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1、学习必备欢迎下载基本不等式与不等式的证明知识网络考试大纲要求：1. 了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；2理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：； ；3了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明. 4了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.会用数学归纳法证明贝努利不等式：为大于1 的正整数）；了解当n 为实数时贝努利不等式也成立 . 5了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等 . 重点：会用基本不等式、柯西不等式等解决简单的最大（小）值问题；了解证
2、明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等. 难点：利用基本不等式、柯西不等式求最大值、最小值，特别注意等号成立条件；不等式的证明。知识点一：绝对值不等式的性质1；2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载知识点二：基本不等式1、如果那么当且仅当时取“ =”号） . 2、如果那么（ 当且仅当时取“ =”号） . 3、如果，那么（当且仅当时取“ =”号）4、如果，那么（当且仅当时取“ =”号）5、若 a1,a2,., anR+，则 :(nN) 当且仅当a1=a2=.=an时，取
3、等号。知识点三：柯西不等式1. 二维形式的柯西不等式：（1）向量形式：设是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立。（2）代数形式：若 a、b、c、d都是实数， 则，当且仅当ac=bd时，等号成立；若 a、b、c、d 都是正实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；若 a、b、c、d 都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；注意： 柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；（3）三角形式：设，则。2. 一般形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4
4、页学习必备欢迎下载当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。知识点四：不等式的证明1不等式证明的理论依据：不等式的概念和性质，实数的性质，以及一些基本的不等式：（1）若 a R,则|a|0,a20. （2）若 a,bR,则 a2+b22ab. （3）若 a,bR+,则（4）若 a,b 同号，则+2. （5）若 a,b,cR+,则（6）若 a,bR,则 |a|-|b| |a+b|a|+|b| 2证明不等式的基本方法：比较法 (作差、作商 )，综合法，分析法，数学归纳法及反证法；另外还有如换元法、放缩法等。规律方法指导（1）基本不等式的功能在于“和积互化”。若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的
5、形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值则“积”有最大值。（2）在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。（3）在不等式证明过程中,应注重与不等式的运算性质联合使用,用放缩法证明时放大或缩小应适度。（4）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身
6、的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。经典习题 :1 已知奇函数f(x) 在区间（ -， +）上是单调减函数， R，且 +0，+0,+0,试判断 f()+f( )+f( )与 0 的关系并证明。解: +0 奇函数-所以 f( )f(- )=-f( ) f( )+f( )0同理可得f( )+f( )0f( )+f( )0三式相加再除以2 f( )+f( )+f( )02.若不等式21xxa在Rx上恒成立 ,则a的取值范围是（D ）A3, 3B.3, 3C3 ,D3,4如果方程（ x-1） (x 2-2xm)=0 的三个根可以作为一个三角形的
7、三条边长，那么实数m 的取值范围是（B ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载A、0m1 B、43m1 C、43m1 D、m3/4设,1x yRxy则使成立的充分不必要条件是( D )A 1xyB 1122xy或C 1xD x-1 已知实数x、y 满足 x2+y2=1，则 (1xy)(1+xy)( B )A 有最小值1/2 ,也有最大值1 B 最小值 3/4,最大值 1 C 最小值 3/4,无最大值D 最大值 1,无最小值6已知两正数x,y 满足 x+y=1,则 z=11()()xyxy的最小值为。正解
8、： z=11()()xyxy=1yxxyxyxy=21()222xyxyxyxyxyxyxy，令 t=xy, 则210()24xytxy， 由2( )f ttt在10,4上单调递减 ,故当 t=14时2( )f ttt有最小值334,所以当12xy时 z 有最小值254。7不等式ax2+ bx + c 0 ，解集区间（ - 21，2） ，对于系数a、b、c，则有如下结论：a 0 b0 c 0 a + b + c0 a b + c 0，其中正确的结论的序号是_. 正确答案 2 、3、 4 8不等式 (x-2)2 (3-x) (x-4)3 (x-1) 0的解集为。9若Ryx,，且 2x+8y-xy=0 则 x+y 的范围是。答案：)1810已知适合不等式2435xxpx的 x 的最大值为3，求 p 的值11 设fxaxbx( )2，且112214ff()( )，求f ()2的取值范围。提示 : 令fmfnf()()( )21112 若mR，解关于x的不等式：()mmxmm223333。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页