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1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第卷（选择题 共 50 分）一、填空题（本大题共 14 小题，共 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分（1）【2016 年上海，理 1，4 分】设xR，则不等式31x的解集为 【答案】2,4【解析】由题意得：131x，解得24x【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用（2）【2016 年上海，理 2，4 分】设32iiZ，期中i为虚数单位，则Im z 【答案】3【解析】32i23i,Imz3iz 【点评】本题考查复数的
2、虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用（3）【2016 年上海，理 3，4 分】已知平行直线12:210,:210lxylxy ，则12,l l的距离 【答案】2 55【解析】利用两平行线间距离公式得122222|1 1|2 5521ccdab 【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力（4）【2016 年上海，理 4，4 分】某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是 （米）【答案】1.76【解析】将这 6 位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69，1.72，1.7
3、5，1.77，1.78，1.80，这六个数的中位数 是1.75与1.77的平均数，显然为1.76【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用（5）【2016 年上海，理 5，4 分】已知点3,9在函数()1xf xa 的图像上，则 f x的反函数 1fx 【答案】2log11xx【解析】将点3,9带入函数 1xf xa 的解析式得2a，所以 12xf x ，用y表示x得2log1xy，所以 12log1fxx【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（6）【2016 年上海，理 6，4 分】如图，在正四
4、棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD的边长为 3，1BD与底面所成角的大小为32arctan，则该正四棱柱的高等于 【答案】2 2【解析】由题意得111122tan2 2333 2DDDDDBDDDBD【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角（7）【2016 年上海，理 7，4 分】方程3sin1 cos2xx 在区间0,2上的解为 【答案】566或【解析】化简3sin1cos2xx 得：23sin22sinxx，所以22sin3sin20 xx，解得1sin2x 或sin2x （舍 去），所以在区间0,2上的解为566或
5、【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力（8）【2016 年上海，理 8，4 分】在32nxx的二项式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于 【答案】112【解析】由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为2n，由题意得2256n，所以8n，二项式的通项为8 4833 31882()()(2)rrrrrrrTCxC xx，求常数项则令84033r，所以2r，所以3112T 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题（9）【2016 年上海，理 9，4 分】已知ABC的三边长分别为 3，5，7
6、，则该三角形的外接圆半径等于 【答案】7 33【解析】利用余弦定理可求得最大边 7 所对应角的余弦值为22235712 3 52 ，所以此角的正弦值为32，由正弦定理得7232R，所以7 33R 【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题 （10）【2016 年上海，理 10，4 分】设0,0ab，若关于,x y的方程组11axyxby无解，则ab的取值范围是 【答案】2,+【解析】解法 1：将方程组中的（1）式化简得1yax，代入（2）式整理得(1)1ab xb，方程组无解应该 满足10ab且10b，所以1ab 且1b，所以由基本不等式得
7、22abab 解法 2：关于x，y的方程11axyxby组无解，直线1axy与1xby平行，0a，0b，1111ab，即1a，1b，且1ab，则1ba，则1abaa，则设 101f aaaaa且，则函数的导数 222111afaaa，当01a时，2210afaa，此时函数为减函数，此时 12f af，当1a 时，2210afaa，此时函数为增函数，12f af，综上 2f a，即ab的取值范围是2,+【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键（11）【2016 年上海，理 11，4 分】无穷数列 na由k个不同的数组成，
8、nS为 na的前n项和 若对任意nN，2,3nS，则k的最大值为 【答案】4【解析】解法 1：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1,1,0,0,0,，所以最多由 4 个不同的数组成 解法 2：对任意*nN，2 3nS，可得当1n 时，112aS或3；若2n，由 22 3S，可得数 列的前两项为 2，0；或 2，1；或 3，0；或 3，1；若3n，由 32 3S，可得数列的前三项为 2，0，0；或 2，0，1；或 2，1，0；或 2，1，1；或 3，0，0；或 3，0，1；或 3，1，0；或 3，1，1；若4n，由 42 3S，可得数列的前四项为 2，0，0，0；或 2，0，0，1
9、；或 2，0，1，0；或 2，0，1，1；或 2，1，0，0；或 2，1，0，1；或 2，1，1，0；或 2，1，1，1；或 3，0，0，0；或 3，0，0，1；或 3，0，1，0；或 3，0，1，1；或 3，1，0，0；或 3，1，0，1；或 3，1，1，0；或 3，1，1，1；即有4n 后一项都为 0 或 1 或1，则k的最大个数为 4，不同的四个数均为 2，0，1，1，或 3，0，1，1故答案为：4【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题（12）【2016 年上海，理 12，4 分】在平面直角坐标系中，已知1,0A，0,1B，P是曲线21yx上
10、一个动点，则BP BA的取值范围是 【答案】0,12【解析】由题意得知21yx表示以原点为圆心，半径为 1 的上半圆 设cos,sinP，0,，1,1BA，cos,sin1BP ，所以cossin12sin10,124BP BA 【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用（13）【2016 年上海，理 13，4 分】设,0,2a bR c，若对任意实数x都有2sin 3sin3xabxc，则满足条件的有序实数组,a b c的组数为 【答案】4【解析】解法 1：2,3ab ，当,a b确定时，c唯一，故有 4 种组合 解法 2：对
11、于任意实数x都有2sin 3sin3xabxc，必有2a，若2a，则方程等价为 sin 3sin3xbxc，则函数的周期相同，若3b，此时53C，若3b ，则43C，若2a ，则方程等价为sin 3sinsin3xbxcbxc，若3b ，则3C，若3b，则23C，综上满足条件的有序实数组,a b c为52,3,3，42,3,3，2,3,3，22,3,3，共有 4 组【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键（14）【2016 年上海，理 14，4 分】如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形128A AA
12、的中心，11,0A任取不同的两点,ijA A，点 P 满足0ijOPOAOA，则点P落在第一象限的概率是 【答案】528【解析】共有2828C 种基本事件，其中使点P落在第一象限共有2325C 种基本事件，故概 率为528【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得 5 分，否则一律得零分（15）【2016 年上海，理 15，5 分】设aR，则“1a”是“21a”的（）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分
13、也非必要条件【答案】A【解析】2211,111aaaaa 或，所以是充分非必要条件，故选 A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础（16）【2016 年上海，理 16，5 分】下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）（A）65cos （B）65sin （C）65cos （D）65sin【答案】D【解析】依次取30,22，结合图形可知只有65sin满足，故选 D【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 （17）【2016 年上海，理 17，5 分】已知无穷
14、等比数列 na的公比为q，前n项和为nS，且limnnSS下列条件中，使得2nSS nN恒成立的是（）（A）10,0.60.7aq（B）10,0.70.6aq （C）10,0.70.6aq （D）10,0.80.7aq 【答案】B【解析】解法 1：由题意得：11112,(0|q|1)11nqaaqq对一切正整数恒成立，当10a 时12nq 不恒成立，舍去；当10a 时21122nqq，故选 B 解法 2：111nnaqSq，1lim1nnaSSq，11q，2nSS，1210naq，若10a，则12nq，故 A 与 C 不可能成立；若10a，则12nq，故 B 成立，D 不成立【点评】本题考查命
15、题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用（18）【2016 年上海，理 18，5 分】设 f x、g x、h x是定义域为R的三个函数，对于命题：若 f xg x、f xh x、g xh x均为增函数，则 f x、g x、h x中至少有一个增函数；若 f xg x、f xh x、g xh x均是以T为周期的函数，则 f x、g x、h x均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）（A）和均为真命题 （B）和均为假命题（C）为真命题，为假命题 （D）为假命题，为真命题【答案】D【解析】解法 1：因为()g(x)()(x)g()(x)()2f xf xhxhf x必为
16、周期为的函数，所以正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此不一定，故选 D 解法 2：不成立可举反例：2,13,1x xf xxx 23,03,012,1xxg xxxx x ，,02,0 x xh xx x f xg xf xTg xT，f xh xf xTh xT h xg xh xTg xT，前两式作差可得：g xh xg xTh xT，结合第三式可 得：g xg xT，h xh xT，同理可得：f xf xT，因此正确【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题（本题共 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应
17、编号的规定区域内写出必要的步骤（19）【2016 年上海，理 19，12 分】将边长为 1 的正方形11AAOO（及其内部）绕的1OO旋转一周形 成圆柱，如图，AC长为23，11AB长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧（1）求三棱锥111CO AB的体积；（2）求异面直线1BC与1AA所成的角的大小 解：（1）由题意可知，圆柱的高1h，底面半径1r 由11 的长为3，可知1113AO B 11 1111111113sin24AO BSO A O BAO B，1 1 11 1 1C13V312O A BO A BSh（2）设过点1B的母线与下底面交于点B，则11/BBAA，所以1CB B
18、或其补角为直线1BC与1AA所成的角 由AC长为23，可知23AOC，又1113AOBAO B，所以3COB，从而COB为等边三角形，得1CB 因为1B B 平面AOC，所以1B BCB 在1CB B中，因为12B BC，1CB，11B B，所以14CB B，从而直线1BC与1AA所成的角的大小为4【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养（20）【2016 年上海，理 20，14 分】有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河，收货的 蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运
19、到河边 较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距 离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为1,0，如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为83。设M 是C上纵坐标为 1 的点，请计算以EH为一边、另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面 积，并判断哪一个更接近于1S面积的经验值 解：（1）设分界线上任一点为,x y，依题意2211xxy，可得201yxx（2）设00,M xy，则01y，200144yx，设 所 表 述 的 矩 形 面 积
20、为3S，则3152142S，设五边形EMOGH面积为4S，则43511131111224244OMPMGQSSSS ，13851326SS，411181143126SS，五边形EOMGH的面积更接近1S的面积 【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大（21）【2016 年上海，理 21，14 分】双曲线22210yxbb的左、右焦点分别为12FF、，直线l过2F且与双曲线交于AB、两点（1）若l的倾斜角为2，1F AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3b，若l的斜率存在，且110F AF BAB，求l的斜率 解：（1）设,A xy由题意，2,
21、0Fc，21cb，22241ybcb，因为1F AB是等边三角形，所以23cy，即244 13bb，解得22b 故双曲线的渐近线方程为2yx （2）由已知，12,0F，22,0F设11,A x y，22,B xy，直线:l2yk x显然0k 由22132yxyk x，得222234430kxk xk因为l与双曲线交于两点，所以230k，且236 10k 设AB的中点为,M xy由11F A+FBAB=0即10FMAB，知1FMAB，故1F1kk 而2122223xxkxk，2623kyk xk，1F2323kkk，所以23123kkk，得235k，故l的斜率为155【点评】本题考查双曲线与直线
22、的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用（22）【2016 年上海，理 22，16 分】已知aR，函数21()log()f xax（1）当5a 时，解不等式()0f x；（2）若关于x的方程2()log(4)250f xaxa的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a，若对任意1,12t，函数()f x在区间,1t t 上的最大值与最小值的差不超过 1，求a的取值 范围 解：（1）由21log50 x，得151x，解得1,0,4x 4 分（2）1425aaxax，24510axax，当4a 时，1x ，经检验，满足题意 当3a 时，
23、121xx，经检验，满足题意当3a 且4a 时，114xa，21x ，12xx 1x是原方程的解当且仅当110ax，即2a；2x是原方程的解当且仅当210ax，即1a 于是满足题意的1,2a综上，a的取值范围为1,23,4 10 分（3）当120 xx时，1211aaxx，221211loglogaaxx，所以 f x在0,上单调递减 函数 f x在区间,1t t 上的最大值与最小值分别为 f t，1f t 22111loglog11f tf taatt即2110atat，对任意1,12t成立 因为0a，所以函数211yatat在区间1,12上单调递增，12t 时，y有最小值3142a，由31
24、042a，得23a 故a的取值范围为2,3 16 分【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键综合性较强，难度较大（23）【2016 年上海，理 23，18 分】若无穷数列 na满足：只要*(,)pqaap qN，必有11pqaa，则称 na具有性质P（1）若 na具有性质P，且12451,2,3,2aaaa，67821aaa，求3a；（2）若无穷数列 nb是等差数列，无穷数列 nc是公比为正数的等比数列，151bc，5181bc，nnnabc判断 na是否具有性质P，并说明理由；（3）设 nb是无穷数列，已知*1sin()nnna
25、ba nN求证：“对任意1,naa都具有性质P”的充要条件为“nb是常数列”解：（1）因为52aa，所以63aa，743aa，852aa 于是678332aaaa，又因为67821aaa，解得316a 4分（2）nb的公差为20，nc的公比为13，所以12012019nbnn，1518133nnnc 520193nnnnabcn1582aa，248a，63043a，26aa，na不具有性质10 分（3）充分性：当 nb为常数列时，11sinnnaba对任意给定的1a，只要pqaa，则由11sinsinpqbaba，必有11pqaa充分性得证 必要性：用反证法证明假设 nb不是常数列，则存在k，使得12kbbbb，而1kbb 下面证明存在满足1sinnnnaba的 na，使得121kaaa，但21kkaa 设 sinf xxxb，取m，使得mb，则0f mmb，0fmmb，故存在c使得 0f c 取1ac，因为1sinnnaba（1nk），所以21sinabcca，依此类推，得121kaaac但2111sinsinsinkkkkababcbc，即21kkaa 所以 na不具有性质，矛盾必要性得证 综上，“对任意1a，na都具有性质”的充要条件为“nb是常数列”18 分【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大