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1、第 1 页 共 22 页2020届浙江省金华十校高三下学期4 月模拟考试数学试题一、单选题1已知集合|120Axxx，|12Bxx，则 A B（）Ax|1x2 B x|1 x 2Cx|1x 2Dx|1 x2【答案】A【解析】先求出集合A，然后进行交集的运算即可【详解】12012Axxxxx，12Bxx，121212ABxxxxxx.故选：A【点睛】本题考查了集合的运算与一元二次不等式的求解，属于基础题.2若复数21aii(aR，i 是虚数单位)是纯虚数，则a 的值为()A 2 B 2 C1 D 1【答案】B【解析】试题分析：2122222111222aiiaa iaaiaiiii为纯虚数，故有
2、202a，202a即2a.【考点】复数的运算，分类.3若x，y满足约束条件42yxxyy，则2zxy的最大值是（）A8 B 4 C2 D6【答案】D【解析】先根据约束条件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图所示：由4yxxy，解得(2,2)A，第 2 页 共 22 页由2zxy，得122zyx，平移直线122zyx，由图象可知当直线经过点A，直线的截距最大，此时z最大，此时6z，故选：D【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.4设 aR，则
3、“a 2”是“方程 x2+y2+ax 2y+20 的曲线是圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程22220 xyaxy的曲线是圆，则有2224480DEFa，解之得2a或2a，再利用充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】方程22220 xyaxy的曲线是圆，则有2224480DEFa，解之得2a或2a，则“2a”是“2a或2a”的充分不必要条件，所以“2a”是“方程22220 xyaxy的曲线是圆”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了圆的一般方程的应用及充分条件、必要条件的概念，属于基础题.5在下面四个x，的函数图象中，函
4、数y|x|cos2x 的图象可能是（）第 3 页 共 22 页ABCD【答案】D【解析】由函数为偶函数，可排除 A、C；由()0f，可排除 B；进而得出正确选项【详解】()cos(2)cos2()fxxxxxf x，即()f x 为偶函数，可排除A、C；又(2)2cos220fkkkkkZ，可排除B故选：D【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性的应用和三角函数的性质，属于基础题.6已知在三棱柱ABC A1B1C1中，M，N 分别为 AC，B1C1的中点，E，F 分别为 BC，B1B 的中点，则直线MN 与直线 EF、平面 ABB1A1的位置关系分别为（）A平行、平行B异面、平行C平
5、行、相交D异面、相交【答案】B【解析】推导出EF平面11BCC B，MN I平面11BCC BN，NEF，由异面直线判定定理得直线MN与直线EF是异面直线；取11AC中点P，连结PM，PN，则11/PNB A，1/PMA A，从而平面/PMN平面11ABB A，由此得到直线MN与平面11ABB A平行【详解】在三棱柱111ABCA B C中，M，N分别为AC，11B C的中点，E，F分别为BC，1B B的中点，EF平面11BCC B，MN I平面11BCC BN，NEF，由异面直线判定定理得直线MN与直线EF是异面直线；取11AC中点P，连结PM，PN，第 4 页 共 22 页则11/PNB
6、A，1/PMA A，1111AAA BAI，PMPNP，平面/PMN平面11ABB A，MN平面 PMN，直线MN与平面11ABB A平行故选：B【点睛】本题考查了棱柱的几何特征及异面直线、线面平行的判定，属于中档题.7口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4 个小球 表示当 n3 时取出黑球的数目，表示当 n4 时取出黑球的数目则下列结论成立的是（）AE（）E（），D（）D（）BE（）E（），D（）D（）CE（）E（），D（）D（）DE（）E（），D（）D（）【答案】A【解析】当3n时，的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出2E，25D；当4n时，可
7、取 1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出167E，2449D，即可得解【详解】当3n时，的可能取值为1，2，3，134336115CCPC，342236325CCPC，343136135CCPC，131232555E，112555D；第 5 页 共 22 页当4n时，可取 1，2，3，4，1434374135CCPC，22437418235CPCC，31437412335CPCC，4404375143CCPC，41812116234353535357E，22224161816121611612343573573575494372D；()()EE，()()DD故选：A【点睛】本题考查了
8、超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.8已知函数2100axxfxlnxx，下列关于函数0ffxm的零点个数的判断，正确的是（）A当 a 0，mR 时，有且只有1 个B当 a0，m 1 时，都有3个C当 a 0，m 1 时，都有4 个D当 a 0，1m0 时，都有4 个【答案】B【解析】分别画出0a，0a，0a时，yfx的图象，结合tfx，0f tm的解的情况，数形结合可得所求零点个数【详解】令tfx，则0f tm，当0a时，若1m，则0t或te，即01x或exe，即当0a，mR时，不是有且只有1 个零点，故A 错误；当0a时，1m时，可得0t或mtee，
9、可得x的个数为123个，即 B正确；第 6 页 共 22 页当0a，1m或10m时，由0m，且1m，可得零点的个数为1 个或3 个，故 C，D 错误故选：B【点睛】本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.9设三棱锥VABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA底面 ABC，M是线段 BC 上的点（端点除外），记 VM 与 AB 所成角为，VM 与底面 ABC 所成角为，二面角AVCB 为 ，则（）A2，B2，C2，D2，【答案】C【解析】由最小角定理得，由已知条件得AB平面VAC，过A作ANVC，连结BN，得BNA，推导出BVA，由VA平面ABC，得VMA，推导出
10、MVA，从而2，即可得解.【详解】由三棱锥VABC的底面是A为直角顶点的等腰直角三角形，VA平面ABC，M是线段BC上的点（端点除外），记VM与AB所成角为，VM与底面ABC所成角为，二面角AVCB为，由最小角定理得，排除 A 和 B；由已知条件得AB平面VAC，过A作ANVC，连结BN，得BNA，第 7 页 共 22 页tantanABBNAAN，而tanABBVAAV，ANAV，tantanBNABVA，BVA，VA平面ABC，VMA，2MVA，tanAMMVAAV，ABAM，tantanBVAMVA，MVA，2故选：C【点睛】本题查了线线角、线面角、二面角的关系与求解，考查了空间思维能力
11、，属于中档题.10设 aR，数列 an满足 a1 a，an+1an（an2）3，则（）A当 a 4 时，a10210B当2a时，a102C当13a时，a10210D当165a时，a102【答案】C【解析】令2nnba，则31nnnbbb，令3()f xxx，则2()13fxx，则()f x在3,3和33,+上单调递减，在3333，上单调递增，分别取2a和165a，利用函数的单调性推导出1303nb，从而可得B，D 错误；当4a时，利用函数的单调性推导出2nb，从而可得A 错，C 正确；即可得解.【详解】第 8 页 共 22 页令2nnba，则31nnnbbb，令3()f xxx，则2()13f
12、xx，由()0fx，得3333x，由()0fx，得33x或33x，则()f x 在3,3和33,+上单调递减，在3333，上单调递增，且32 33()393f，(0)0f，故当3333，x时，有3333，fx.当2a时,13223b，2301813 23b，依次类推有213103nnnbbb，当165a时，165b，266301253b，同理有213103nnnbbb，此时均有1122nnab，故 B，D 错误；当4a时，12b，262b，由fx的单调性可知332262b，342262b，依次类推可得2nb，2113nnnbbb.又2211111110nnnnnnnnbbbbbbbb，故11,
13、nnbb同号.而222910181091111232bbbbb，2b与10b同号，故10102b，所以1010220a，则 A 错误；当13a时，153b，280227b，同理可得当2n时，2nb，2113nnnbbb.且22111110nnnnnnbbbbbb，2b与10b同号，2228651002921880111323227bbbbb，第 9 页 共 22 页所以101010222a，故C正确故选：C【点睛】本题考查了导数和数列的综合应用，考查了运算能力和推理能力，属于难题.二、双空题11若双曲线221xya的一渐近线方程是x+2y0，则 a_；离心率是 _【答案】4 52【解析】由双曲
14、线的方程表示出渐近线的方程即可求出a，进而求出双曲线的离心率【详解】由双曲线221xya的方程可得渐近线的方程为：yxa，而由题意可得112a，所以4a，所以双曲线离心率4 1524e.故答案为：4，52【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，属于基础题.12一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是_，体积是 _【答案】16+626【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积【详解】由三视图可知该几何体为三棱柱，该三棱柱的底面为直角边长为2，2 的直角三角形，第 10 页 共 22 页高为 3，所以该几何体的表面积为：123232 23222166 22S该几何体
15、的体积为：122 362V故答案为：166 2，6【点睛】本题考查了三视图的识别及三棱柱的体积和表面积的求解，属于基础题.13已知 aR，若二项式(1)nax的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则 n_，含 x 项的系数是 _【答案】4 24 或 96【解析】由题意可得216n，解得 n 后，令1x即可得 a，利用二项式展开式的通项公式即可得解.【详解】二项式(1)nax的展开式中二项式系数和是16，216n，解得4n；令1x，可得4181a，解得2a或4，二项式展开式的通项公式为2442144()rrrrrrTCaxC ax，令2r=，则 x 项的系数是22246C aa，当2
16、a时，2624a，当4a时，2696a，所以含 x 项的系数是24 或 96故答案为：4，24 或 96【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力，属于中档题.14已知 ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为a，b，c，且，2A，c+bcosAacosB2acosA，则ba_，内角 B 的取值范围是_【答案】22（0，4）第 11 页 共 22 页【解析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得2sincos2sincosBAAA，结合2A，可得2sinsin2BA，由正弦定理可得22ba；由2sinsin2BA，且ba，B 为锐角，即可求解B 的范围【详解】coscos2 co
17、scbAaBaA，由正弦定理可得：sinsincossincos2sincosCBAABAA，sinsinsinsincossincosCABABABBA，sincossincossincossincos2sincosABBABAABAA，即2sincos2sincosBAAA，2A，可得2sinsin2BA，由正弦定理可得22ba，22sinsin0,22BA，且ba，B 为锐角，0,4B.故答案为：22,0,4.【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角恒等变换与正弦定理的综合应用，属于中档题.三、填空题15已知椭圆22197xyC：，F 为其左焦点，过原点O 的直线 l 交椭圆于A，B 两点
18、，点 A 在第二象限，且FAB BFO，则直线l 的斜率为 _【答案】73【解析】先设点 A 的坐标，再把需要的直线的斜率表示出，利用角相等解出点的坐标，从而求出斜率第 12 页 共 22 页【详解】设00,A xy，则00,Bxy，00 x，00y且2200197xy，F 为其左焦点，2,0F，00tan2yBFOx，直线 AB 的斜率010ykx经分析直线AF 的斜率必存在，设为0202ykx，则01222120002tan12ykkFABk kxxy，又FABBFO，00220000222yyxxyx，220002 22xxy，又2200197xy，0(3,0)x，可解得：03 22x，
19、0142y，直线 l 的斜率为0073yx故答案为：73【点睛】本题考查了直线方程与椭圆的综合应用，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.16已知非零平面向量ar，br，cr，满足2a barrr，32cabrrr，则b cbcrrrr的最小值是 _【答案】32【解析】根据已知条件可以得出向量ar，br，cr之间的关系，然后利用坐标法、特殊化将br，cr向量的坐标表示出来，最后将问题转化为一个基本不等式问题【详解】由2a barrr得2a bcosarrr（是ar，br的夹角）第 13 页 共 22 页cosbarr，不妨设10ar，1btanr，0,2，2111333cabtanrrr，
20、再令tan0,)t，则22222221113111111991(1)3tb cbctttttrrrr对于分母，再令20mt，当0m时，1b cbcrrrr.当0m时，则分母可化为：24499112121113939mymmmm，2112114239393mmmm，当且仅当3m时取等号，4291433y，13223b cbcrrrr故答案为：32【点睛】本题考查了平面向量线性运算及数量积的坐标表示，考查了基本不等式的应用，属于中档题.17设 a，b R，若函数3221132fxaxbxa x在区间 1，1上单调递增，则 a+b 的最大值为 _【答案】2 第 14 页 共 22 页【解析】求导得2
21、()21fxaxbxa，依题意2210axbxa在1,1x上恒成立，先根据系数比例，令221xx，可得2ab，即a+b的最大值为2，再证明充分性，即当2ab时，2210axbxa在1,1x上恒成立，综合即可得出结论【详解】求导得2()21fxaxbxa，函数()f x 在区间1,1上单调递增，2210axbxa在1,1x上恒成立，令221xx 解得1x或12x，将12x代入可得111022ab，即2ab，则a b的最大值为2，下面证明2ab可以取到，令2()21g xfxaxbxa，则4gxaxb，且0g x，102g，则1202gab，解得23a，43b，当23a，43b时，224411(2
22、1)03333g xfxxxx在1,1x上恒成立，故2ab可以取到，综上，a b的最大值为2故答案为：2【点睛】本题考查了导数的应用，考查了推理能力和转化化归思想，属于中档题.四、解答题18已知函数()sincos(0)f xxax a满足2242fxfx（）求实数a 的值；第 15 页 共 22 页（）设02，且2()23ff，求 sin2【答案】（）3；（）2 616【解析】（）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系即可求得a 的值；（）由题意利用三角恒等变换求得1cos 263，再利用同角三角函数的平方关系求出sin 26的值，再利用两角差的正弦公式即可得解.【详解】（）函数()si
23、nacos(0)f xxx a，sinacoscossin222fxxxxax，2242fxfx，22sinacoscossin4xxxax，214a，又0a故3a；（）由题意()sin3 coscos3 sin2ff222sincos3 sin3 cossin 23 cos222cos 263，1cos 263，02，72,666，22 2sin 21 cos2663，故sin2sin2sin 2coscos 2sin666666第 16 页 共 22 页2 23112 6132326.【点睛】本题考查了三角函数的性质及三角恒等变换的综合应用，考查了运算能力，属于中档题.19如图，在四棱锥C
24、 ABNM 中，四边形 ABNM 的边长均为2，ABC 为正三角形，MB6，MB NC，E，F 分别为 MN，AC 中点（）证明：MB AC；（）求直线EF 与平面 MBC 所成角的正弦值【答案】（）详见解析；（）155【解析】（）连接 AN，由题意可得MBAN，结合MBNC，利用线面垂直的判定可得MB平面NAC，利用线面垂直的性质即可得证；（）取 BC 的中点 G，连接 FG，NG，MG，证明 MG 与 EF 相交，记交点为O，则 O为 MG 与 EF 的中点则直线EF 与平面 MBC 所成角，就是FO 与平面 MBC 所成角，记为 由已知求解三角形可得OF，记 F 到平面 MBC 的距离为
25、h，利用等体积法求得h，则15sin5hOF，即可得解.【详解】（）证明：连接AN，四边形 ABNM 的边长均为2，MBAN，MBNC，且ANNCNI，MB平面NAC，AC平面NAC，MBAC；（）取 BC 的中点 G，连接 FG，NG，MG，显然/FGMN，且12FGMN，即/FGME，FGME，MG 与 EF 相交，记交点为O，则 O 为 MG 与 EF 的中点第 17 页 共 22 页 直线 EF 与平面 MBC 所成角，就是FO 与平面 MBC 所成角，记为,由（）知MBAC，又ABCV为正三角形，BFAC，且3BFMBBFBI，AC平面 MBF，而BF平面 MBF，则MFAC，得3M
26、F，2MC，6MB，3BF，MFBF，ACBFFI，MF平面 ABC，又FG平面 ABC，MFFG，MFME，可得1131122OFEF11 1113333 22MBCFBCFVSMFV，记 F 到平面 MBC 的距离为h，在MBC中，2MCBC，6MB，152MBCS，111513322FMBCMBCVShh，得155h故15sin5hOF.所以直线EF 与平面 MBC 所成角的正弦值为155.【点睛】本题考查了线面垂直的判定和性质，考查了线面角的求解和空间思维能力，属于中档题.20设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知：a52a2+3 且 a2，9S，a14成等比数列（）求数列an的
27、通项公式；（）设正项数列bn满足 bn2Sn+1Sn+1+2，求证：b1+b2+bnn+1第 18 页 共 22 页【答案】（）an2n1；（）详见解析【解析】（）设等差数列 an的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，注意19360ad，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（）求得2nSn，求得nb，并推得222221111111111(1)(1)11nn nbnnnnn nnn，再由数列的分组求和以及裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证【详解】（）设等差数列na的公差为d，由5223aa可得11423adad，又2a，9S，14a成等比数列，可得29
28、14aSa，即11193613adadad，且19360ad，解得11a，2d，则1121naandn；（）证明：由（）可得211212nSnnn，由2112nnnb SS，可得221(1)nbn，由2222222211(1)(1)1(1)(1)nnnnnbnnnn22211(1)n nnn1111111n nnn，故1211111111122311nbbbnnnnnnL.得证.【点睛】本题考查了数列通项公式的确定以及分组求和法、裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.21如图，已知抛物线x22py（p0）的焦点为F（0，1），过 F 的两条动直线AB，CD 与抛物线交出A、B、C、D
29、四点，直线AB，CD 的斜率存在且分别是k1（k10），第 19 页 共 22 页k2（）若直线BD 过点（0，3），求直线AC 与 y 轴的交点坐标（）若k1k22，求四边形ACBD 面积的最小值【答案】（）（0，13）；（）32【解析】（）抛物线方程为24xy，设11,A x y，22,B xy，33,C xy，44,D xy，34xx，直线ykxt代入抛物线方程，当1t时，得12x x，34x x，当3t时，得24x x，进而可得31x x值为43，写出直线AC 方程，令0 x得13143x xy，进而得出结论；（）设11,A x y，22,B xy，33,C xy，44,D xy，34
30、xx，直线 l 的方程是1ykx，联立抛物线方程，由韦达定理可得，21211141AByyk，再求出点C 到 AB 的距离 d1，点 D 到 AB 的距离 d2，1212SABdd，化简得2211116145Skkk，设221450fxxxxx，求导，分析单调性，进而得出minS【详解】（）由题意可得抛物线方程为24xy，设直线ykxt代入抛物线方程得2440 xkxt，设11,A x y，22,B xy，33,C xy，44,D xy，34xx，当1t时，得124x x，344x x，当3t时，2412x x，所以12434443x xxx，第 20 页 共 22 页直线 AC 方程是311
31、3131122111313444xyyxxyyxxxxxxxxxxx，令0 x得1311311443xxyxyxx，故直线 AC 与 y 轴交点坐标是10,3；（）设直线l 的方程是1ykx，代入24xy得2440 xkx，设11,A x y，22,B xy，33,C xy，44,D xy，34xx，则1211244xxkx x，3423444xxkx x，2121112111441AByyk xk xk，点 C 到 AB 的距离133133122111111k xyk xydkk，点 D 到 AB 的距离144144222111111k xyk xydkk，则1344322121112342
32、11212 121kxxyySABddkkkkxxk-22222213434121114 144 1161616145kxxx xkkkkk，设221450fxxxxx，则332433141fxxxxx-，所以fx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，所以在0,内fx最小值14f，故当11k，21k时，min16432S【点睛】本题考查了抛物线与直线的综合应用，考查了导数的应用，属于中档题.22已知函数f（x）ax3axxlnx其中 a R第 21 页 共 22 页（）若12a，证明：f（x）0；（）若xe1x1 f（x）在 x（1，+）上恒成立，求a 的取值范围【答案】（）详见解析；
33、（）12，）【解析】（）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求()f x 的范围，即可得证；（）由已知代入整理可得211lnxaxaxex在(1,)x上恒成立，构造函数2ln1m xaxax x，111111xxn xexxxe，按照0a、0a讨论，结合导数分别分析函数的特征性质，即可得解【详解】（）证明：函数()f x 的定义域(0,)，当12a时，321111()lnln2222f xxxxxxxx，令211ln22g xxx，则211xgxxxx，当(0,1)x时，0gx，函数g x单调递减；(1,)x时，0gx，函数g x单调递增；故10g xg，又0 x，所以()0f
34、x；（）若131()1lnxxef xaxaxxx在(1,)x上恒成立，则211lnxeaxaxx在(1,)x上恒成立，即211lnxaxaxex在(1,)x上恒成立，令2ln1m xaxax x，111111xxn xexxxe，令11xxexx，则110 xxe，则10 x，所以10 xex，可得0n x，21212axmxaxxx，第 22 页 共 22 页（i）当0a时，0mx，m x在(1,)x上单调递减，故10m xm，此时m xn x不成立；（ii）当0a时，由0mx可得112xa，2102xa，当112a即102a时，m x在11,2a上单调递减，在1,2a上单调递增，1102mma，则在11,2a上，m xn x不成立；当112a即12a时，m x在(1,)x上单调递增，令2111()()()1lnxF xm xn xa xxxe，则211111ln2xF xxxxe，令211111ln2xG xxxxe，221221(1)1111110 xxxGxxxxxexxx，故G x在(1,)上单调递增，()(1)0G xG，则()()0F xG x，符合题意；综上，a 的范围12，【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和推理能力，属于难题.