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1、精品教案可编辑【金版学案】2016-2017 学年高中数学第 3 章 不等式章末知识整合苏教版必修 5 整合网络构建精品教案可编辑专题 1 转化与化归思想的应用典例 1 若正数a，b满足abab3，求ab的取值范围分析：“范围”问题是数学中的常见问题，一般可将“范围”看成函数定义域、值域，或看成不等式的解集等解：法一(看成函数的值域)：因为abab3，所以ba3a1(显然a 1)，且a1.所以abaa3a1（a1）2 5（a1）4a1(a1)4a1 5 9，当且仅当a14a1，即a3 时取等号精品教案可编辑又a3 时，(a1)4a15 单调递增，所以ab的取值范围是9，)法二(看成不等式的解集
2、)：因为a，b为正数，所以ab2ab.又abab3，所以ab2ab3，即(ab)22ab 3 0.解得ab 3 或ab1(舍去)，所以ab 9，即ab的取值范围是9，)法三：若设abt，则abt3，所以a，b可看成方程x2(t3)xt0 的两个正根从而有（t3）24t 0，abt30，abt0，即t1或t 9，t3，t0，解得t 9，即ab 9，所以ab的取值范围是9，)精品教案可编辑归纳拓展不等与相等是相对的，在一定条件下可以互相转化解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的
3、求解由于不等式的解集一般是无限集，因此不等式非等价变换产生的增根或失根是无法由检验而予以剔除或增补的，这就必然要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等变式训练 1如果关于x的不等式2x2 2mxm4x26x31 对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是 _ 解析：因为 4x26x3 2x322340 恒成立，从而原不等式可以利用不等式的基本性质，等价转化为2x22mxm4x26x3(x R)即 2x2(62m)x(3m)0 对一切实数x恒成立，所以(62m)2 4 2(3 m)4(m 1)(m3)0，解得 1m3.答案：(1，3)2已知
4、函数f(x)x22xax，若对任意x 1，)，f(x)0 恒成立，试求实数a的精品教案可编辑取值范围解：法一：在区间 1，)上，f(x)x22xax0 恒成立，等价于x22xa0 恒成立设yx22xa，x1，)，而yx22xa(x1)2a1 在定义域内单调递增，所以当x1 时，ymin3a.于是当ymin 3a0 时，不等式f(x)0 恒成立，故a 3.法二：f(x)xax2，x1，)，当a0时，函数f(x)的值恒为正；当a0 时，函数f(x)0恒成立，故 3a 3.专题 2 函数与方程思想的应用典例 2 设不等式x22axa 20 的解集为M，如果M?1，4，求实数a的取值范围解：M?1，4
5、有两种情况：其一是M?，此时0，下面分三种情况计算a的取值范围设f(x)x22axa2，则有(2a)24(a2)4(a2a2)，(1)当0 时，1a0 时，a2.设方程f(x)0 的两根x1，x2，且x10，且f（4）0，1a4，且0.即a30，18 7a0，1a 4，a2.解得 2a187，所以M?1，4时，a的取值范围是1，187.归纳拓展函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图象、性质等对问题加以研究，使问题获得解决方程思想是指将问题转化为对方程(组)的认识，通过解方程或对方程的讨论使问题得以解决函数与方程二者密不可分，如函数解析
6、式yf(x)也可看作方程函数有意义则方程有精品教案可编辑解，方程有解则函数有意义等函数与方程思想体现了静与动，变量与常量的辩证统一，是重要的数学思想方法之一具体包括：(1)利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况，讨论不等式的取值情况(2)利用函数解决代数、解析几何中有关取值范围、交点数目等问题，以及函数在实际中的应用(3)利用方程解决有关函数的问题函数、方程、不等式三者密不可分，从求解一元二次不等式的过程中可见一斑在不等式问题中，很多可以从函数的角度进行求解如f(x)a恒成立等价于f(x)mina.变式训练 3求证：sin2x4sin2x5.证明：设 sin2xt，原式变形为f(t)t4t，则
7、f(t)在t(0，1 时为单调递减函数因为 0sin2x 1，所以当 sin2x1.即t1 时，f(t)有最小值，f(t)min5.所以f(t)t4t5，即 sin2x4sin2x5.4定义在(1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，且f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围解：由f(1a)f(1 a2)0 得f(1a)f(1a2)f(a21)，所以11a1，1aa21，11a21?0a1.所以a的取值范围是(0，1)精品教案可编辑专题 3 分类讨论思想的应用典例 3 解关于x的不等式x2ax2a20(a R)分析：先将不等式左边分解因式，然后对两根的大小比较，分类求解不等式解：
8、原不等式转化为(x2a)(xa)0 时，x1x2，不等式的解集为x|ax2a；(2)当a0 时，原不等式化为x20，无解；(3)当a0 时，x1x2，不等式的解集为x|2ax0 时，x|ax2a；a0 时，x?；当a0 时，x|2ax a归纳拓展分类讨论是一种重要的解题策略，分类相当于缩小讨论的范围，故能将问题化整为零，各个击破 在解答数学题时，由于许多题目不仅在涉及的知识范围上有较强的综合性，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上加以解决这时就从分割入手，把整体划分为若干个局部，先去解决各个局部问题，最后达到整体精品教案可编辑上的解决 通俗一点说，就是
9、“化整为零，各个击破”，这种处理数学问题的思想，就是“分类讨论”的思想，分类讨论问题充满了数学辩证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用分类讨论的一般步骤：(1)明确讨论对象，确定对象的范围(2)确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏(3)逐类讨论，获得阶段性结果(4)归纳总结，得出结论变式训练 5若不等式(a2)x22(a2)x40 的解集为R，求实数a的取值范围解：当a20，即a2 时，原不等式为40，所以a2 时成立当a 20 时，由题意得a20，0，即a2，4（a2）24（a2）（4）0.解得 2a2.综上所述，a的取值范围为20 时，y 2 3x4x，令y13x4x，因为
10、x0，所以 3x0，4x0.故y13x4x2 3x4x43.当且仅当 3x4x，即x23(负值舍去)时，取等号，精品教案可编辑所以(y1)min43，当y1取最小值时，y取最大值所以当x23时，ymax243.当x0 时，y 2 3x4x，令y23x4x，则y2(3x)4x.因为x0，4x0.故y22（3x）4x43，即y243，当且仅当 3x4x，即x23(正值舍去)时，取等号所以(y2)max 43，当y2取最大值时，y取最小值题型 4 数形结合思想的应用典例 4 求使 log2(x)x1 成立的x的取值范围分析：因不等式左边为对数式，右边为整式，故不可解，所以可借助函数图象求解解：如右图
11、所示，精品教案可编辑在同一平面直角坐标系中作出函数y1log2(x)，y2x1 的图象，易知两图象交于点(1，0)显然y1y2的x的取值范围是(1，0)归纳拓展数形结合就是把数学关系的精确刻画(代数关系)与几何图形的直观形象有机结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，使问题变得简单，数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、求参数的范围等，有时，可以用数形结合的思想寻找解题思路，具体体现为：(1)由数化形，由条件绘制相似图形，使图形能充分反映出它们的数量关系，从而解决问题(2)由形化数，借助于图形，通过观察研究，得出图形中蕴含的数量关系，反映出事物精品教案可编辑的本质特征(3)数形转换，化抽象为直观，化难为易变式训练 7已知f(x)是定义域R 上的偶函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x2)5的解集是 _ 解析：作出yf(x)的图象如图所示，f(5)f(5)5.所以|x2|5，即 7x3.答案：(7，3)8已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)0，2f(1)4，求b1a2的取值范围解：由1f(1)0，2f(1)4，可得1ab 0，2ab 4.精品教案可编辑求b 1a 2的取值范围即是求经过点(a，b)和点(2，1)的直线的斜率的范围关于a，b构成的平面区域如图所示，根据图象可以得到b 1a2的取值范围是23，1.