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1、用心爱心专心基本不等式：abab2题组一利用基本不等式求最值1.设 x、y 均为正实数，且32x32y1，则 xy 的最小值为()A4 B4 3 C9 D16 解析：由32x32y1 可得 xy 8xy.x，y 均为正实数，xy8xy82 xy(当且仅当 xy 时等号成立)，即 xy2xy8 0，可解得xy4，即 xy16，故 xy 的最小值为16.答案：D 2(2009 天津高考)设 a0，b0.若3是 3a与 3b的等比中项，则1a1b的最小值为()A8 B4 C1 D.14解析：3是 3a与 3b的等比中项，(3)2 3a 3b.即 33ab，ab1.此时1a1babaabb2(baab
2、)224(当且仅当ab12取等号)答案：B 3 已知不等式(x y)(1xay)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数 a的最小值为()A8 B6 C4 D2 解析：(xy)(1xay)1axyyxaa 12 axyyx a2 a1，当且仅当axyyx等号成立，所以(a)22 a19，即(a)2 2 a80，得a2 或a4(舍)，用心爱心专心所以 a4，即 a 的最小值为4.答案：C 4(2010 太原模拟)若直线axby20(a0，b0)和函数 f(x)ax11(a0 且 a1)的图象恒过同一个定点，则当1a1b取最小值时，函数f(x)的解析式是 _解析：函数 f(x)ax11 的图象恒过(1
3、,2)，故12ab1，1a1b(12ab)(1a1b)32baa2b322.当且仅当b22a 时取等号，将 b22a 代入12ab 1 得 a 2 22，故 f(x)(22 2)x11.答案：f(x)(222)x11 题组二利用基本不等式证明不等式5.已知 a0，b0，且 ab2，则()Aab12B ab12Ca2b22 Da2b23 解析：法一：由a b2ab得 ab(ab2)2 1，又 a2 b22ab?2(a2b2)(ab)2?a2b22.法二：(特值法)取 a0，b2 满足 ab2，代入选项可排除B、D.又取 ab 1 满足 ab2.但 ab 1，可排除A.答案：C 6设 a、b 是正
4、实数，以下不等式ab2abab；a|ab|b；a2b24ab3b2；ab2ab2 恒成立的序号为()ABCD解析：a、b 是正实数，a b2ab?12 aba b?ab2abab.当且仅当ab时取等号，不恒成立；ab|ab|?a|ab|b 恒成立；a2b24ab3b2(a 2b)2 0，当 a2b 时，取等号，不恒成立；ab2ab2 ab2ab2 22恒成立用心爱心专心答案：D 7已知 a、b、c(0，)且 ab c1，求证：(1a1)(1b1)(1c1)8.证明：a、b、c(0，)且 ab c1，(1a 1)(1b 1)(1c 1)(1a)(1b)(1c)abc(b c)(a c)(ab)abc2 bc 2ac 2ababc8.当且仅当ab c13时取等号题组三基本不等式的实际应用8.(2010惠州模拟)某商场中秋前30 天月饼销售总量f(t)与时间t(00)，即 x10 时取等号当长为 16.2 米，宽为10 米时总造价最低，最低总造价为38 880 元(2)由限制条件知0 x160a，所以 2x2xa2(xa)2xa2a2 2(x a)2x a2a 2a4，即 2a4 7，所以 a32，即 a 的最小值为32.答案：32