）【2014 年上海，理16，5 分】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,8)iP iL是上底面上其余的八个点，则(1,2,8)iAB AP iuuu ruu u rK的不同值的个数为（）3ACBD（A）1（B）2（C）4（D）8【答案】A【解析】根据向量数量积的几何意义，iAB APu uu ruuu r等于 ABuu u r乘以iAPuuu r在 ABuuu r方向上的投影，而iAPuu u r在 ABuuu r方向上的投影是定值，ABuuu r也是定值，iAB APuuu ruuu r为定值1，故选 A（17）【2014 年上
8、海，理17，5 分】已知111(,)P ab与222(,)P ab是直线1ykx（k为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 y 的方程组112211a xb ya xb y的解的情况是（）（A）无论12,k PP如何，总是无解（B）无论12,kPP如何，总有唯一解（C）存在12,k PP，使之恰有两解（D）存在12,kPP，使之有无穷多解【答案】B【解析】由已知条件111bka，221bka，11122 122abDa ba bab122112(1)(1)0a kaakaaa，有唯一解，故选B（18）【2014 年上海，理 18，5 分】设2(),0,()1,0.xaxf xxaxx若(0)f
9、是()f x 的最小值，则 a的取值范围为（）（A）1,2（B）1,0（C）1,2（D）0,2【答案】D【解析】先分析0 x的情况，是一个对称轴为xa的二次函数，当0a时，min()()(0)f xf af，不符合题意，排除AB 选项；当0a时，根据图像min()(0)f xf，即0a符合题意，排除C 选项，故选D三、解答题（本题共5 题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤（19）【2014 年上海，理19，12 分】底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形1 23PP P，如图求123PP P的各边长及此三棱锥的体积V解：根据题意可得12,P
10、 B P共线，112ABPBAPCBP，60ABC，11260ABPBAPCBP，160P，同理2360PP，123PP P是等边三角形，PABC是正四面体，所以123PP P边长为 4；3222123VAB（20）【2014 年上海，理20，14 分】设常数0a，函数2()2xxaf xa（1）若4a，求函数()yf x 的反函数1()yfx；（2）根据 a的不同取值，讨论函数()yf x的奇偶性，并说明理由解：（1）4a，24()24xxf xy，4421xyy，244log1yxy，1244()log1xyfxx，(,1)(1,)xU6 分（2）若()f x 为偶函数，则()()f xf
11、x，2222xxxxaaaa，整理得(22)0 xxa，0a，此时为偶函，若()f x 为奇函数，则()()f xfx，2222xxxxaaaa，整理得210a，0a，1a，此时为奇函数，当(0,1)(1,)a时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数14 分（21）【2014 年上海，理21，14 分】如图，某公司要在AB、两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中 D 为顶端，AC长35米，CB长80米 设点 AB、在同一水平面上，从A 和 B 看 D 的仰角分别为和（1）设计中CD是铅垂方向若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？BACP3P1P24（2）施工完成后，CD与铅
12、垂方向有偏差现在实测得38.12，18.45，求CD的长（结果精确到0.01米）解：（1）设CD的长为 x米，则 tan,tan3580 xx，202，tantan2，22tantan1tan，2221608035640016400 xxxxx，解得020 228.28x，CD的长至多为28.28米6 分（2）设,DBa DAb DCm，180123.43ADB，则sinsinaABADB，解得115sin38.1285.06sin123.43a2280160 cos18.4526.93maaCD的长为 26.93 米 14分（22）【2014 年上海，理 22，16 分】在平面直角坐标系xO
13、y中，对于直线:0l axbyc和点111222(,),(,)P xyP xy，记1122()()axbycaxbyc 若0，则称点12,PP 被直线l分割若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点12,PP 被直线l分割，则称直线l为曲线C的一条分割线（1）求证：点(1,2),(1,0)AB被直线10 xy分割；（2）若直线ykx是曲线2241xy的分割线，求实数k的取值范围；（3）动点 M 到点(0,2)Q的距离与到y 轴的距离之积为1，设点 M 的轨迹为曲线E 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线解：（1）将(1,2),(1,0)AB分别代入1xy，得(121)(1
14、1)40，点(1,2),(1,0)AB被直线10 xy分割 3 分（2）联立2241xyykx，得22(14)1kx，依题意，方程无解2140k，12k或12k 8 分（3）设(,)M x y，则22(2)1xyx，曲线 E的方程为222(2)1xyx当斜率不存在时，直线0 x，显然与方程联立无解，又12(1,2),(1,2)PP为 E 上两点，且代入0 x，有10，0 x是一条分割线；当斜率存在时，设直线为ykx，代入方程得：2432(1)4410kxkxx，令2432()(1)441f xkxkxx，则(0)1f，22(1)143(2)fkkk，22(1)143(2)fkkk，当2k时，(
15、1)0f，(0)(1)0ff，即()0f x在(0,1)之间存在实根，ykx 与曲线 E 有公共点当2k时，(0)(1)0ff，即()0fx在(1,0)之间存在实根，ykx 与曲线 E 有公共点，直线 ykx 与曲线 E 始终有公共点，不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线0 x是 E 的分割线16 分（23）【2014 年上海，理23，18 分】已知数列na满足1133nnnaaa，*nN，11a（1）若2342,9aax a，求 x的取值范围；（2）设na是公比为 q的等比数列，12nnSaaaL 若1133nnnSSS，*nN，求 q的取值范围；（3）若12,kaaaL
16、成等差数列，且121000kaaaL，求正整数 k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,kaaaL的公差解：（1）依题意，232133aaa，263x，又343133aaa，327x，综上可得36x 3 分（2）由已知得1nnaq，又121133aaa，133q，当1q时，nSn，1133nnnSSS，即133nnn，成立；当13q时，11nnqSq，1133nnnSSS，即1111133111nnnqqqqqq，111331nnqq，5此不等式即11320320nnnnqqqq，1q，132(31)2220nnnnqqqqq，对于不等式1320nnqq，令1n，得2320qq，解得 1
17、2q，又当 12q时，30q，132(3)2(3)2(1)(2)0nnnqqqqq qqq成立，12q，当113q时，11nnqSq，1133nnnSSS，即1111133 111nnnqqqqqq，即11320320nnnnqqqq，310,30qq，132(31)2220nnnnqqqqq，132(3)2(3)2(1)(2)0nnnqqqqq qqq113q时，不等式恒成立，综上，q 的取值范围为123q 10分（3）设公差为d，显然，当1000,0kd时，是一组符合题意的解，max1000k，则由已知得1(2)1(1)31(2)3kdkdkd，(21)2(25)2kdkd，当1000k时，不等式即22,2125ddkk，221dk，12(1).10002kk kdaaak，1000k时，200022(1)21kdk kk，解得10009990001000999000k，1999k，k的最大值为1999，此时公差2000219981(1)199919981999kdk k18 分