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1、第 16 讲 勾股定理的证明知识定位讲解用时:5 分钟A、适用范围:人教版初二,基础一般;B、知识点概述:本讲义主要用于人教版初二新课,本节课我们要学习勾股定理以及它的证明。勾股定理是一个基本的几何定理,是中考数学考察的一个重点。中国古代数学著作 九章算术 的第九章即为勾股术,并且整体上呈现出明确的算法和应用性特点。对于今后几何的证明题、大题中都是用的非常多的,所以充分掌握这一知识点并从中学会解题技巧是非常必要的。知识梳理讲解用时:20分钟勾股定理1、勾股定理如果直角三角形的两条直角边分别为a 和 b,斜边为 c,那么一定有222abc a c b 勾股定理的另一种表述:直角三角形两直角边的平
2、方和等于斜边的平方勾股定理的其他表现形式:22acb22bca22cab勾股定理的三边俗称“勾三,股四,弦五”。古人把较短的直角边称为勾,较长直角边称为股,而斜边则为弦。勾股定理的证明相传 2500 年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客,发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系面积法推导:ABCSSS结论:两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积赵爽弦图的证法:大正方形小正方形直角三角形=+4SSS22142cbaab222cab加菲尔德的证法:211112222ababcabab222cab你还知道其他的证法吗?直角三角形的性质等腰直角三角形三边满足1:1:2
3、的关系,任意给出一边,可将另外 2 边表示出来常见勾股数组:(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)、(9,40,41)等勾股数组扩大或缩小一定的倍数仍然满足(3n,4n,5n)、(5n,12n,13n)、(8n,15n,17n)、(9n,40n,41n)等(1)A+B=90 (两锐角互余)(2)11=ab=ch22ABCS(等面积法求直角三角形面积)(3)CD=12AB(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)(4)222abc(满足勾股定理)含特殊角(45、30、60)的勾股定理题含 30或60的直角三角形三边满足1:3:2 的关系,任意给出一边,可将另外 2 边求出来等腰直角三
4、角形三边满足1:1:2 的关系,任意给出一边,可将另外 2 边表示出来课堂精讲精练【例题 1】下列说法中正确的是()A已知 a,b,c 是三角形的三边,则a2+b2=c2B在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C在 RtABC中,C=90,所以 a2+b2=c2D在 RtABC中,B=90,所以 a2+b2=c2【答案】C【解析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和,且斜边对角为直角,根据此就可以直接判断A、B、C、D选项解:在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和,且斜边对角为直角A、不确定 c 是斜边,故本命题错误,即A选项错误;B、不确定第三边是否是斜边,故本
5、命题错误,即B选项错误;C、C=90,所以其对边为斜边,故本命题正确,即C选项正确;D、B=90,所以斜边为 b,所以 a2+c2=b2,故本命题错误,即D选项错误;故选:C讲解用时:3 分钟解题思路:本题考查了勾股定理的正确运用,只有斜边的平方才等于其他两边的平方和教学建议:勾股定理一定是在直角三角形中存在,且满足两直角边的平方和等于斜边的平方,注意用词的准确性.难度:3 适应场景:当堂例题例题来源:沂源县期末年份:2017【练习 1.1】如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母 A 所代表的正方形的面积为()A4 B8 C 16 D64【答案】D【解析】根据正方形的面积等于边
6、长的平方,由正方形PQED的面积和正方形PRQF 的面积分别表示出PR的平方及 PQ的平方,又三角形PQR为直角三角形,根据勾股定理求出QR的平方,即为所求正方形的面积解:正方形 PQED 的面积等于 225,即 PQ2=225,正方形 PRGF 的面积为 289,PR2=289,又PQR 为直角三角形,根据勾股定理得:PR2=PQ2+QR2,QR2=PR2PQ2=289225=64,则正方形 QMNR 的面积为 64故选:D讲解用时:2 分钟解题思路:此题考查了勾股定理,以及正方形的面积公式 勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系,它的验证和利用都体现了数形结合的思想,即把图形的性质
7、问题转化为数量关系的问题来解决能否由实际的问题,联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键教学建议:充分利用勾股定理,即在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,即两个小正方形的面积等于大正方形的面积.难度:3 适应场景:当堂练习例题来源:襄城区模拟年份:2018【例题 2】若一直角三角形两边长分别为12 和 5,求第三边的长度.【答案】或 13【解析】本题已知直角三角形的两边长,但未明确这两条边是直角边还是斜边,因此两条边中的较长边12 既可以是直角边,也可以是斜边,所以求第三边的长必须分类讨论,即12 是斜边或直角边的两种情况,然后利用勾股定理求解解:当 12 是斜边时,第三边是=;当
8、 12 是直角边时,第三边是=13讲解用时:3 分钟解题思路:如果给的数据没有明确,此类题一定要分情况求解教学建议:切记 12 既可以作直角边也可以作斜边.难度:3 适应场景:当堂例题例题来源:昭阳区模拟年份:2018【练习 2.1】如图,在 ABC 中,B=C,AD平分 BAC,AB=5,BC=6,求 AD.【答案】4【解析】先判定 ABC为等腰三角形,利用等腰三角形的性质可求得BD,在 RtABD 中利用勾股定理可求得AD的长解:B=C,AB=AC,AD平分 BAC,AD BC,BD=CD=BC=3,在 RtABD中,AB=5,BD=3,AD=4.讲解用时:3 分钟解题思路:本题主要考查等
9、腰三角形的判定和性质,熟练掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键教学建议:利用等腰三角形“三线合一”的性质判断出直角,再利用勾股定理计算.难度:3 适应场景:当堂练习例题来源:盘龙区模拟年份:2018【练习 2.2】在 RtABC中,斜边 AB=2,求 AB2+AC2+BC2的长.【答案】8【解析】根据勾股定理求出AC2+BC2的值,再整体计算解:根据勾股定理,得:AC2+BC2=AB2=4,故 AB2+AC2+BC2=4+4=8.讲解用时:3 分钟解题思路:熟练运用勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方教学建议:利用勾股定理进行解题.难度:3 适应场景:当堂练习例题来源:成安
10、县期末年份:2017【例题 3】中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展现用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”RtABC中,ACB=90,若 AC=b,BC=a,请你利用这个图形解决下列问题:(1)试说明 a2+b2=c2;(2)如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值【答案】(1)c2=a2+b2;(2)18【解析】(1)根据题意,我们可在图中找等量关系,由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积,列出等式化简即可得出勾股定理的表达式(2)根据完全平方公式的变形解答即可解
11、:(1)大正方形面积为c2,直角三角形面积为ab,小正方形面积为(ba)2,c2=4ab+(ab)2=2ab+a22ab+b2即 c2=a2+b2;(2)由图可知,(ba)2=2,4ab=102=8,2ab=8,(a+b)2=(ba)2+4ab=2+2 8=18讲解用时:3 分钟解题思路:本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质,掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键教学建议:掌握勾股定理常见的证明方法.难度:3 适应场景:当堂例题例题来源:兴化市期末年份:2017【练习 3.1】如图:在RtABC 和 RtBDE 中,C=90,D=90,AC=BD=a,BC=DE=b,AB=BE
12、=c,试利用图形证明勾股定理【答案】a2+b2=c2【解析】由图知,梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和,用字母表示出来,化简后,即证明勾股定理证明:C=90,D=90,AC=BD=a,BC=DE=b,AB=BE=c,RtACB RtBDE,ABC=BED,BAC=EBD,ABC+DBE=90,ABE=90,三个 Rt其面积分别为ab,ab 和c2直角梯形的面积为(a+b)(a+b)由图形可知:(a+b)(a+b)=ab+ab+c2,整理得(a+b)2=2ab+c2,a2+b2+2ab=2ab+c2,a2+b2=c2讲解用时:3 分钟解题思路:考查了勾股定理的证明,此题主要利用了三角形的面积
13、公式:底高2,梯形的面积公式:(上底+下底)高 2证明勾股定理教学建议:掌握勾股定理常见的证明方法.难度:4 适应场景:当堂练习例题来源:无年份:2018【例题 4】已知在 ABC中,C=90,AC=3,BC=4,分别以 AC、BC、AB为直径作半圆,如图所示,则阴影部分的面积是【答案】6【解析】先利用勾股定理列式求出AB,再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以 AB为直径的半圆的面积,列式计算即可得解解:在 RtABC中,ACB=90,AC2+BC2=AB2,BC=4,AC=3,AB=S阴影=直径为 AC的半圆的面积+直径为 BC的半圆的面积
14、+SABC直径为 AB的半圆的面积=()2+()2+AC BC()2=(AC)2+(BC)2(AB)2+AC BC=(AC2+BC2AB2)+AC BC=AC BC=34=6故答案为:6讲解用时:3 分钟解题思路:本题考查了勾股定理,半圆的面积,熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键教学建议:熟练运用勾股定理进行解题.难度:3 适应场景:当堂例题例题来源:东莞市模拟年份:2018【练习 4.1】直角三角形两直角边长分别为5 和 12,则它斜边上的高为【答案】【解析】本题可先用勾股定理求出斜边长,然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可解:由勾股定理可得:斜边长2=52+122,则
15、斜边长=13,直角三角形面积 S=512=13斜边的高,可得:斜边的高=故答案为:讲解用时:3 分钟解题思路:本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用,看清题中条件即可教学建议:熟练掌握直角三角形的性质以及勾股定理.难度:3 适应场景:当堂练习例题来源:宝丰县期末年份:2017【练习 4.2】已知:如图,AD是ABC的角平分线,AB=AC=13cm,AD=12cm 求 BC的长【答案】10cm【解析】先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD BC,BD=CD,然后在直角ABD 中利用勾股定理求出BD,进而得出 BC的长解:AB=AC,AD是ABC的角平分线,AD BC,BD=CD 在直角
16、ABD 中,ADB=90,AB=13,AD=12,BD=5,BC=10cm 讲解用时:3 分钟解题思路:本题考查了勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 也考查了等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质教学建议:熟练掌握等腰三角形的“三线合一”以及勾股定理.难度:3 适应场景:当堂练习例题来源:怀柔区期末年份:2017【例题 5】利用如图 44 的方格,作出面积为8 平方单位的正方形,然后在数轴上表示实数和【答案】如图示【解析】面积为 8 平方单位的正方形的边长为,是直角边长为 2,2 的两个直角三角形的斜边长,然后利用正方形的边长可
17、在数轴上求得两个无理数解:如图所示:讲解用时:3 分钟解题思路:本题考查了数轴和勾股定理 解决本题的关键是找到所求的无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长教学建议:利用勾股定理把无理数 8 和-8 表示出来.难度:3 适应场景:当堂例题例题来源:上城区期末年份:2017【练习 5.1】如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,ABC 的三个顶点均在格点上(1)求 ABC 的面积(2)求 AB,AC的长分别是多少【答案】(1)17.5;(2)【解析】(1)根据三角形的面积公式计算;(2)根据勾股定理计算即可解:(1)ABC 的面积=75=17.5;(2)由勾股定理得,AB=,AC=
18、讲解用时:3 分钟解题思路:本题考查的是勾股定理的应用,直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为 c,那么 a2+b2=c2教学建议:通过勾股定理计算AB、AC的长.难度:3 适应场景:当堂练习例题来源:黄埔区期末年份:2017【例题 6】如图,RtABC中,C=90,AD平分 CAB,DE AB于 E,若 AC=6,BC=8,CD=3(1)求 DE的长;(2)求 ADB 的面积【答案】(1)3;(2)15【解析】(1)根据角平分线的性质得到CD=DE;(2)根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式计算解:(1)AD平分 CAB,DE AB,C=90,CD=DE,CD=3,DE=3;(
19、2)在 RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,由勾股定理,得 AB 10,ADB 的面积为 S=AB?DE=103=15讲解用时:3 分钟解题思路:本题考查的是勾股定理、角平分线的性质,如果直角三角形的两条直角边长分别是 a,b,斜边长为 c,那么 a2+b2=c2教学建议:熟练的运用勾股定理以及角平分线的性质.难度:3 适应场景:当堂例题例题来源:大埔县期末年份:2017【练习 6.1】在 RtABC中C=90,AB=25,AC=15,CH AB垂足为 H,求 BC与 CH的长【答案】BC=20,CH=12【解析】利用勾股定理得出BC的长,再利用三角形面积求法得出HC的长解:在 RtA
20、BC中,ACB=90,根据勾股定理可得:BC=20,RtABC的面积=2015=25CH,解得,CH=12 讲解用时:3 分钟解题思路:本题考查的是勾股定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为 c,那么 a2+b2=c2教学建议:熟练运用勾股定理以及直角三角形等面积法进行解题.难度:3 适应场景:当堂练习例题来源:新罗区校级期中年份:2018【练习 6.2】已知:如图,在 ABC 中,AB=13,AC=20,BC=21,AD BC,垂足为点 D(1)求 BD、CD的长;(2)求 ABC 的面积【答案】(1)BD=5,CD=16(2)126【解析】(1)设 BD=x,则 CD=2
21、1 x在 RtABD中,由勾股定理,得AD2=132x2在 RtACD 中,由勾股定理,得AD2=202(21x)2依此列出方程求出x,进一步得到 CD的长;(2)在 RtABD中,由勾股定理,得 AD的长,再根据三角形面积公式即可求解解:(1)设 BD=x,则 CD=21 xAD BC,ADB=ADC=90 在 RtABD中,由勾股定理,得AD2=AB2BD2AD2=132x2在 RtACD 中,由勾股定理,得AD2=AC2CD2AD2=202(21x)2132x2=202(21x)2解得 x=5,即 BD=5 CD=21 x=215=16(2)在 RtABD中,由勾股定理,得AD=12SA
22、BC=BC?AD=2112=126讲解用时:3 分钟解题思路:本题主要考查勾股定理,解题的关键是熟练掌握勾股定理公式a2+b2=c2及其变形教学建议:熟练的运用勾股定理进行解题.难度:4 适应场景:当堂练习例题来源:盐城期末年份:2017【例题 7】如图、四边形 ABCD 中,AB=AD=6,A=60,ADC=150,已知四边形的周长为 30,求四边形 ABCD 的面积【答案】9+24【解析】连接 BD,作 DE AB于 E,根据等边三角形的性质可求出DE的长度,从而可求出 ABD的面积,利用勾股定理可求出CD的长度,从而可求出 BCD的面积,从而可求出答案解:连接 BD,作 DE AB于 E
23、,AB=AD=6,A=60,ABD 是等边三角形,AE=BE=AB=3,DE=3,因而 ABD的面积是=AB?DE=63=9,ADC=150 CDB=150 60=90,则BCD 是直角三角形,又四边形的周长为30,CD+BC=30AD AB=30 66=18,设 CD=x,则 BC=18 x,根据勾股定理得到62+x2=(18x)2解得 x=8,BCD 的面积是68=24,S四边形 ABCD=SABD+SBDC=9+24讲解用时:4 分钟解题思路:本题考查勾股定理,解题的关键是熟练运用等边三角形的性质以及勾股定理,本题属于中等题型教学建议:勾股定理中注意特殊角的运用.难度:3 适应场景:当堂
24、例题例题来源:安徽月考年份:2017【练习 7.1】如图,四边形ABCD中,AB BC,BCD=150,BAD=60,AB=4,BC=2,求 CD的长【答案】2【解析】延长 AB、DC交于点 E,利用等边三角形的判定和三角函数解答即可解:分别延长 AB、DC交于点 EBCD=150,BCE=30 AB BC,CBE=90,ABC=60 又 BAD=60 AED 是等边三角形,在 RtBCE中,BC=2,BCE=30,cos30=,EC=4,CD=2 讲解用时:3 分钟解题思路:此题考查勾股定理问题,关键是利用等边三角形的判定和勾股定理解答教学建议:勾股定理中注意特殊角的运用.难度:3 适应场景
25、:当堂练习例题来源:句容市二模年份:2017 课后作业【作业 1】若一个直角三角形的面积为6cm2,斜边长为 5cm,则该直角三角形的周长为cm.【答案】12【解析】设直角三角形的两直角边长分别为a、b,根据三角形的面积公式、勾股定理求出 a+b,根据三角形周长公式计算解:设直角三角形的两直角边长分别为a、b,则ab=6,即 ab=12,由勾股定理得,a2+b2=25,则(a+b)22ab=25,解得,a+b=7,该直角三角形的周长=a+b+c=12,故答案为:12难度:3 适应场景:练习题例题来源:思南县一模年份:2017【作业 2】已知,如图,在 ABC中,ACB=90,AB=5cm,BC
26、=4cm,CD AB于 D,求 CD的长【答案】【解析】根据勾股定理求出AC,根据三角形的面积公式计算即可解:由勾股定理得,AC=3cm,ACB=90,CD AB,AC BC=AB CD,即 34=5CD,解得,CD=cm 讲解用时:3 分钟难度:3 适应场景:练习题例题来源:涪陵区期末年份:2017【作业 3】阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙,它的证法多种多样,下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法先做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边分别为a,b,斜边为 c,然后按图 1 的方法将它们摆成正方形由图 1 可以得到(a+b)2=4ab+c2整理,得 a2+2ab+b2=2ab+c2所以 a2+b2=c2如果把图 1 中的四个全等的直角三角形摆成图2 所示的正方形,请你参照上述方法证明勾股定理【答案】c2=a2+b2【解析】直接利用图形面积得出等式,进而整理得出答案证明:S大正方形=c2,S大正方形=4S+S小正方形=4ab+(ba)2,c2=4ab+(ba)2,整理,得 2ab+b22ab+a2=c2,c2=a2+b2讲解用时:3 分钟难度:4 适应场景:练习题例题来源:嘉祥县期中年份:2017