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1、第 1 页 共 23 页2020 届浙江省嘉兴市平湖市高三下学期5 月模拟考试数学试题一、单选题1已知集合2,1,1,2A，,12,B，则AB（）A2,1,1B1,1,2C2,1,2D2,1,2【答案】D【解析】直接利用交集运算求解.【详解】由2,1,1,2A，,12,B，则AB 2,1,2.故选：D.【点睛】本题考查了集合的交集、并集运算，属于容易题.2满足线性约束条件23,23,0,0 xyxyxy的目标函数zxy的最大值是（）A1B32C2D3【答案】C【解析】画出可行域如图阴影部分所示，易得1,1A（）zxy 在1,1A（）处取得最大值2maxz故选 C 第 2 页 共 23 页点睛：
2、本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其中正视图是等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A33B3C23D2【答案】A【解析】首先把三视图还原为几何体的立体图，根据锥体体积公式，代入数据求解即可.【详解】如图所示此三棱锥底面是边长为2，高为 1 的三角形，三棱锥高为3，所以体积11
3、3213323V故选 A.【点睛】本题考查由三视图还原立体图，并求几何体的体积，考查空间想象能力，关键在于准确第 3 页 共 23 页还原出立体图，属基础题.4已知双曲线224xy，1F是左焦点，1P，2P是右支上两个动点，则1 11 212F PF PPP的最小值是()A4 B 6 C8 D16【答案】C【解析】112 112222,2F PaF PF PaF P，所以1112122 1221288F PF PPPF PF PPP，当且仅当122,P FP三点共线时等号成立，故选C.5如果对于任意实数x，x表示不小于x的最小整数，例如1.52，1.61，那么“1xy”是“xy”的（）A充分不
4、必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】通过给xy，取特值得到前者推不出后者，通过推导判断出后者可以推出前者，根据必要不充分条件的定义判断出结论【详解】由已知可得令1.80.9xy，满足1xy，但1.82，0.91，xy，而xy时，必有1xy“1xy”是“xy”的必要不充分条件故选：B.【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断，说明一个命题不成立常用举反例的方法，考查利用充分必要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件，属于基础题目.6若函数fx的图象如图所示，则fx的解析式可以是（）第 4 页 共 23 页AsinfxxxBcosfxxxC2sinfxx
5、xD2cosfxxx【答案】B【解析】先根据函数的奇偶性，排除A、D，再由特殊值法排除C，即可得答案.【详解】由图象关于原点对称，可得fx为奇函数，结合运算规律可得A、D 为偶函数，故排除；对于 C：22(1)sin11,()()sin12224ff与图象不符，故排除；对于 B：(1)cos11,()cos0222ff符合图象.故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，学生需熟记运算规律：（1）奇奇=奇、（2）偶偶=偶（3）奇偶=非奇非偶、（4）奇()奇=偶、（5）奇()偶=奇、（6）偶()偶=偶，再由特殊值法排除选项即可，属基础题.7已知102a，随机变量的分布如下：-101P1212a
6、a当a在10,2内增大时，（）AE减小，D减小BE减小，D增大第 5 页 共 23 页CE增大，D减小DE增大，D增大【答案】D【解析】首先利用题中所给的分布列，利用公式求得期望和方差，结合式子的特征，判断得出结果.【详解】由题意得，1()2Ea，222111111122222Daaaaa2124aa，又 102a，故当a增大时，()E增大，()D增大，故选：D.【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的期望与方差的问题，涉及到的知识点有离散型随机变量的期望和方差公式，属于基础题目.8 已知函数,0,0 xexfxx x（其中e为自然对数的底数），若函数2yfxax恰有三个零点，则（）A204e
7、aB202eaC24eaD22ea【答案】C【解析】由(0)1f，故 0 不是函数2yfxax的零点，则由2()0f xax，得2()f xax，令2()()f xg xx2,01,0 xexxxx，则题目转化为ya与()yg x有三个零点，利用导数研究函数()yg x的性质并作出示意图可求得答案.【详解】由(0)1f，故 0 不是函数2yfxax的零点，则由2()0f xax，得2()fxax，第 6 页 共 23 页令2()()f xg xx2,01,0 xexxxx，则题目转化为ya与()yg x有三个零点，当0 x时，2()xeg xx，则4(2)()xxexgxx，则g x在(0,2
8、)上递减，在(2,)上递增，当2x时，()g x有最小值为2(2)4eg，当0 x时，()g x，作出()yg x的示意图如图所示：由图知，若函数2yfxax恰有三个零点，则24ea.故选：C【点睛】本题考查了函数的零点个数相关问题，将零点个数问题转化为两函数的交点个数相关问题，利用导数研究函数的性质，作出图象是解题的关键，属于中档题.9设,a bR，数列na满足1aa，*1lnnnaab nN，则（）A若2b，则2020aaB若2b，则2020aaC若2b，则2020aaD若2b，则2020aa【答案】A【解析】当2b时，1ln2nnaa，即21nanae，则21nannnaaea，设2xe
9、xfx利用导数研究出函数fx的的单调性，从而得到0fx，即210nannnaaea，得到数列na单调递增，则选项A 正确，B 错误，当2b时，1ln2nnaa，即21nanae，则21nannnaaea，设2xexg x，利用导数研究出函数g x的的单调性，可得一定存在10,2x，使得10g x，22,4x，使得20g x,当11ax（或2x）时有,210nannnaaea，从而第 7 页 共 23 页选项 C,D 不正确.【详解】当2b时，1ln2nnaa，即21nanae.则21nannnaaea，设2xexfx，则21xfxe20 xefx，所以21xfxe在R上单调递增,且20f所以当
10、2x时，0fx，则fx单调递增.当2x时，0fx，则fx单调递减.所以02230fxfe，所以210nannnaaea所以当2b时，数列na单调递增，则选项A 正确，B 错误.当2b时，1ln2nnaa，即21nanae.则21nannnaaea，设2xexg x，则21xgxe20 xegx，所以21xgxe在R上单调递增,且20g所以当2x时，0gx，则g x单调递增.当2x时，0gx，则g x单调递减.所以0min220g xge,又200ge，2440ge所以一定存在10,2x，使得10g x，22,4x，使得20g x当11ax(或2x)时有，112121120axaaeaex，即2
11、1aa.同理可得210nannnaaea，1naaa，所以选项C,D 不正确.故选：A【点睛】本题考查利用递推数列判断数列的单调性，考查构造函数，通过分析函数的单调性，从而判断数列的单调性，属于中档题.10如图，在等腰直角三角形ABC中，CACB，点D为BC的中点.现将ACD沿AD折起至1AC D，使1BC D为钝角三角形，设直线1DC与平面ABD所成的角为，直线1BC与面ABD所成的角为，直线BD与面1AC D所成的角为，则，的大小关系为（）第 8 页 共 23 页ABCD【答案】B【解析】由题意可知1BCBD，由于CDBD，所以可得1ACDAC DABDSSS，从而有1C到平面ABD的距离
12、等于B到平面1AC D的距离，再将，的正弦值表示出来进行比较，可得结果.【详解】CDBD，1BC D为钝角三角形，1BDC为钝角，1BCBD，又1ACDAC DABDSSS，1C到平面ABD的距离等于B到平面1AC D的距离，记为d，则1sindC D，sindBD，1sindBC，sinsinsin，.故选：B.【点睛】此题考查了将平面图形折空间图形问题，考查了空间中的线面角，考查了空间想象能力，属于中档题.二、填空题11复数12zii（i为虚数单位），则复数z 的共轭复数是_.【答案】13i【解析】计算出1213ziii即可得到答案.第 9 页 共 23 页【详解】因为121 3ziii所
13、以复数z的共轭复数是1 3i故答案为：13i【点睛】本题考查的是复数的计算及共轭复数的概念，较简单.12已知椭圆2212xy的左右焦点分别为1F，2F，A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线1AF与直线2BF平行，若122 23AFBF，则12AF F的面积为 _.【答案】1【解析】设直线12,AF BF的方程分别为1,1xmy xmy，112212,0,0A x yB xyyy，联立221111221xyxmy，可得1y，即可得出1AF，同理可得2BF，列方程解得m，进而可得12AF F的面积.【详解】解：由椭圆2212xy可得1c，12(1,0),(1,0)FF，设直线12,AF BF的
14、方程分别为1,1xmy xmy，112212,0,0A x yB xyyy，联立221111221xyxmy，化为22112210mymy，解得212222mmym，22211221112mm mAFmym，同理可得22222112mm mmBF，2122212 223mmAFBFm，解得1m，第 10 页 共 23 页则2122212123mmym，12121112 1122AF FSF Fy.故答案为：1.【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.13已知平面向量a、b、c满足21ba、2c，440cacb，则2ab的取值范
15、围是_.【答案】214,22【解析】可根据440cacb得出182a bc ab，然后根据22c abcab解得3388a b，最后通过2224aba b即可得出结果.【详解】22224424abaa bba b，因为440cacb，所以24160cc aba b，1 82a bc ab，因为22222 22c abcabaa bb，所以51 82224a ba b，解得3388a b，所以21 7224,2 2aba b，解得214222ab，所以2ab的取值范围是214,22.故答案为：214,22【点睛】本题考查向量的相关运算，主要考查向量的乘法、向量的模以及向量的数量积的相关运第 11
16、 页 共 23 页算，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题.三、双空题14若偶函数sin2cos0fxxx，则_，fx的最大值为 _.【答案】21【解析】关键在于由sinxsin x得出2xxk或2xxk，kZ,对于任意实数x 恒成立，而2xxk即为xk，这显然不是对任意实数x 恒成立，故而只能是2xxk，kZ,从而得出 的值，然后利用诱导公式化简后，即可得解.【详解】fx为偶函数，fxfx,即sinxcosxsin xcosx,cosxcosx,sinxsin x,2xxk，kZ,即2k,0，=2，222fxsinxcosxcosxcosxcosx,fx的最大值为1.故答案为：2，1.【
17、点睛】本题考查根据三角函数的奇偶性求参数的值和余弦函数的最值问题，属章内综合题，难度较易.15在二项式6123xx的展开式中，有理项共有_项，项的系数最小的项为_.【答案】4 32264Tx【解析】首先利用二项展开式的通项公式得到6123xx的展开式的通项为第 12 页 共 23 页6 362161()23rrrrrTC x，令632r为整数，求得r的取值，得到有理项的个数，之后观察项的系数的特征，判断出r应为奇数，代值求解，比较得结果.【详解】6123xx的展开式的通项为6 366216611(2)()()233rrrrrrrrTCxC xx，若632r为整数，则0,2,4,6r，所以展开式
18、中的有理项共有4 项，要使661()23rrrC最小，r应为奇数，令1,3,5r，得到的项的系数分别是160464,2781，比较可知1r时，系数取得最小值，项的系数最小的项为32264Tx，故答案为：4；32264Tx.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式的通项，有理项的个数，项的系数最小项，属于简单题目.16已知圆C：22124xy，若直线l：2122410mxmymmR与圆C交于A，B两点，则弦AB长的最小值为 _，若圆心C到直线l的距离为32，则实数m_.【答案】2 353 34【解析】本题首先可根据题意得出圆心1,2C、半径2r以及直线l过定点1,1D
19、，然后根据当圆心1,2C到定点1,1D的线段与弦AB垂直时弦AB的长最小求出弦AB长的最小值，最后根据圆心C到直线l的距离为32以及点到直线距离公式即可求出结果.【详解】因为圆C方程为22124xy，所以圆心1,2C，半径2r，因为直线l方程为2122410mxmym，所以直线l过定点1,1D，第 13 页 共 23 页故当弦AB的长最小时，圆心1,2C到定点1,1D的线段与弦AB垂直，因为线段CD的长度为1，所以弦AB长的最小值为222 212 3，因为圆心C到直线l的距离为32，所以22212 2241222123mmmmm，2248348454mmmm，即282010mm，故220204
20、8153 3284m，故答案为：2 3，53 34.【点睛】本题考查直线与圆相交的弦的最小值的求法以及点到直线距离公式的应用，考查根据直线方程确定直线所经过的定点坐标，考查根据圆的方程确定圆心与半径，考查计算能力，是中档题.17设,x yR，若222321xxyy，则xy的最小值为 _，xyxy的最小值为 _.【答案】27798【解析】第一空先将22xy配方，再利用不等式22xyxy，将xy转化成xy的形式，再解不等式，求得xy的范围，从而得到xy的最小值；第二空令kxyxy，将题目转化为求k的范围，变形()xyxyk，代入到已知等式222321xxyy，将方程视为关于xy的二次方程，利用求得
21、k的取值范围，从而求得xyxy的最小值.【详解】解：由222321xxyy，得22()1xyxy，又22xyxy，则222()12xyxy，得24()7xy，得2 72 777xy，第 14 页 共 23 页当且仅当77xy时，xy的最小值为2 77.令kxyxy，由222232121xxyyxyxy221xykxy2210 xyxyk.将上面方程视为关于xy的二次方程.由xy为实数知918 108kk.当且仅当17,48xyxy时，xyxy的最小值为98.故答案为：2 77；98.【点睛】本题是不等式的综合应用，通过构造不等式，解不等式求最值，需注意取等条件，属于中档题.四、解答题18 已知
22、四边形ABCD中，角A和角C互补，且1AB，2BC，3CD，4DA.（1）求cosA的值；（2）求tantan22AC的值.【答案】（1）1cos5A；（2）566.【解析】（1）在ABD和BCD中分别利用余弦定理，再结合coscosCA可得到答案；（2）根据角A和角C互补可得tantan22AC2sin A，然后根据（1）中的结果可得到答案.【详解】第 15 页 共 23 页（1）在ABD中，由余弦定理得21 168cosBDA在BCD中，由余弦定理得，24912cosBDC因为角A和角C互补，即coscosCA，所以由解得1cos5A.（2）因为角A和角C互补，所以1tantantanta
23、ntan22222tan2ACAAAAsincos1222sincossinsincos2222AAAAAAA，由（1）得1cos5A，则A为锐角，所以22 6sin1cos5AA，所以25 6tantan22sin6ACA.【点睛】本题考查的是余弦定理和三角恒等变换，考查了学生的分析能力，属于中等题.19如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，2AC，2 3BD，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点.（1）求证：ACDE；（2）已知二面角APBD的余弦值为155，若E为PB的中点，求 EC 与平面PAB所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试
24、题分析：（1）线线垂直问题转化为线面问题即可解决，即ACDE，由DP平面ABCD，得DPAC，又分析可知BDAC，且,.BDPDDACPBD平面，所以ACDE（2）解法 1：（空第 16 页 共 23 页间向量在立体几何中的应用）设EC 与平面PAB所成的角为，即 EC 与平面PAB所成角为 EC 与平面PAB的法向量所成角，如图所示的空间直角坐标系，设,PDt则1,0,0A，0,3,0,1,0,0,0,0,0,3,2tBCEPt，平面 PBD 的一个法向量为（1,0,0），得到2 33,1,.tn2再由二面角APBD的余弦值为155，2315cos,5124tnn12，解得2 3t，故1,0
25、,3EC，3,1,1n2，最后2 315sincos,52 5EC n2求得；解法 2：通过构造法作出二面角APBD的平面角AFO,设 DP=t，作出二面角APBD的平面角AFO,212tan2 333/12OAAFOtOFtt由，求出点到平面PAB的距离15sin5hCE试题解析：（1）因为DP平面ABCD，所以DPAC，1 分因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC2 分又,.BDPDDACPBD平面因为.DEPBDACDE平面，5 分（2）解法1:连接,OE在PBD中，/,EOPD所以,EOABCD平面分别以,OA OB OE所在直线为x轴，y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，第 1
26、7 页 共 23 页设,PDt则1,0,0A，0,3,0,1,0,0,0,0,0,3,2tBCEPt 6 分由（1）知，平面PBD 的一个法向量为（1,0,0），设平面PAB的一个法向量为，则得3030 xyxytz，令1y，得2 33,1,.tn28分因为二面角APBD的余弦值为155，所以2315cos,5124tnn12，解得2 3t或2 3t（舍去），所以0,3,23P10 分设 EC 与平面PAB所成的角为因为1,0,3EC，3,1,1n2，2 315sincos,52 5EC n2所以 EC 与平面PAB所成角的正弦值为155 12 分解法 2:设 DP=t，作出二面角APBD的平
27、面角AFO第 18 页 共 23 页212tan2 333/12OAAFOtOFtt由，求出点到平面PAB的距离15sin5hCE【考点】1、线面垂直和线线垂直的互化；2、空间向量在立体几何中的应用；3、空间想象能力和综合分析能力20已知数列na满足11a，*11nnnnaaaanN.（1）求证：数列1na为等差数列，并求na；（2）设112nnba，数列nb的前n项和为nS，求证：111nSnn.【答案】（1）证明见解析，21nan；（2）证明见解析.【解析】（1）对式子*11nnnnaaaanN，变形化简得1111nnaa，根据定义即可证明数列1na为等差数列，求出na；（2）先化简112
28、nnba221(1)n，再用数学归纳法证明不等式，在证明从nk到1nk的递推式时，可用分析法推导.【详解】解：（1）由11nnnnaaaa，得1111nnaa，所以数列1na是以 1 为首项 1 为公差的等差数列，即111nnna，化简得21nan.（2）因为122121(1)nnban，下面用数学归纳法证明111nSnn:第 19 页 共 23 页当1n时，左边1162Sb，右边32，不等式成立；假设当nk，*kN时不等式成立，即有111kSkk则当1nk时，11kkkSSb111kk221(2)k，而此时不等式右为应为122kk，下面再证明212111212(2)kkkkk，即只需证明22
29、111(2)(1)(2)kkk，即只需证明2221220(2)(1)(2)(1)(2)kkkkk，这显然成立，即1nk时，不等式也成立.综合可得，111nSnn成立.【点睛】本题考查了等差数列的概念和通项公式，还考查了与*N有关的不等式，可用数学归纳法证明，属于中档题.21已知抛物线220ypx p的焦点F到准线l的距离为2，直线0 xymmR与抛物线交于不同的两点A，B.（1）求抛物线的方程；（2）是否存在与m的取值无关的定点T，使得直线AT，BT的斜率之和恒为定值？若存在，求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）24yx；（2）存在，1,2T.第 20 页 共 23 页【解
30、析】（1）本题可根据题意得出焦点坐标以及准线方程，然后根据焦点F到准线l的距离为 2 即可求出2p，最后根据2p即可求出抛物线方程；（2）本题首先可设出,T a b、11,A x y、22,B xy，然后联立方程240yxxym并通过韦达定理得出121216 16044myyyym，再然后对ATBTkk进行化简并根据ATBTkk为与m无关的常数得出20220babab，最后通过计算即可得出结果.【详解】（1）由题意得,02pF，准线方程：2px，所以2p，抛物线方程为24yx.（2）假设存在定点T满足题意，设,T a b，11,A x y，22,B xy，联立方程240yxxym，消去x得24
31、40yym，由韦达定理得121216 16044myyyym，因为直线AT、BT的斜率为11ATybkxa、22BTybkxa，所以1221121212ATBTybxaybxaybybkkxaxaxaxa222122121221222212124444444444yyybaybaybyaybyayyyayaaa221212121222221212416432416y yyya yyb yyaby ya yya2121212121222212121241642324216y yyya yybyyy yaby yayyy ya222(2)2224bmababmamaa.第 21 页 共 23 页要
32、使ATBTkk为与m无关的常数，只能20220babab，解得1a，2b，此时0ATBTkk为常数，综上所述，存在定点1,2T，使得直线AT、BT的斜率之和恒为定值0.【点睛】本题考查抛物线的方程的求法以及抛物线中的定值问题，考查直线与抛物线相交的相关问题，考查韦达定理的灵活应用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题.22已知函数2 xfxe（其中e为自然对数的底数）.（1）证明：当0 x时，2122fxxx；（2）当0 x时，2lnxfxxaxa恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）0ae.【解析】（1）构造函数2()()122g xf xxx，对其进行求导，再对导
33、函数进行求导，进而判断出函数()g x在0,)x上单调递增，结合(0)0g，从而证得()0g x，即原不等式成立；（2）先由特殊值0 x求得0ae，再用反证法证明该范围能使0 x时不等式恒成立.由（1）的结论，当0 x时将恒成立的不等式转化为22122ln()xxxxaxa.由0ae得2xxxa，则可构造函数2()12ln()(0)p xxxxa x，证明()0p x.利用导函数，以及重要不等关系“ln1xx”分别证明1ae时和01a时，()0p x，则不等式得证，从而求得0ae.【详解】解：（1）令2()()122g xf xxx22122(0)xexxx，所以2224xgxex，令2224
34、0 xh xex x，第 22 页 共 23 页2()44(0)xh xex，则0hx成立，h x在0,单调递增，00h xh，即0gx成立，所以g x在0,单调递增，得00g xg，即当0 x时，2122fxxx，得证；（2）因为当0 x时，2()ln()xfxxaxa恒成立，令0 x得0lnfa，所以0ae，下证当0ae时原不等式成立由（1）知当0 x时，2122fxxx只需证明22122ln()xxxxaxa，因为当0ae时，2xxxa，故只需证明212ln()0 xxxa，令2()12ln()(0)p xxxxax，所以214(41)1()14xaxap xxxaxa，当1ae时，0px成立，p x在0,单调递增，01ln0p xpa成立，当01a时，由不等式ln1xx知ln1xaxa，所以22()12(1)220p xxxxaax成立，综上原不等式得证，故实数a的取值范围为：0ae.【点睛】本题考查了利用导函数证明不等式，不等式恒成立求参数范围的问题，考查了反证法证明不等式，属于综合性较强的难题.第 23 页 共 23 页