【最新】2020届浙江省嘉兴市高三下学期5月教学测试数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 23 页2020 届浙江省嘉兴市高三下学期5 月教学测试数学试题一、单选题1已知全集1,2,3,4,5,6,7,8U,1,2,3A,B4,5,6,则UUAB痧等于()A1,2,3B4,5,6C1,2,3,4,5,6D7,8【答案】D【解析】利用补集和并集的定义即可得解.【详解】Q1,2,3,4,5,6,7,8U,1,2,3A,4,5,6B,4,5,6,7,8UAe,1,2,3,7,8UBe,=7,8UUAB痧.故选:D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,熟练掌握补集和并集的定义是解决本题的关键,属于基础题.2双曲线22124xy的渐近线方程为()A2yxB2yxC12yxD2

2、2yx【答案】B【解析】由双曲线的渐近线方程为byxa,即可得到所求双曲线的渐近线方程.【详解】Q双曲线为22124xy,2a,2b,渐近线方程为:byxa,其渐近线方程为:222yxx,故选:B.第 2 页 共 23 页【点睛】本题主要考查利用双曲线的标准方程求渐近线,意在考查学生对基础知识的掌握情况,属于基础题.若双曲线方程为22221xyab,则渐近线方程为byxa.3复数11i(i为虚数单位)的共轭复数是()A11i22B1iC11+i22D1+i【答案】A【解析】将复数化简为1111i22zi,再求出复数的共轭复数即可得解.【详解】令11iz,则11111i222izi,所以,112

3、2zi,故选:A.【点睛】本题主要考查复数的代数形式的运算,涉及共轭复数,属于基础题.4已知m,n表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是()A若/,/,mn则/mnB若m,n,则mnC若m,mn,则/nD若/m,mn,则n【答案】B【解析】试题分析:线面垂直,则有该直线和平面内所有的直线都垂直,故B 正确.【考点】空间点线面位置关系5已知,Ra b,则“1a”是“直线10axy和直线2(2)10 xay垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据直线垂直的等价条件,求出a的取值,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.第 3 页

4、 共 23 页【详解】直线10axy和直线2(2)10 xay垂直,则220aa,解得2a或1a,所以,由“1a”可以推出“直线10axy和直线2(2)10 xay垂直”,由“直线10axy和直线2(2)10 xay垂直”不能推出“1a”,故“1a”是“直线10axy和直线2(2)10 xay垂直”的充分不必要条件,故选:A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合直线垂直的等价条件是解决本题的关键,属于基础题.6若直线2yx上不存在点(,)x y 的坐标满足条件30230 xyxyxm则实数m的最小值为()A12B1C32D2【答案】B【解析】画出不等式组所表示的平面区域,利用直线

5、2yx与30 xy确定的交点,结合题设条件即可得出m的最小值.【详解】画出满足条件的平面区域,如图所示,第 4 页 共 23 页当直线xm从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时,m取最小值,解方程组230yxxy,解得A点的坐标为1,2,所以,m的最小值是1,故选:B.【点睛】本题考查线性规划知识的应用,考查学生的理解能力,灵活运用数形结合的思想即可求解,属于中档题.7已知数列na,满足1aa且*1*121,N222,Nnnnankkaank k,设nS是数列na的前n项和,若20201S,则a的值为()A13030B12020C11515D1【答案】C【解析】根据题意,可求得数列na的奇数

6、项均为a,偶数项均为12a,进而求得20201515Sa,由15151a,即可求得a的值.【详解】由1aa且*1*121,N222,Nnnnankkaank k,得212aa,3aa,412aaL第 5 页 共 23 页所以,,21,1,2,2na nkkNaa nk kN,202011010101015152Saaa,又20201S,所以15151a,解得11515a,故选:C.【点睛】本题考查了数列的通项公式和前n项和,确定数列na的通项公式是解题的关键,属于基础题.8 分别将椭圆1C的长轴、短轴和双曲线3C的实轴、虚轴都增加m个单位长度(0m),得到椭圆2C和双曲线4C记椭圆12,C C

7、和双曲线34,C C的离心率分别是1234,e e e e,则()A12ee,34eeB12ee,3e与4e的大小关系不确定C12ee,34eeD12ee,3e与4e的大小关系不确定【答案】B【解析】设2mk,分别求出1e,2e,3e,4e,由1101ba和比例性质即可求得12ee,因为33ba与 1 的大小不确定,所以无法判断3e,4e,大小.【详解】设2mk,则2111111()cbeaa,222211122211()()1()()cakbkbkeaakak,因为1101ba,由比例性质可知11111bbkaak,所以12ee;2333331()cbeaa,222333442433()()

8、1()()akbkbkceaakak,第 6 页 共 23 页因为33ba与 1 的大小不确定,所以33ba和33bkak的大小也不确定,即无法判断3e,4e,大小.综上,12ee,3e与4e的大小关系不确定.故选:B.【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的离心率问题,其中涉及到比例性质的运用,属于中档题.9将边长为1 的正方形ABCD沿对角线BD翻折,使得二面角ABDC的平面角的大小为3,若点E,F分别是线段AC和BD上的动点,则BE CFuuu r uuu r的取值范围为()A 1,0B1 1,4C1,02D1 1,2 4【答案】B【解析】设O点为BD中点,连接AO,CO,由题意可证得60AO

9、C,作APOC,EQAPP,利用向量的基本运算可得BE CFBQ CFuuu r uu u ruuu ru uu r,再通过建立平面直角坐标系,设,Q m m,314m,,1Fnn,(01)n,求出BQuuu r,CFuuu r,利用向量数量积的坐标表示可求出1BE CFmnu uu r uu u r,借助mn的范围,即可得解.【详解】设O点为BD中点,连接AO,CO,由题意可知AOBD,COBD,所以60AOC,作APOC,则 P 为 OC 中点作EQAPP,则EQ平面 BCD,所以()BE CFBQQECFBQ CFuuu r uu u ruuu ruuu ru uu ruuu r uuu

10、 r,如图建立平面直角坐标系:第 7 页 共 23 页则10B,,1,1C,设,Q m m,314m,,1F nn,(01)n,所以,1,BQmmu uu r,1,CFnnuuu r,则1BE CFBQ CFmnuuu r uu u ruuu r uuu r,因为324mn,所以11,4BE CFuuu r uu u r,故选:B.【点睛】本题考查平面图形的翻折,考查二面角,向量的基本运算以及向量数量积的坐标表示,考查学生的推理能力和计算能力,难度较大.10设函数()lncosf xxx的极值点从小到大依次为123,na aaaLL,若1nnncaa,nd1()()nnf af a,则下列命题

11、中正确的个数有()数列nc为单调递增数列数列nd为单调递减数列存在常数R,使得对任意正实数t,总存在*0Nn,当0nn时,恒有nct存在常数R,使得对任意正实数t,总存在*0Nn,当0nn时,恒有ndtA4 个B 3 个C2 个D1 个【答案】D【解析】求导,通过作函数1yx和sinyx的图象,可得(1)错误,(3)正确;通第 8 页 共 23 页过函数lncosfxxx的图象,可得(2)错误;11lncoscosnnnnnadaaa,因为1lim ln0nnnaa,1coscos2nnaa或者2,可知(4)错误.【详解】由()lncosf xxx得1s(i)nfxxx,分别作函数1yx和si

12、nyx的图象,如图,因为1223,c c cc,所以(1)错误;lim0nnc,所以(3)正确;函数lncosfxxx的图象,如图,因为10d,20d,30d,所以(2)错误;1111lnlncoscoslncoscosnnnnnnnnnadaaaaaaa因为1lim ln0nnnaa,1coscos2nnaa或者2,所以(4)错误.综上,仅(3)正确.所以,正确的个数只有1 个.故选:D.第 9 页 共 23 页【点睛】本题考查了判断命题的真假,其中涉及到数列的增减性、函数的求导以及对于函数极值点的理解问题,考查数形结合的思想,难度较大.二、双空题11已知函数()2sin(2)3f xx,则

13、其最小正周期T_,()3f_【答案】3【解析】由周期公式和特殊角的三角函数值即可求得结果.【详解】函数()2sin(2)3f xx的最小正周期22T,2sin22sin33333f,故答案为:;3.【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性,涉及函数值的求解,属于基础题.12某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则此几何体的所有侧面中,直角三角形共有 _个,该几何体的体积是_3cm【答案】3 2【解析】根据三视图,可知该几何体为四棱锥1DAECD,由此可判断此几何体的所第 10 页 共 23 页有侧面中,直角三角形的个数,利用椎体的体积公式即可求得该几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可知,该几

14、何体为四棱锥1DAECD,Q1ADD D,1ADDV为直角三角形,QAB平面11ADD A,1AD平面11ADD A,1AEAD,1ADDV为直角三角形,Q1CDD D,1CDDV为直角三角形,415CE,1442 2CD,11443D E,1D EC三边不满足勾股定理,1D EC不是直角三角形,所以,此几何体的所有侧面中,直角三角形共有3 个.1111222232DAECDV.故答案为:3;2.【点睛】本题考查的是由三视图还原几何体以及求几何体的体积,解决本题的关键是得到该几何体的形状,属于基础题.将三视图还原为空间几何体,首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本

15、原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.13二项式341()xx的展开式中,常数项为_,所有项的系数之和为_【答案】4 16【解析】利用展开式的通项公式,可得展开式中的常数项;令1x,可求得所有项的系数之和.第 11 页 共 23 页【详解】341()xx的展开式的通项4312 41441rrrrrrTCxC xx,令1240r,解得3r,则常数项为344C;二项式341()xx中,令1x,得到41116,则所有项的系数之和为16.故答案为:4;16.【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式以及展开式

16、各项系数之和的求法,属于基础题.“赋值法”是一种处理二项展开式系数和的常用方法,对于形如naxb,a bR的式子,求其展开式各项系数之和,只需令1x,计算nab的值即可.14已知随机变量的分布列如下:123P122a2a则a_,方差()=D_【答案】121116【解析】根据分布列的性质,即可求出a的值;求出期望,根据方差的计算公式,即可求出D.【详解】由题意可得22112201012aaaa,解得12a,112P,124P,134P,第 12 页 共 23 页11171232444E,2221717171112324444416D,综上,12a,1116D.故答案为:12;1116.【点睛】本

17、题主要考查分布列的性质,求离散型随机变量的均值与方差,意在考查学生对这些知识的掌握水平,熟记计算公式即可,属于基础题.三、填空题15将,A B C D E F六个字母排成一排,若,A B C均互不相邻且,A B在C的同一侧,则不同的排法有_种(用数字作答)【答案】96【解析】先排 D、E、F,再利用插空法排A,B,C 且 C 只能插在A、B 的同侧,根据乘法原理计算出结果【详解】解:先排D、E、F,有33A种排法;再利用插空法排A,B,C 且 C 只能插在A、B 的同侧,有312422CC A种排法;所以有33123422A C CA96 种排法故答案为:96.【点睛】本题主要考查排列组合问题

18、,其中涉及到分步乘法计数原理,属于中档题.不相邻问题采用插空法,求解过程为:对于要求有几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,然后将不相邻的元素插入在已排好的元素之间及两端空隙处.16已知函数ln,012,02xx xfxx若()0ff a,则实数a的取值范围为_【答案】21log 3,0,ee【解析】先求0fx,从而得出fa的范围,即01fa或10f a,第 13 页 共 23 页解此不等式即可得出答案.【详解】ln,012,02xx xfxx,令0fx,即ln00 xx或12020 xx,解得01x或10 x,Q()0ff a,01f a或10f a,0ln10aa或102120aa

19、或1ln00aa或112020aa,解得2log 30a或1aee,故答案为:21log 3,0,ee.【点睛】本题考查了解分段函数不等式问题,属于基础题.求解不等式时,要注意在对应区间上进行求解.17四面体PABC中,3PA,其余棱长都为2,动点Q在ABCV的内部(含边界),设PAQ,二面角PBCA的平面角的大小为,APQV和BCQ的面积分别为12,S S,且满足123sin4sinSS,则2S的最大值为 _【答案】4 36【解析】取BC的中点E,连接,PE AE,则3PEA,设点Q到BC的距离为h,根据题意121sin3sin214sin2AQhAPSSBC,解得AQh,从而得出点Q的轨迹

20、为以点A为焦点,以BC为准线的抛物线在ABCV内的一段弧,可求得max4 36h,进而可求得2S的最大值.【详解】第 14 页 共 23 页取BC的中点E,连接,PE AE,QPBCV和ABCV均为等边三角形,PEBC,AEBC,面ABC I面 PBCBC,PEA即为二面角PBCA的平面角,PEA,Q3AE,3PE,3AP,3设点Q到BC的距离为h,则121sin3sin214sin2AQhAPSSBC,解得AQh,故点Q的轨迹为以点A为焦点,以BC为准线的抛物线在ABCV内的一段弧,当点Q位于抛物线和AC的交点时,h最大,设AC与抛物线交于点E,过E作EF垂直于BC,交BC于点F,则AEEF

21、h,2ECh,3C,所以sin32hh,解得max4 36h,所以2max14 362BC hS.故答案为:4 36.第 15 页 共 23 页【点睛】本题考查了二面角,抛物线的定义,考查学生对这些知识的掌握能力,属于综合题,确定出Q点的位置是解题的关键,难度较大.四、解答题18在ABCV中,内角,A B C所对的边分别为,a b c,且3 sincos0aBbA(1)求角A的大小;(2)若1a,求3bc的取值范围【答案】(1)6A(2)(1,2【解析】(1)利用正弦定理进行化简,即可求得结果;(2)利用正弦定理得出2sinbB,2sincC,将3bc转化为sin(3n2)siBC,并利用三角

22、恒等变换进行化简,再借助角B的取值范围即可得解.【详解】(1)因为3 sincos0aBbA,所以3 sinsinsincos0ABBA,因为sin A,所以:3tan3A,所以6A.(2)121sinsinsin2abcABC,所以2sinbB,2sincC,所以sin3sin2(3)bcBC52(3sisinn()6BBsincossi552(3sinncos)66BBBsin312()os22cBB2sin()6B,506B,第 16 页 共 23 页因为2663B,所以3bc的取值范围为(1,2.【点睛】本题考查了正弦定理的应用,三角恒等变换以及三角函数的取值范围问题,属于中档题.在解

23、有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理.19 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2 的正方形,且2PAPB,若点 E,F 分别为 AB 和 CD 的中点(1)求证:平面ABCD平面PEF;(2)若二面角PABC-的平面角的余弦值为36,求PC与平面PAB所成角的正弦值【答案】(1)见解析(2)226【解析】(1)先由线面垂直的判定定理证得AB平面PEF,再由面面垂直的判定定理证得平面ABCD平面PEF;(2)由二面角的定义及题意可知,3cos6PEF

24、,建立空间直角坐标系,求出平面PAB的法向量nr,PCuuu r,利用sincos,n PCn PCnPCr uuu rr uuuu rruuu r即可得解.【详解】(1)QPAPB,E为AB中点,第 17 页 共 23 页ABPE,又ABEF,PE平面PEF,EF平面PEF,PEEFE,AB平面PEF,又AB 平面 ABCD,平面ABCD平面PEF.(2)QPEAB,EFAB,平面PAB平面ABCDAB,PEF就是二面角PABC-的平面角,所以3cos6PEF,如图作POEF,垂足为O,则363OEOEPE,所以12OE,32OF,则112OP,如图,建立空间直角坐标系,则11(0,0,)2

25、P,3(1,0)2C,1(1,0)2A,1(1,0)2B,设平面PAB的法向量为(,)nx y zr,则00PB nAB nuuu vvuuu vv,即11102220 xyzx,令1z,则0111xyz,则(0,11,1)nr是平面PAB的一个法向量,311(1,)22PCuuu r,则2 1122sincos,6126n PCn PCnPCr u uu rr uu uu rruuu r.第 18 页 共 23 页所以PC与平面PAB所成角的正弦值226.【点睛】本题考查了线面垂直和面面垂直的判定定理以及向量法求线面角的正弦值,考查学生的推理与运算能力,建立恰当的空间直角坐标系是解题的关键,

26、属于中档题.20已知数列na的前n项和为nS,且22nnnS公比大于0 的等比数列nb的首项为11b,且2320bb(1)求na和nb的通项公式;(2)若2()nnnacb,求证:1237.2ncccc,()nN【答案】(1)nan,14nnb,(2)见解析【解析】(1)对于数列na,利用公式1112nnnSnaSSn即可求得数列na的通项公式;设nb的公比为0q q,利用2320bb和11b,可求出q的值,进而得到数列nb的通项公式;(2)首先计算出221()4nnnnancb,然后计算出当2n时,1nncc关于n的表达式并进行放缩,进一步可将数列nc放缩成2916nnc,注意1n时要另外计

27、算,求123ncccc,计算结果并加以放缩,即可证明不等式成立.【详解】(1)数列na的前n项和为nS,且22nnnS,当1n时,111 112aS,当2n时,2211122nnnnnnnaSSn,经检验,11a满足nan,所以,数列na的通项公式为nan;第 19 页 共 23 页设nb的公比为0q q,2320bb即21120b qb q,将11b代入21120b qb q,得2200qq0q,解得4q,所以,数列nb的通项公式为14nnb.(2)221()4nnnnancb,当2n时,22212211(1)1(1)9444164nnnnncnnncn,即1916nncc,12cc1Q,3

28、916c,当2n时,2916nnc,123ncccc2299911161616n1911619116n116911716n162371772*1237,nN2ncccc.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法,以及数列求和的不等式证明问题.考查了转化与化归思想,方程思想,分类讨论思想,放缩法,不等式的运算能力,以及逻辑推理能力和第 20 页 共 23 页数学运算能力,属于中档题.已知nS求na的方法:利用1112nnnSnaSSn,一定要检验11aS是否适合2n的表达式,若11aS适合2n的表达式,则1(1)nnnaSSn,若不适合,则分段表述.21设点(,)P s t为抛物线2:2(0)Cy

29、pxp上的动点,F是抛物线的焦点,当1s时,54PF(1)求抛物线C的方程;(2)过点P作圆M:22(2)1xy的切线1l,2l,分别交抛物线C于点,A B当1t时,求PAB面积的最小值【答案】(1)2yx(2)最小值3 3【解析】(1)利用抛物线的焦半径公式求得p值,进而得到抛物线方程;(2)设过点2(,)P tt的切线为2()xm ytt,利用圆心到直线的距离等于半径得到22|2|11mttm,化简并借助韦达定理,可得21222(2)1t tmmt,2123mmt,设221122,A yyB yy,则直线211:()lxmytt,与抛物线联立,再由根与系数的关系可得11ymt,同理22ym

30、t,再设直线1212:AB xyyyy y,利用弦长公式求弦长,由点到直线距离公式求P到直线AB的距离,代入三角形面积公式,换元后利用基本不等式和二次函数求最小值.【详解】(1)当1s时,5|24pPFs,所以12p,故所求抛物线方程为2yx.第 21 页 共 23 页(2)点,P s t为抛物线2yx上的动点,则2st,设过点2(,)P tt的切线为2()xm ytt,则22|2|11mttm,得22222(1)2(2)(2)10(*)tmttmt,12,m m是方程()式的两个根,所以21222(2)1t tmmt,2123mmt,设221122,A yyB yy,因直线2:()lxm y

31、tt,与抛物线2:Cyx交于点 A,则212()xm yttyx得22110ym ymtt,所以211tymtt,即11ymt,同理22ymt,设直线1212:ABxyyyy y,则21212|1()|AByyyy,212122121tt yyy ydyy,又12122221tyymmtt,2121223()()1ty ymtmtt,所以212121211|()|22PABSAB dyytt yyy yV2222222212323421111tttttttttt42422233311ttttt第 22 页 共 23 页令210ut,2411(2)1PABSuuuuV,当且仅当2u,即3t时,P

32、ABSV取得最小值3 3.【点睛】本题考查抛物线方程的求法,考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用,考查整体运算的思想方法,考查计算能力,属于难题.22定义两个函数的关系:函数(),()m x n x的定义域分别为,A B,若对任意的1xA,总存在2xB,使得12()()m xn x,我们就称函数()m x 为()n x的“子函数”已知函数3()1ln43xf xx,432()3g xxaxbxax,,Ra b(1)求函数()f x 的单调区间;(2)若()f x 为()g x的一个“子函数”,求22ab的最小值【答案】(1)单调递减区间为0,3,单调递增区间为(3,),(2)45【解析】(

33、1)求导,令()0fx,可得fx的单调递增区间;令()0fx,可得fx的单调递减区间;(2)根据fx的单调性求出fx的取值范围,进而得到min()2g x,即2g x有实数解,从而得到22110 xaxbaxx,令1(,22,)txx,可得220tatb,令22uab,则2min221tut,24t,利用换元法和函数的单调性即可得出结果.【详解】(1)3()1ln43xf xx,函数fx的定义域为0,,31(12)(2 11)()42 141xxfxxxxx,令()0fx,即120 x,解得3x,所以函数fx的单调递增区间为(3,);令()0fx,即120 x,解得03x,第 23 页 共 2

34、3 页所以函数fx的单调递减区间为0,3,综上,函数fx的单调递减区间为0,3,单调递增区间为(3,).(2)由(1)知,当3x时,函数fx取得极小值,即最小值,所以2,)fx,当x时,g x,且g x为连续函数,只需min()2g x,即2g x有实数解,即43210 xaxbxax,因为0 x,则22110 xaxbaxx,令1(,22,)txx,即220tatb在区间(,22,)U上有实数解,将,a b看成直线220tabt上的点,令22uab,则2min221tut,24t,令215st,则min325uss,所以22ab的最小值为45.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值,不等式的解法,考查了换元法和等价转化法的应用,考查学生的推理能力与计算能力,属于难题.

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